探索三角形全等的条件

七、探索三角形全等的条件——数学课堂实录

夏丽琼

作者简介

夏丽琼，女，2006年荣获全国初中青年数学教师优质课竞赛一等奖。2007年荣获重庆市义务教育阶段教师基本功大赛说课项目一等奖，课件项目一等奖，全能一等奖。

教材《数学》（北师大新世纪版）七年级下册　第五章《三角形》第五节　第一课时

1．教材分析。

（1）教学内容。

探索三角形全等的条件“边边边”以及三角形的稳定性。

（2）教学内容的地位及作用。（探索模式、几何基础）

通过本课内容的学习，可以让学生经历和体验知识的形成过程，了解数学研究问题的方法，领会数学思想，获得数学活动的经验；为探索三角形全等的其他条件打下坚实的基础，也为今后的探索活动提供良好的模式和方法。本课内容也是几何学习的基础知识和基本方法之一。有助于培养学生推理意识，发展推理能力。

（3）教学目标。

知识与技能目标：掌握三角形全等的“边边边”条件并初步学会运用，了解三角形的稳定性。

过程与方法目标：在探索三角形全等条件的过程中，让学生体验分类的思想；体会利用操作、归纳获得数学结论的过程；逐步培养学生的推理意识和能力。

情感与态度目标：鼓励学生敢于实践，勇于发现，大胆探索，合作创新；体会数学来源于生活又作用于生活的特点，增强学习数学的兴趣。

（4）教学重点。

探索三角形全等的条件——“边边边”。

（5）教学难点。

在经历探索三角形全等条件的过程中已知三边画三角形以及有条理地表达思考的过程。

2．教学方法。

基于本节课的重点、难点和知识教授的特征，采用“探索式“和“启导式”两种教学方法相结合，使用“问题情景——实践探索——归纳反思——应用拓展”的教学模式。

3．学习方法。

在情景中，在活动中，学生通过“动手实践、自主探索、合作交流”，人人参与问题的发现和解决，养成良好的思维方式。

4．教学程序。

（1）课前准备。

老师的准备：三角形、四边形教具；实验报告单；多媒体；实物投影仪。

学生的准备：纸条，刻度尺，量角器，圆规。

（2）教学环节。

分六个教学环节。

创设情景，诱发新知；实践操作，探索新知；探寻实例，感受新知；

启发思考，拓展新知；归纳反思，梳理新知；课后演练，反馈新知。

5．教学过程。

（1）创设情景，诱发新知。

教师设计了场景（用录像呈现）：班上两位同学王婷和张超在校园里散步，突然看到喷泉的前面用盆花摆放了两个全等三角形模样的图案，王婷同学向张超提出问题：“这两个图形是一模一样的吗？”

