不可压缩粘性流体运动的基本方程

1.纳维-斯托克斯方程

在第3章中把牛顿第二定律用于理想流体的运动，从而建立了欧拉运动方程，也就是理想流体的运动微分方程。在建立欧拉运动方程的过程中没有考虑流体的粘性应力。下面对流体系统建立粘性流体的运动方程。

仍然考虑一边长为Δx、 Δy和Δz的微小平行六面体流体系统，图8-3中所示是它在xOy平面上的投影。作用在系统上的外力包括质量力和表面应力。设六面体形心点上的单位质量力f=fx i+fyj+fzk。由于要考虑流体的粘性作用，系统上的表面应力包括正应力和切应力。

图8-3 作用在微小流体系统上的应力

式（8.11）给出了流体运动应该满足的动力学条件。由于方程中的速度分量和应力分量通常都是未知的，如果用这一组方程与连续性方程联立求解，在一般情况下，方程中未知变量的数目大于方程的数目，所以方程是不封闭的。对于理想流体，所有的切应力分量都等于零，三个正应力分量都等于压强负值，式（8.11）简化为式（3.20）。这就是理想流体的运动微分方程。对于粘性流体，必须运用广义牛顿内摩擦定律消去方程中的应力后才能使方程封闭。

对于不可压缩流体的运动，把广义牛顿内摩擦定律式（8.10）中的正应力分量σxx和式（8.9）中的切应力分量τyx及τzx代入运动微分方程的第一式（8.11a），方程的右边成为

其中υ=μ/ρ是流体的运动粘度。对于不可压缩流体的运动，最后一项等于零。把上式用于式（8.11a）后得到

同样，把广义牛顿内摩擦定律代入式（8.11b）和式（8.11c）后又得到

把式（8.12）的三个微分方程合起来写成较为简洁的矢量形式就是

式（8.12）或者式（8.13）是不可压缩粘性流体流动的运动微分方程，这组方程是由法国科学家纳维（C.Navier）在1821年和英国科学家斯托克斯在1845年分别建立的，所以也称为纳维-斯托克斯方程，简称为N-S方程。

采用柱坐标系（r，θ，z），N-S方程表示为

其中拉普拉斯算子▽2在柱坐标下的表达式为

球坐标系下的N-S方程列在附录中，以供查阅。

将N-S方程（8.13）与理想流体运动的欧拉方程（3.21）相比较，惟一的差别是，式（8.13）的右边多出了与粘性有关的二阶导数项υ▽2v。对于理想流体，运动粘度υ=0，N-S方程（8.13）简化为欧拉方程（3.21）。

在第3章中已讨论过欧拉方程各项的意义。方程左边是单位质量流体的惯性力，其中▽v/▽t是局部惯性力，（v·▽）v是对流惯性力；方程右边是单位质量流体上所作用的力，其中f是质量力，▽ p/ρ是压强差。N-S方程中多出的一项υ▽2v则是粘性力。

在一般情况下，N-S方程中有四个未知变量，即u、v、w和p；式（8.12）与不可压缩流体运动的连续性方程（3.15）联立共有四个方程，方程的数目与未知量数目一致，因此方程组是封闭的。从数学物理方程中知道，要使微分方程组有确定的解，还必须根据实际的流动现象提出足够的初始条件和边界条件，也就是所谓的定解条件。

2.求解N-S方程的定解条件

求解N-S方程需要给出相应的边界条件，对于非定常流动还需要给出初始条件。边界条件要能够反映出实际问题的主要运动学和动力学特征，经常用到的边界条件如下。

（1）流-固交界面上的无穿透条件和无滑移条件

在流-固交界面上流体的法向速度和切向速度都应该等于固壁的运动速度。当固体静止时，流体的法向速度和切向速度都应该等于零。这就是流-固交界面上的无穿透条件和无滑移条件。

对于理想流体，只要求流-固交界面上的法向速度与固壁速度相等，即只要求无穿透条件成立；而对于粘性流体，流体的运动不仅不能穿过固壁，当它们流经固体时会粘滞在固壁上，不能发生与固壁之间的相对滑移。

（2）无穷远处的无扰动条件

与理想流体一样，粘性流体运动的任何变化都不会将影响延伸至无穷远。这样就可以采用远处的已知流动参数作为无穷远处的边界条件。

（3）流体交界面上的速度和应力连续条件

在不同流体的交界面上，界面两侧流体的速度和应力都应该相等。对于理想流体的流动，只要求界面两侧流体的法向速度和压强（即法向应力）相等，但对于粘性流体则要求法向、切向的速度和应力都相等。理想流体运动时可以在交界面上发生相对滑移，对粘性流体则不允许任何相对滑移。

对于非定常流动，还需要指定任意一个时刻流场中各速度分量和应力分量的分布作为求解的初始条件。