在静止流体中只有分子扩散，扩散方程为式（10.4）。该方程是一个二阶的线性偏微分方程，只有在比较简单的初始条件和边界条件之下才有可能求出它的解析解。首先在无界的静止流体中求解。
扩散方程的求解与扩散质的初始形态密切相关。在传输理论中，可以研究在t=0时刻以点、线、面和体等形式存在的扩散质在t＞0时刻所发生的扩散，也就是点源、线源、面源和体积源的扩散问题。在环境工程中可以把污染物近似为扩散质的源。各种形式的源又都可以分为瞬时源和连续源。例如，油轮事故中短时间内泄放的油污染可以近似为瞬时源，由于管道破裂长时间连续输入的污染源则可以近似为连续源。如果扩散质只在一个方向发生扩散，则称它为一元扩散；在两个方向（一个平面）和三个方向（整个空间）发生的扩散则分别称为二元扩散和三元扩散。
如果流体受到湍动干扰，湍流扩散各向同性，而时均速度，只要用湍流扩散系数替代本节中使用的分子扩散系数，以下的求解方法也同样适用。
1.瞬时点源的一元扩散
在静止流体中瞬时均匀投放在一个足够大的平面上的扩散质基本上只在一个方向发生扩散，其过程可以简化为瞬时点源的一元扩散。沿扩散方向取坐标轴x，分子扩散方程（10.4）简化为
为了把偏微分方程简化为常微分方程，首先运用量纲分析法研究参数之间的相关关系。假设初始时刻单位面积上的扩散质质量为ma，ma称为点源的强度。任意时刻t在流场任意空间位置x的扩散质浓度C与点源的强度ma及扩散系数D有关。在该物理过程中，C、ma、D、x和t等5个物理参数相关联，涉及M、L和T等三个基本量纲。根据量纲分析原理，该物理过程可以由5-3=2个无量纲参数的关系式描述。注意到在一元扩散问题中浓度C的量纲为ML-1，由∏定理可以求出两个无量纲参数
于是一元扩散过程可以由下列一般函数关系式描述：
再把这个函数关系式改写为
式（10.17）还可以进一步整理为
于是有
其中，B是任意常数。令B=0，可得到常微分方程（10.17）的一个特解
其中，A是积分常数。把φ和η代入式（10.16）后就得到扩散质的浓度
由于假定扩散质质量守恒，分布在扩散空间的扩散质总质量等于它初始时刻的质量，因而有
把浓度C的表达式代入上面的积分式，得
由此可知，为了满足扩散质的质量守恒必须有A=1。于是，一元扩散方程（10.14）的解为
图10-2 静止流体中不同时刻的扩散质浓度分布
图10-3 瞬时点源二元扩散浓度分布
由浓度分布函数式（10.21）可知，任意瞬间扩散质在（x，y）平面上的浓度分布呈钟体形，如图10-3所示。点源处浓度最大，随着离点源距离的增大，浓度呈负指数形式衰减，其等浓度线为一族同心圆。
类似于二元扩散情况的推导，还可以得到瞬时点源三元扩散的浓度分布
其中，mv是空间点源强度。对于三元扩散，其等浓度线为一族同心圆球。
3.瞬时空间分布源的扩散
如果初始瞬间扩散质不是集中在一处，而是分布在一定的空间范围内，就应该把扩散质简化为瞬时空间分布源。把分布源所占空间划分为许多微小的单元，每个单元中的扩散质都可以近似为一个瞬时点源。每个瞬时点源对应一个浓度场，所有瞬时点源的叠加（积分）就是瞬时空间分布源。
首先以瞬时线分布源为例说明分布源扩散的计算方法。设沿x轴在a≤x≤b区间内有一瞬时分布源，如图10-4所示，初始时刻的扩散质浓度分布为
在x=ξ处取一微段dξ，该微段可以看做是一个点源，其强度
该点源经时间t扩散至x处的浓度dC可由式（10.18）得到，即
在区间a≤x≤b上对上式积分，即获得分布源所对应的浓度分布
图10-4 空间分布源
表10-3列出了误差函数的部分值。，
表10-3 误差函数表
4.时间连续点源的扩散
