不可压缩流体基本轴对称势流及其叠加

不可压缩流体基本轴对称势流及其叠加_工程流体力学(Ⅱ

对于不可压缩流体的轴对称势流，速度势函数是调和函数，而流函数不是调和函数。但是它们的控制方程都是线性的，所以仍然可以采用叠加法来求解。

1.基本的轴对称势流

（1）均匀直线流

采用柱坐标系（r，θ，z），z轴为轴对称轴，各物理参数不随θ变化。设均匀直线流流场中速度分量分别为

运用式（7.45）和式（7.46），积分后得到速度势函数和流函数

（2）空间点源（汇）流

流体由坐标原点沿径向均匀地流向无穷远处，并且通过以该点为圆心、任意不同半径的圆球面的流量Q均相等。这种流动称为空间点源流，通过圆球面的体积流量Q称为点源强度。当Q为负值时，流动称为空间点汇流。应该说，空间点源才是真正的点源，平面点源实质上是空间中的线源。

由式（7.45），柱坐标系中速度分量vr和vz与速度势函数φ之间的关系为

其中，z是轴对称轴，θ是vR与z轴之间的夹角。 由上面两式积分，得速度势函数

由流函数与速度分量之间的关系式（7.46），得

积分，得流函数

2.均匀来流绕圆球体的流动

前面已经用一个平面均匀直线流与一个平面偶极流叠加构成了绕圆柱体的无环量流动，现在把一个来流速度为V∞的均匀直线流与一个强度为-M的空间偶极流叠加。研究这种流动采用球坐标系更方便。取球坐标系（R，θ，λ），其中λ是以图7-31中z轴为旋转轴的度量角度。在轴对称问题中取z为轴对称轴，所有参数不随λ变化。参照图7-31，柱坐标系的r，z与球坐标系的R，θ之间的转换关系为

图7-31 绕圆球体的流动

设偶极子位于坐标系原点。将均匀流与偶极流叠加，由式（7.84）、 （7.85）和式（7.90）、（7.91），得速度势函数和流函数的表达式

进而由速度势函数得到球坐标系中的速度分量当θ=0和θ=π时，vθ=0，它们分别对应后驻点和前驻点；当θ=π/2和θ=3π/2时，球表面上的切向速度最大，由式（7.96）知，最大速度是来流速度的3/2倍。在圆柱的无环量绕流中，柱表面最大切向速度是来流速度的2倍。

设无穷远处压强为p∞，由伯努利方程还可以得到圆球表面的压强分布

以及压强系数分布

读者可以将它与描述圆柱体表面压强系数分布的式（7.81）进行比较。

把分布压强投影到来流方向和垂直于来流的方向，并沿整个球体表面积分，同样会发现流体作用在球体上的阻力和升力均为零。

例7-11设在图7-32中的点z=l处有一强度为-Q的点汇，在点z=-l处有一强度为Q的点源，将它们与速度为V∞且与z轴同方向的均匀直线流叠加。求叠加后的流函数和绕流的物面形状。

解 由式（7.85）和式（7.89），叠加后的流函数为

令ψ=0，得零流线方程这个代数方程给出了两条曲线，一条是与z轴重合的直线r=0，另一条是图7-32所示的卵形封闭曲线。直线与卵形曲线有两个交点，也就是前、后驻点。可见，上面的流函数描述了绕卵形回转体的势流流动。这类回转体也称为兰金（Rankine）体。

当点源和点汇趋于同一点，并且源、汇的强度同时趋于无穷大，点源和点汇叠加成为偶极子时，上面的叠加解对应一个绕圆球的势流流动。

图7-32 绕卵形回转体的流动

图7-33 绕任意形状回转体的流动

解 均匀直线流与偶极流叠加得到圆球的绕流，点源、点汇与均匀直线流叠加得到卵形回转体的绕流。 由此得到启示，采用适当分布的源（汇）与均匀直线流叠加可以得到绕任意形状回转体的流动。

图7-34 点源（汇）与控制点

把均匀直线流与N个空间点源（汇）叠加，其流函数为

对于不可压缩流体的定常流动，要求通过回转体表面进入流体区域的净流量等于零，这就要求源汇的总量等于零，于是，又有下列关系式：计算流场中任意一点的速度，并进而由伯努利方程计算任意一点的压强。

由以上过程求出的解仅在N-1个控制点上精确地满足物面边界条件ψ=0，因此它是近似解。增大点源（或汇）的数目N，边界上控制点的数目也相应地增大，解的精度可以得到提高。

随着计算机的普及和发展，在求解流体力学问题时也越来越多地依靠数值求解方法。对于势流问题经常用到的数值求解方法有基本解叠加法、奇点分布法、有限差分法和有限元方法等。在例7-12中所布置的点源（或汇）是奇点，其求解过程反映了奇点分布法的主要思想。实际上，在采用奇点分布法时不仅可以把奇点布置在物体的内部也可以布置在物面边界上。不管在物体内部还是在物面上布置奇点都不会改变无穷远处的边界条件，只要布置奇点后流场中存在着与物面相重合的流线，这个流动就满足物面边界条件，因此它也就是所要寻求的解。基本解叠加法和奇点分布法都是运用了不可压缩流体势流解可叠加的性质。