这项研究的研究目的为确定小学数学广角的教学现状，围绕这一研究目的，确立研究问题，以教师教学、学生学习的视角，从知识、教学策略、观念等维度展开调查，重在了解数学广角教学的现状、教师教学中的困难与需求、学生学习的结果和学习中的困惑等问题。
这项研究从教学的主体（教师、学生、教学）之间的相互作用关系中建立起研究的框架，阐明教学的概念和已有的研究。这项研究将教师的个人素质、教学理念、教学知识、教学策略、学生认知等都考虑在内。为了全面了解教学现状，还使用学生调查问卷和学习结果测试卷对学生的学习情况进行调查，希望可以多种方式获取教师在数学广角教学中的情况。
这项研究的教师样本为来自贵阳市、昆明市、成都市三个不同地区的130名小学在职数学教师；学生样本的选取以昆明市一所示范性小学为主，随机抽取四到六年级的班级进行调查。
这项研究运用了4种工具收集数据：第一是两份问卷调查表，发放给所有研究对象，教师问卷共发放130份，回收127份，收回率接近98%；学生问卷共发放230份，回收198份，回收率近90%。第二是学生测试卷，发放了200份，回收189份，回收率95%。第三是访谈，对4名教师进行访谈，教师教龄均为15年以上，且均为所在学校的骨干教师，其中一名是特级教师，面谈安排在调查结果之后，其目的是补充或者是深入了解问卷调查中发现的问题，比如教师如何运用具体的教学知识，以及如何发展数学广角相关的学科知识。第四是课堂观察记录表。研究中选取了近几年的优质课与样本学校的常态课进行课堂观察记录，其目的是观察教师的教学知识和学习方法在实践中的情况。
运用定量研究的方法分析从调查问卷、学生测试卷、优质课课堂观察中得到的数据，以全面获取数学广角教学的一般情况。在统计方法上，主要运用了百分比、平均数、标准差等描述统计量；卡方检验被用于分析教师的教龄是否影响在各维度下不同的选择和不同年级之间的测试。定性研究在本研究中也是重要的分析方法，主要用来分析常态课的课堂实录、教师访谈和学生错题分析中得到的数据，分析教师访谈和观课中具体存在的不能用数据描述的情况。
这项研究得到的主要发现和结论如下：
1.教师和学生对数学广角教学的认识是一个逐渐发展的过程
通过调查和访谈结果分析，发现数学广角教学认识是一个循序渐进的过程，教师教学行为的改变，从态度开始。首先，在教学理念上，教师一般经历将其当作一般“问题解决”再到渗透“数学思想方法”这样的一个转变。其次，经历将教学目标由重视知识转变到重视学习过程。再次，在评价方式上不仅看重解决问题，而且注重过程评价。最后，在教学方法上，突破常用的教学方法，倾向于探索学习、合作学习、自主学习。但是，在这个过程中存在很多的困惑，比如使用小组合作无法保证课堂效率，自己的教学方式能否得到认同。
还是有部分一线教师认为数学广角内容在考试试题中占的比例太小，所以会忽略此部分内容的课堂教学，只是在临近考试时让学生背背公式。持这种观念的主要是老教师，而且这一现象在城市和农村的小学中差别较大。
学生觉得上数学广角课更有趣，但是做题的时候总是不理想。一半学生认为学习数学广角帮助他们培养了找规律、归纳、类比、迁移等思维方法，掌握了作图、做笔记、实物操作等解决问题的策略。他们认为能够掌握好公式、结论和基本的概念并且能够迁移到新的情境中去非常重要，但是有多于10%的学生认为思想方法太抽象，学习起来困难。面对这些困难，将学习结果归因于努力不足的学生占了大部分，他们认为学习困难和做题错误的主要原因是不理解原理、公式、结论和不能灵活将其运用。其中数学广角内容在考试中占的比例小，引不起重视也是原因之一。
2.教师乐于挑战数学广角教学，学生喜爱数学广角学习程度略低于数学