在一定时间段内连续输入流场的扩散质可以简化为连续源。与处理空间分布源的方法类似，可以把连续的时间划分为无数多个微小的时间段，在每个微小时间段内向流场输入的扩散质都可以近似为瞬时源。运用瞬时源的计算公式求出微小时间段内所输入的扩散质浓度，然后将它们叠加（积分）就得到时间连续源的扩散浓度分布。
假设有一个时间连续点源，单位间内向流场输入的扩散质质量为▽，且输入强度不随时间变化。在微小时间段dτ内输入的扩散质质量为▽dτ。根据瞬时点源三元扩散浓度计算公式（10.22），它所对应的浓度dC可以表示为
从开始向流场输入扩散质到任意时刻t，时间连续点源在空间位置（x，y，z）点所形成的扩散质浓度就是上式对时间的积分
表10-4 不同时刻不同截面检测时均相对浓度记录表
查误差函数表10-3，并由差值得到近似值
计算后得到湍流扩散系数
由t=200 s，x=30 cm，，同样可得DT=10.9 cm2/s。由表中所列11组测量数据可求得11个系数，取其平均最后可得湍流扩散系数
读者还可以思考其他确定湍流扩散系数的方法。
5.有边界反射的扩散
在前面所讨论的问题中都没有考虑边界的影响，因此所得结果只适用于无界流场的扩散。在实际工程问题中，流场一般都存在于边界。当扩散质没有到达边界时，前面所推导的公式仍然适用，扩散质到达边界后会被吸收或者反射，也可能部分被吸收，部分被反射。是发生吸收还是发生反射取决于扩散质的物性及边界的性质。在大部分情况下，扩散质到达边界后会同时发生吸收和反射。为简单起见，下面只讨论完全反射问题。
设强度为ma的扩散质瞬时点源沿x轴方向发生一元扩散，在右边距离点源x=L处有一边界。扩散质点源可以向左侧扩散至无穷远，向右侧扩散至边界后则发生完全反射。由于扩散质不能穿过边界，因此在该处扩散质净通量为零。运用镜像原理，在边界右侧距离L处置入一个与真实点源强度相同的虚拟点源，由于实点源与虚点源对称于边界，因此扩散质通量等于零的边界条件得到满足，两个点源叠加后就得到满足边界条件的解。这种方法也就是在第6章中使用过的镜像法，虚拟源也称为镜像源。
取原点位于实点源处的x坐标轴，镜像源距离实源的距离为2L，其位置坐标为x=2L。由式（10.18），任意时刻t实点源和虚点源沿 x轴扩散所对应的扩散质浓度分别为
以上两部分相加就得到具有全反射边界的扩散质浓度表达式
图10-5给出了实源的浓度分布曲线CR和虚源的浓度分布曲线C1，也同时给出叠加后的浓度分布曲线C。由图可以看出，由于边界的反射，边界附近的扩散质浓度明显地增大了，在壁面x=L处的扩散质浓度
这个浓度值是不存在边界时相同位置上浓度值的2倍。
图10-5 具有全反射边界的扩散质浓度分布
例10-3有一个废水池，池底面积A=300 m2，水深h=5 m。池底有一层均匀分布的污染物，总重m=1000 kg。污染物在水中的分子扩散系数为D=1.5×10-3 cm2/s。不考虑池侧壁的反射。试估算一年后池面和池底的污染物浓度分布。
解 由于污染物均匀地分布在池底，并且不考虑侧壁的影响，因此可以把问题简化为位于池底的瞬时点源沿水深z方向的一元扩散，位于z=0的池底和位于z=h的水面都是反射边界。在池底z=0处和水面以上z=2h处置入两个虚拟点源来替代反射边界。单位面积上污染物的质量为ma =m/A，由式（10.18），任意时刻池中污染物浓度分布计算公式为
污染物的扩散系数
当t=365 d（一年）时，有
在池底z=0处，一年后的污染物浓度
在池面z=h处，一年后的污染物浓度
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