1.速度势函数及势流
在无旋流动中旋转角速度处处为零，在流场的每一点，速度分量满足式（7.7）给出的关系，即
由数学分析知道，当速度分量满足上面三个关系式，它们必定可以被表示为某一空间函数的偏导数。记这个空间函数为φ，三个速度分量表示为
φ称为速度势函数。还可以把式（7.17）的三个关系式表示成下列矢量形式：
当流动无旋时必定存在着满足关系式（7.17）的速度势函数φ。反过来也容易证明，如果存在着满足式（7.17）的速度势函数，则由它所定义的速度一定满足无旋条件。存在速度势函数的流动称为有势流动，简称势流。有势流动和无旋流动这两种说法是等价的。
速度势函数由无旋条件引出，无论对于可压缩流体或者不可压缩流体，也无论对于定常流动或者非定常流动，只要流动满足无旋条件，就一定存在着速度势函数。
对于不可压缩流体的运动，速度满足连续性方程（3.15）
将式（7.17）表示的速度代入连续性方程，得
速度势函数的拉普拉斯方程为
2.不可压缩流体的平面势流
流场中各点速度都平行于某一平面，而且所有物理参数在此平面的垂直方向不发生变化，这种流动称为平面流动。所有的实际流动都发生在三维空间中，严格意义下的平面流动是不存在的。但是，当流动参数沿某一方向的变化相对较小，并且在该方向的速度分量也很小时，就可以把这样的流动简化为平面流动。例如，在研究展弦比较大的机翼的绕流问题时，在很多情况下忽略机翼两端头附近流动的“端部效应”，把机翼看成是无穷长等截面物体中的一段，如图7-12所示。这时，在与图示z坐标正交的各平面中，流动基本上相同，只需要研究其中任意一个平面（如xy平面）上的流动，这就是平面流动。类似地，流体绕桥墩、电缆、海上采油平台的立柱和高层建筑的流动等也都可以简化为平面流动。
图7-12 平面流动示意图
对于不可压缩流体的平面势流，如果采用平面直角坐标系（x， y），连续性方程（3.15）和无旋条件式（7.7）可以分别表示为
如果在流场中存在物体壁面Σ，流体在物面上应该满足法向速度为零的边界条件
其中，n是物面边界的外法线。如果流场延伸至无穷远，在无穷远处还应满足
其中，V∞是无穷远处的速度矢量。
采用平面极坐标系（r，θ）时，不可压缩流体的连续性方程和无旋条件分别为
求解不可压缩流体的平面势流问题的任务就是寻求满足方程（7.22）、 （7.23）以及边界条件式（7.24）、（7.25）的速度矢量。对于此类问题，有几种不同的数学求解途径。首先介绍以速度势函数为未知函数的求解途径。
对于不可压缩流体的平面势流，采用直角坐标系，由式（7.17）写出速度势函数φ与速度分量u、v之间的关系，即
把式（7.28）代入连续性方程（7.22），得
这是平面拉普拉斯方程。满足平面拉普拉斯方程的函数称为平面调和函数。边界条件式（7.24）和（7.25）可以用φ分别表示为
可见，求解式（7.22）至（7.25）所定义的不可压缩流体平面势流问题可以归结为在式（7.30）和（7.31）所定义的边界条件之下求解速度势函数φ的平面拉普拉斯方程（7.29）。求出速度势函数后，可以由式（7.28）求出速度分量，然后再由伯努利方程求出流场中的压强。这样，求解不可压缩流体平面势流问题又归结于在式（7.36）和（7.37）定义的边界条件之下求解流函数ψ的平面拉普拉斯方程（7.35）。求出流函数后，可以由式（7.34）求出速度分量，然后再由伯努利方程求出流场中的压强。这就是以流函数为未知变量的不可压缩流体平面势流的又一求解途径。
在物体壁面上流体运动法向速度为零的边界条件可以表示为式（7.36）。该式说明，流场中存在着与物体壁面相重合的流线。如果势流解的一条流线与物体边界相重合，可以确定这个解所对应的是满足物面边界条件的流动。在另一方面，根据流线的定义，在任意一条流线上法向速度都为零，因此又可以把流场中的任意一条流线看成是一个物体边界。
采用平面极坐标时，速度与流函数之间的关系式是
例7-7在不可压缩流体的平面流动中，流体速度分量为u=x-4y，v=-y-4x。证明该流动满足连续性方程，并求流函数的表达式。若流动无旋，求其速度势函数。
解 对于不可压缩流体的平面流动，连续性方程为
代入速度u=x-4y，v=-y-4x，可知流动是满足连续性方程的。
现在求流函数的表达式。由
将x作为参数对y积分，得
为了确定f（x），再将ψ对x求偏导数。ψ对x的偏导数等于-v，所以
其中，f′ （x）是函数f（x）对x的一次导数。再由
对x积分，得
由于在流函数中加、减任意常数不会使它所对应的运动学参数产生改变，所以积分常数可以忽略。于是，最后所得到的流函数为
将速度代入无旋条件
速度分量满足这个方程，由此证明流动是无旋的。由
把y作为参数对x积分，得