教师：同学们，你们从数学的角度怎样理解对话中的“一模一样”呢？

学生1：两图形“一模一样”就是两图形全等。

教师：很好，那么什么叫全等图形？如何判断两图形全等呢？

学生1：能完全重合的两个图形叫全等图形。

学生2：判断两图形全等就只需要看这两个图形是否能重合就行了。

教师：同学们，你们认为三组角对应相等、三组边对应相等的两个三角形全等吗？

全班学生齐答：全等。

教师：我们现在减少条件，只有角对应相等的两个三角形全等吗？

一部分学生：全等。

一部分学生：不全等。

一部分学生：不一定。

教师没有评价同学们的回答接着又提出：只有边对应相等的两个三角形全等吗？

一部分学生：全等。

一部分学生：不全等。

一部分学生：不一定。

教师：同学们现在存在一定的争议，相信通过今天的学习，同学们的意见一定能得到统一。我提的这两个问题就是我们本节课要研究的内容。

（2）实践操作，探索新知。

教师：我们首先研究只有角对应相等的两个三角形是否全等。

教师：先请独立思考两个三角形中只有角对应相等的情况分几类？

学生：3类。

教师：哪3类？

学生：一组角对应相等、两组角对应相等、三组角对应相等。

教师：好，我们先看一组角对应相等的情况，比如，有一个角为30°的两个三角形全等吗？请说明理由。

学生：不全等，有一个角为30°的钝角三角形与有一个角为30°的锐角三角形明显不全等。

教师：我们接着看两组角对应相等的情况，比如，有两个角分别为30°，60°的两个三角形全等吗？请说明理由。

学生1：不全等，我的学具三角板和老师您的教具三角板都有一块是30°，60°的直角三角板，它们形状一样，但大小不同。

学生2：不全等，我通过画图的方法，发现先画了一个有两个内角分别为30°，60°的三角形，再延长两边，只要夹边平行就行了，可以得到很多有两个内角是30°，60°的三角形。

