回归分析以及决定系数

通过相关分析可以说明变量之间相关关系的方向和程度，但是却不能说明变量之间具体的数量因果关系。当自变量给出一个数值时，因变量可能取值是多少，这是相关分析不能解决的。这需要通过新的方法解决，即回归分析。

回归分析，就是建立一个数学方程来反映变量之间具体的相互依存关系，并最终通过给定的自变量数值来估计或预测因变量可能的数值，该数学方程成为回归模型。

在回归分析中，如果变量之间的回归模型是直线方程，则这类回归分析为线性回归分析（直线回归），该直线方程成为线性回归方程。具体的讲，如果直线方程中只有一个自变量和一个因变量，称之为简单线性回归分析；若存在一组自变量和多个因变量，称之为多元线性回归分析。线性回归分析是整个回归分析的基础，本节主要介绍这一部分。

（一）简单线性回归分析

主要任务是在惟一的自变量x和因变量y之间建立一个直线函数，其表现形式为：

＝a＋bx

需要指出的：x是自变量，是因变量的y的估计值，又称理论值。实际观测值y和理论值的关系是：y＝＋ε，式中ε称为离差，反映了因各种偶然因素、观察误差以及被忽略的其他影响因素带来的随机误差。

（二）决定系数R

决定系数R（相关指数、可决系数）样本决定系数是相关系数r的平方，判定系数是反映相关关系密切程度的重要指标，即回归方程与样本观测值拟合程度判定的指标，但不论是线性相关或非线性相关都可以运用。在非线性中常用R表示，以与线性相关系数r相区别。

r2的值总在0～1。一个直线回归模型如果充分利用了x的信息，则r2越大，拟合程度就越好；反之，如r2不大，说明模型中给出的x对y的信息还不够充分，应进行修改，使x对y的信息得到充分利用。如要判别相关方向要靠回归系数b。

决定系数r2的意义在于解释变异量的比例。若x变项与y变项的相关为0.50（P＜0.001），决定系数为0.25，意味着y变项的变异量中，可被x变项解释的变异量百分比为25%；相对的，也意味着x变项的变异量中，可被y变项解释变异量百分比也为25%；而相关系数等于0.50，则表示x变项与y变项间有显著的正相关。