大多数教师认为数学广角的教学更贴近学生的生活，通过对数学广角的学习，能增加学生对数学的认识，拓宽学生的数学思维，非常有利于学生思维的发展，所以他们都很喜欢数学广角的教学。年轻教师相对更喜爱数学广角的教学，教龄长的教师个体差异大，少数教师偏向于去探究、创新、尝试，大部分教师进行教学时只是应付考试。而且在教学过程中，教师多数能够有效运用多媒体课件、板书，提问面较广，并常常鼓励学生提出数学问题。
对数学广角特别感兴趣的学生相对较少，多数同学对数学广角的兴趣甚至低于对数学的兴趣。
3.教师关于数学广角教学的知识主要来源于教学参考书，教师在“教什么”“怎么教”“为什么这样教”这三个面存在较大困难
在数学广角知识获得的主要途径方面，教学参考书、个人经验与网络是主要途径，教师希望得到系统学习的途径。
关于“教什么”。对于数学广角教学的内容，教师存在困难，主要是在全面掌握数学广角知识与建立模型方面，即教师会觉得准备数学广角的教案时有困难，因为学生过一段时间就会忘记。
关于“怎么教”。教师对数学广角教学法的知识掌握一般，运用方面也存在困难。教师们重视数学广角教学法，但是又很难提高，所以还是以讲授为主，只有少数教师会尝试新的教学方法。
关于“为什么这样教”。教师对学生怎么接受知识的这个认知，会影响教师的教学决策。大部分教师认为学生是通过模仿和不断地练习而学习的，是基于行为主义观点的一种认识；对模型建立，教师们认为主要是通过探索与深刻理解的方式；关于学生学习困难的原因和做题错误的原因，教师认为主要是学生在建立模型方面存在的困难较大；教师对学生的认识和利用这些认知特点比较不擅长，对学生学习方法、自我监控与调节方面的教育较薄弱。同时，在教龄上存在显著差异，年轻教师对学生认识方面较模糊，11年教龄以上的教师比较清楚，总的来说，教师关于“教什么”和“怎么教”知识方面存在困难。
总之，教师缺乏对数学本质、数学思维的认识，对学生的认知多数处于经验阶段，是教师教学困难的主要原因。
4.教师教学方式的选取多从自身经验出发，以讲授为主，学生易于接受这种讲授方式，教学受到评价方式的影响
在教学策略上，超过60%的教师主要根据学生的特点和自己的教学风格进行教学，适当地更换教材所提供的素材，有策略地运用多媒体、板书。大部分教师偏向于采用讲授和发问的方式，小组合作、同桌讨论的学习方式较少使用，且这在高年级更加突出。
学生在学习中更喜欢教师讲授，他们觉得采用讲授的方式能够学得更好，不过在调查中发现喜欢自己探究、发现、归纳的学生也有一定的比例。在这种喜好讲授方式的课堂下，调查得到学生在迁移能力、提出数学问题、运用数学思维策略方面的情况较一般。在教学中，教师教学认识、教学的态度都受到评价方式的影响，不考试的内容在一定程度上被教师忽略。
5.数学广角教学对相关数学思想方法的获得作用非常大，学生能够在思维上得到一定的训练，但是完全掌握的学生很少，多数学生掌握得不牢固，少部分学生不能完全接受
通过对比，知道数学广角的学习作用非常大，只有通过学习，学生才可能去使用相关的数学思想方法，在没有学习的情况下运用相关思想方法的可能性几乎为零，只有通过学习，部分学生才可能正确地运用相关的思想和方法。
学生在数学广角学习结果测试上的表现较差，在解题方面，学生使用的方法受制于教师讲课时关注的重点，如果教师强调画图解决问题，那么学生往往会利用画图这个工具；如果教师重在运用公式解决问题，那么学生在忘记公式的时候会用题目中的数据来做没有意义的加减乘除；部分学生学会使用方程解决问题。学生出现错误往往是因为对思想方法的理解不透彻和对公式等的运用不熟练。
6.教师在数学广角教学中渗透数学思想方法的能力一般，多数学生对数学思想方法的学习停留在记忆阶段