教师：如果两个三角形有两组角对应相等，那么第三组角相等吗？为什么？

学生1：根据三角形内角和为180°，如果两个三角形有两组角对应相等，那么第三组角一定相等。

教师：那么你们认为三组角对应相等的两个三角形全等吗？

学生齐答：不全等。

教师：请你用你的语言总结一下刚才所发现的结论。

学生1：只有一组角对应相等的两个三角形不全等。

学生2：只有二组角对应相等的两个三角形不全等。

学生3：只有三组角对应相等的两个三角形不全等。

学生4：只有角的条件不能判断两个三角形全等。

教师：我们现在研究只有边对应相等的两个三角形是否全等。

教师：类比研究角的情况，请独立思考两个三角形中只有边对应相等的情况分几类？分别是哪几类？

学生：3类：一组边对应相等、两组边对应相等、三组边对应相等。

教师：我们先看一组边对应相等的情况，比如，有一边为4cm的两个三角形全等吗？请画图说明。

学生：我画了一个有一边为4cm的钝角三角形和有一边为4cm的直角三角形，它们不全等。

教师：接下来看两组边对应相等的情况，比如，有两条边分别为4cm，6cm的两个三角形全等吗？请画图说明。

学生：不全等，因为通过画图，我发现这样的三角形有很多个，有的是锐角三角形，有的是直角三角形，有的是钝角三角形，它们根本不可能全等。

教师：请用你的语言总结一下刚才所发现的结论。

学生：一组边对应相等，或者两组边对应相等不能判断两个三角形全等。

教师通过fash动画展示反例，强调具备这些条件的三角形不一定能重叠。所以，只有一组边对应相等或两组边对应相等不能判断两个三角形全等。

教师：那么三组边对应相等的两个三角形全等吗？这是本节课的重点。比如，有三边分别为4cm，5cm，7cm的两个三角形全等吗？

教师：已知三边画三角形，是本节课的难点，请同学们拿出实验报告单，分小组活动，利用工具动手实践，合作交流，讨论出画三角形的方法。

“探索三角形全等的条件”实验报告单

教师：请同学们独立操作第一步。（在这个过程中，教师观察学生的情况，对有困难的学生进行个别指导）

教师：画完后由组长负责小组内交流各种画法，让不会画的学生向会画的学生求助，达到共同进步的目的。

教师：现在请小组代表汇集小组同学的画法，并用重叠法验证各三角形是否全等，代表小组进行全班交流。

学生1：我们组的同学是先画一条长为7cm的线段，然后用两个直尺固定刻度4cm，5cm，反复试验直到相交组成三角形。

学生2：我们组的同学是用尺规作图。

教师：好，现在请看老师用fash演示其中几种做法，希望每位同学都能找到画图方法。

教师：接下来完成第四步。每小组各选取一组数据画出三角形，再次用重叠法验证同组三角形是否全等。完成实验报告单。

学生：用展示平台展示验证过程。

教师：根据实验结果，小组交流得出结论。

学生：我们组得到的结论是：三组边对应相等的两个三角形全等。

教师：这就是我们今天学习的判别两个三角形全等的方法，简写为“边边边”，或“SSS”。

教师：请同学们再看片头场景，你能用什么方法验证两个画坛是否全等呢？

学生1：步测三边长度，看是否相等。

学生2：利用测量工具测量三边长度，看是否相等。

学生3：数花盆个数看每边花盆个数是否相同，如果相同，两个三角形就全等。

教师：同学们的方法都很好，其实数学来源于生活又作用于生活。

教师：现在我手里有三角形、四边形教具，请一位同学上来拉拉这两个教具，说说有什么感受？

学生：我拉了两个教具，我发现三角形具有稳定性，四边形不具有稳定性。

教师：你们能解释为什么三角形具有稳定性吗？

学生：三角形三边一确定，根据“边边边”定理，形状大小就确定了，所以三角形具有稳定性。

教师：是的，三角形的稳定性是三角形特有的性质。

（需要说明的是，对于前面的活动，如果学生探索进展不顺利，教师应该引导学生进行再探索，直到探索出结论为止。如果学生探索进展比较顺利，才和学生一起进入第三教学环节：探寻实例，感受新知）

（3）探寻实例，感受新知。

教师：你们能举出生活中三角形具有稳定性的例子吗？

学生1：照相机的三脚架。

学生2：索拉桥。

学生3：木屋的屋顶……

教师：对，生活中有很多这样的例子。现在我们来看几个例题，让我们在解决问题的过程中发展合情推理，进一步学习有条理的思考与表达。

（4）启发思考，拓展新知。

教师：请看例1，如图，AB=DE，AC=DF，BC=EF，△ABC和△DEF是否全等？试口头说明理由。

学生：因为△ABC和△DEF三边对应相等，根据“边边边”定理，可知△ABC和△DEF全等。

教师：请看例2，如图，AB=CD，AC=BD，△ABC和△DCB是否全等？试说明理由。

教师：请同学们填在书上，另请一位同学上黑板填写。

学生上黑板填写：BC＝BC，SSS。

教师：例3，如图，AB＝CE，AF＝DE，D、F是线段BC上的两点，BD＝CF，△ABF和△ECD是否全等？试说明理由。

解：因为BD=CF，所以：BD+____=CF+____即：____=____△ABF≌△ECD，理由如下：

教师：请同学们思考后填在书上，另请一位同学上黑板填写。

学生上黑板填写：DF，DF，BF，DC，BF=DC，SSS。

（5）归纳反思，梳理新知。

教师：现在我们来总结一下本节课的主要内容。

教师：三组边对应相等，三组角对应相等的两个三角形全等吗？

学生齐答：全等。

教师：只有角对应相等的两个三角形全等吗？

学生齐答：不全等。

教师：只有边对应相等的两个三角形全等吗？

学生齐答：不一定。

教师：如果两个三角形全等，需要几组边对应相等？

学生1：三组边对应相等的两个三角形全等。

教师：你还有哪些其他收获？

学生1：我学会了用类比的方法解决问题。

学生2：我学会了分类解决问题。

学生3：我觉得数学来源于生活又作用于生活。

学生4：我体会到了帮助别人的快乐……

教师：有部分角对应相等，部分边对应相等相结合的两个三角形全等吗？这就是下节课我们要研究的内容。

（6）课后演练，反馈新知。

教师：现在布置作业如下。必做：教科书习题5．8中第1、2、3题；选做：教科书第159页复习题组中第2题。

阅读：教科书第160页。

6．设计说明。

以上教学过程教师是从3方面进行设计的。

①数学教学要让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程，引导学生捕捉生活中的数学现象，挖掘数学知识的生活内涵。

②数学教学要向学生提供充分从事数学活动、进行数学思考的机会。本节课始终关注学生能否在老师的引导下积极主动地按所给的条件进行探索，能否在活动中大胆尝试并表达自己的想法从而发现结论。培养学生的协作精神，协调能力，促进个体发展。

③数学教学要从学生已有的生活经验、认知结构出发。在教学实践中，教师对本节课教材进行了创造性的重组：把按条件个数分类探索，改成按边角分类探索。将边角结合的情形放到了下一课时，这样更符合学生的思维习惯、认知规律，同时减轻了本课时压力，留出充足的时间进行探索，更有利于突出重点、突破难点。通过教学反馈，学生不会出现只有角相等就判定两个三角形全等的现象，在解决全等问题时推理思路更具有方向性和条理性。