在复变函数理论中称这两个关系式为柯西-黎曼（Cauchy-Riemann）条件。当一个复函数的实部和虚部满足柯西-黎曼条件时，它是解析函数。因此，用φ和ψ以下列方式组成的复变函数是复变量z=x+iy的解析函数，其中i是虚数符号。复变函数W称为复势。
由复变函数理论可知，解析函数的导数与求导方向无关。例如，将复势对x和iy两个不同的方向求导，有
其结果相同。由此可知
其中，u-iv称为复速度。
采用复势求解时，物面边界条件式（7.24）和无穷远处边界条件式（7.25）分别表示为其中，Im表示复函数的虚部。
至此，又给出了求解不可压缩平面势流问题的第三个途径：在式（7.41）和（7.42）定义的边界条件之下求解析函数W，然后由式（7.40）计算速度分量u和v。
不可压缩势流问题的控制方程是线性齐次微分方程，其边界条件也是线性的。由微分方程理论可知，将任意个线性齐次微分方程的解进行线性组合，它依然是原方程的解。这样，就可以通过将若干个已知不可压缩流体的势流解进行线性组合（或者叠加）来寻求所需要的解。若干个不可压缩流体势流解的线性叠加依然是不可压缩流体势流解，只要这样的线性叠加满足所给定的边界条件，它就是所要寻求的解。
5.不可压缩流体轴对称势流
流场中存在轴对称轴，流体沿以该轴为圆心的圆周切线方向没有运动，并且各物理参数沿圆周不变化，这种流动为轴对称流动。在实际工程中存在着大量的轴对称流动问题，例如，圆管中的流动、回转体的绕流等，都是轴对称流动。
由于在平面流动和轴对称流动中，物理参数的变化都只依赖于两个空间变量，因此它们都是二元流动。
研究轴对称流动可以采用柱坐标系或者球坐标系，这里的讨论采用柱坐标系。采用柱坐标系（r， θ， z）描述流场时，设z轴为轴对称轴，各物理参数不随θ变化，速度分量可以表示为
比较式（7.47）和（7.48）发现，两个方程中的第二项相差一个负号。式（7.47）是拉普拉斯方程，而流函数ψ的控制方程（7.48）不是拉普拉斯方程。在不可压缩流体轴对称势流中，速度势函数和流函数是不同类型的函数，速度势函数是调和函数，而流函数却不是调和函数，因此不能用它们构造具有解析性质的复势函数。通常把轴对称流动中的流函数称为斯托克斯流函数，式（7.48）中的D2称为斯托克斯算子。
像平面问题一样，运用式（7.45）和（7.46）把边界条件式（7.24）和（7.25）用速度势函数和流函数表达，就分别得到以速度势函数和流函数为未知函数的运动学方程定解表达形式。不过，由于轴对称流动中流函数所满足的方程（7.48）不是拉普拉斯方程，对其求解相对较困难，因此一般不采用流函数求解。
6.速度势函数和流函数的主要性质
对于不可压缩流体的平面势流和轴对称势流，既可以定义速度势函数也可以定义流函数。它们具有以下两项主要性质。
①速度势函数的等值线与流线正交，流函数的等值线与流线重合。
对于平面流动，令速度势函数等于常数
上式表示流动平面内速度势函数的一族等值曲线，称为等势线。由数学分析可知，速度势函数的梯度矢量▽φ与其等值线φ=C垂直，由于v=▽φ，因此速度矢量与等势线垂直。由流线的定义，速度矢量与流线相切，因此等势线必定与流线正交。
以上性质不仅对于平面流动成立，对于轴对称和三元流动也同样成立。在三元问题中φ（x，y，z，t）=C表示流动空间内一族速度势函数的等值曲面，称为等势面。对于三元流动，尽管不能定义流函数，但仍然可以定义流线，此时，等势面与流线正交。
在另一方面，平面流动中流线微分方程dx/u = d y/v可以写成
运用式（7.34）把速度分量用流函数的导数来代替，上式成为可见，在流线上ψ=C。这也说明，流函数的等值线与流线重合。
在实际应用中，一般就把流函数的等值线（ψ=C）称为流线，但实际上ψ=C曲线并不等同于流线。流函数ψ是由不可压缩流体二元流动的连续性方程引入和定义的，换句话说，对于特定的流动才能引入流函数，而流线则是针对速度不全为零的流场，由速度矢量的方向定义的。
在研究二元不可压缩流体的运动时，一般都是通过绘制流函数的等值线来给出流线。由于在物面边界上流函数的值是个常数，所以物面边界也可以当作是流场中的一条流线。
图7-14是流体绕圆柱体无旋流动的部分等势线和流线。由于问题的对称性，图中只画出了流场的半边。由图可以看到，两族曲线是正交的。由速度势函数和流函数的性质不难判断，部分曲线与圆周正交的一族是等势线，而其中一条与圆柱面相重合的一族则是流线。
图7-14 绕圆柱流动的流线和等势线
对于轴对称流动，尽管斯托克斯流函数不是调和函数，但是也可以用同样的方法证明，流函数的等值线与流线重合，等势线与流线正交的性质仍然成立。
②在单连通区域中，沿任意曲线的切向速度积分等于曲线两端点上速度势值之差，其积分值与路径无关。通过连接两条流线的任意曲线的体积流量等于这两条流线上流函数值之差。
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