关于数学广角教学，大部分教师认识到数学思想方法的渗透是进行数学广角教学的目的。但是怎么样找到知识背后的思想方法，相应的数学思想方法要以什么样的方式让学生学习，在学习中达到一个什么程度，这是教师们普遍存在的困难。在教学中，多数教师不敢尝试，还是围绕考试的要求，以知识教学为主。关于渗透数学思想方法的教学方法，有部分教师开始尝试使用合作学习、探究学习、自主学习，但是效果不理想，甚至导致了学习成绩的下降。研究者在深入访谈后发现：导致这一现象的主要原因，除了大班教学、教学外部环境因素（个性、特点）外，还受限制于教师对合作学习、探究学习、自主学习的掌握程度。多数教师对近几年课改常常提倡和使用的一些理念、方式、方法还停留在感性层面，根本不明白这些方式方法产生的根源、适用的情景、注意事项等。他们主要是通过听公开课等方式了解一些教学方式方法，并尝试使用，比如小组合作、合作学习、探究学习……
近一半被调查学生认为学习数学广角帮助他们培养了找规律、归纳、类比、迁移等思维方法，部分学生觉得数学思想方法很抽象、很难学。从学生做题的情况看，在做题时，对公式或者原理出现记忆模糊，多数学生将题目中数据任意拼凑，很少有学生尝试使用相应的思想方法解决问题，即使进行尝试，在尝试的过程中也因对思想方法理解不到位而失败。
优质课和常态课观察结论：
1.优质课特征
（1）教师用新课程理念指导教学，注重情境创设、体验，学习方式多样。
教师通过创设学习情境促进学生学习，根据相关内容选取教学方法进行教学、教授相关内容的核心概念、探究建立模型；在教学中鼓励学生从多角度回答问题，注重探究，采用小组合作、个人学习的方式经历数学活动，积累数学活动经验，注重学生情感体验；在注重知识获得的同时，也注重学生的思考与亲身经历，注重数学学习兴趣的激发，注重学生的合作意识和探究精神的养成。
（2）调查结构为小步子，教师直接讲授少。
每一节课的环节都可以归纳为6个活动，但是每一节课在活动的衔接和时间分配上有很大差别。课堂的大部分时间用于指导探索和练习，小结的次数为2～4次，一般出现在探索之后和整节课结束的时候，但是时间都比较短。教师的讲授与示范次数少，所用时间较少。总之，新授与练习是课堂的主体，新授几乎占一半的课堂教学时间。
（3）教学新授内容扎根教材，又注重与生活的联系。
每节课的教学内容都以教材提供的例题为基础，以单独的例题教学或者以整合多个例题的方式教学，围绕教材的出发点，教学中注重实验、体会、运用；在知识层面，注重概念教学、注重结论的总结和运用。教学内容量大，比如说整合了几个例题一起教学，或者教学后拓展训练，加深了教学内容量。选取练习均满足变式要求，能达到变式训练的目的。
（4）师生话语机会均等，但是教师话语量过多，齐言现象明显。
在统计分析中发现：教师与学生在课上的发言机会是均等的，但是教师说话的总量几乎是学生的2倍。学生的每一句话都比较短，一般集中在4个字左右，而且课堂上齐言的现象很明显。
（5）学习方式多样，师生互动积极。
在学习过程中，有全班一起的学习、小组合作的学习和个人单独的学习等多种学习方式。根据统计可知：公共活动时间远远多于小组合作与个人活动时间，占各自教学时间的70%以上，几乎达到四分之三，即每节课的大部分时间都用于共同学习、交流。个人学习主要集中在解答题目、列式、做练习、探究规律的过程中，其目的主要是进一步学习和巩固已经学到的内容。每一次小组合作的时间差距较大，从10秒到7分钟不等，小组合作的主要形式是同桌。在师生互动情况中，教师的提问和学生的口头回答是师生互动的主体活动，其次是运用学生观点和表扬，没有批评和显示自己权威的情况出现。
（6）以逻辑数学智能与言语智能为主。
注重多元智能的发展与利用，在数学广角教学中虽有体现出重视发展学生的四大智能，但还是以逻辑／数学、言语／语言智能为主，人际智能与视觉空间智能次之。
（7）提问频繁，管理性问题较多，深层问题较少，很少有学生发问。
从统计情况可以看出：4节课的提问次数为96～129次，每节课平均每分钟最少提问2次，可见教师发问非常频繁。仅有一节课学生提出过两次问题。提问的问题中，管理性问题较多，数量为32～58次，高层次性问题少，低层次性问题占大多数。记忆、翻译（迁移）、解释、应用类问题的数量远远多于分析、综合与评价类问题。教师完全没有留足时间让学生回答这类问题，学生似乎也没有深入思考的习惯，在回答这类问题时，答案很浅显。从中可以看出，学生更倾向于对低层次的问题作答，高层次的问题也当作低层次问题回答，因为教师的要求也仅是让学生能够答出他想要的答案，能够让他的课沿着他的设计顺利地进行。
综上，本次研究都是从量化的角度分析优质课教学中的一些特征，这些特征在很大程度上反映出人们对新课改的认识，可以看出每一节课都是以探究学习为主，采用集体学习、小组合作、个人学习等方式，展示出新课程改革的理念。
2.常态课情况
常态课和优质课相比更加多样和真实。每一个老师都有自己的理解，以此来建构他们的课堂，从被观察的课中可以看到两位老师迥然不同的教学理念：一位教师在数学广角教学中注重发现过程，而另一位教师注重知识的掌握与运用，这可以说是现在教师中比较普遍的两种类型，也是课改真实情况的体现。
（1）复习导入重视从学生经验出发，重视对先前知识的复习。
在常态课中，复习导入是教师们最常用的方式。比如讲一个内容需4个课时，在第一次课中，教师会采用与生活息息相关的内容吸引学生的注意力，后面三次课就会采用复习导入的方式进行教学。
（2）多媒体课件使用少，能就地选用教具。
因为不是所有学校都安装了多媒体设备，所以大多数教师很少运用多媒体课件，都是使用板书。在安装多媒体设备的学校，多媒体使用率也不高。在教具的准备方面，教师有时会提前让学生去准备，大多数时候希望学生利用身边资源，比如身边的物体来作为教具。
（3）重视观察和归纳，但是操作不足。
从观察的课中发现：教师非常重视启发和引导学生进行观察、归纳。教师一般都通过画图、看主题图等方式引导学生观察和归纳，并且重视让学生将观察、归纳的情况说出来，但是能够正确地观察并做出归纳的学生往往是少数几个，其余学生只能抄写结论。为了能够较好地把控课堂、提高教学效率，教师较少让学生亲身操作，其目的主要还是让学生掌握结论，然后学会解题。
（4）教师讲授多，学习方式较为单调，学生的互动面较窄。
在大多数教师的课堂中，主要以教师讲授为主，课堂纪律一般较好，学生能够回答教师提出的问题，课堂能够按照教师安排的进度进行，在突破难点的时候教师会通过提问、做变式练习、学生重复等方式帮助学生掌握。但是在大班教学的条件下，教师较少用合作学习的方式，以个人学习、集体学习方式为主，学生之间的互动较少，教师和学生之间的互动主要集中在教师与优秀学生和与最差学生之间。
（5）重视知识，扎实“双基”，以变式训练为主，重视课堂效率，重视解题训练，数学思想渗透不足。
知识的教学是教师教学的主要目标，教师应重视学生对相关知识和基本技能的掌握。对每一个知识点，教师一般准备有相应的变式训练，以加深学生对知识的理解，提升学生运用基本知识的能力和熟练所学技能。课堂上教师以讲授为主，保证了课堂的教学效率，学生能够学习完相关的知识并能有一定量的练习。教师在教授了公式或者规律之后就开始解题训练，重视解题的方法、技巧，但是在数学思想渗透方面就会明显不足，通过访谈也了解到教师在教学中做到渗透数学思想是非常困难的，大多数教师都将解题等同于思维渗透，认为学生通过解题自然而然地就可以掌握相关的方法。但是教师在教授解题的过程中相对偏向方法和技巧，对学生思维发展所起到的作用不是很大。
免责声明：以上内容源自网络，版权归原作者所有，如有侵犯您的原创版权请告知，我们将尽快删除相关内容。
