违约距离的计算公式

5.2　违约距离的计算公式

由于KMV公司并未公布违约距离的求解细节，诸多学者提出了若干个计算公式［92～95］。可以用两种方法来计算DD，一种是简单算法；另一种是对数方法，根据对企业资产价值服从几何布朗运动的假定来计算。

（1）简单算法1

在简单算法中，可以对违约距离DD按照如下方法定义：

STD为短期债务，LDT为长期债务，

DPT为违约触发点=STD+1/2LTD

假定期限为一年，企业年未资产期望值与违约触发点之间的差额包含的资产价值标准差的个数。由公式（5-5），代入企业资产价值波动标准差σa与企业资产连续复回报的标准差σA的关系，得违约距离的计算公式1：

DD1=VTA-DPT—VTAσA（5-7）

（2）简单算法2

由于资产服从对数正态分布，由对数正态分布的函数的特性

E（VTA）=V0Ae（μ+0.5σ2A）T， σA=（eσ2AT-1）0.5（5-8）

这里建议另一种简单算法的违约距离计算公式2：

DD2=V0Ae（μ+0.5σ2A）T-DPT—V0Ae（μ+0.5σ2A）T（eσ2AT-1）0.5（5-9）

式中：V0A，VTA是期初和期末的资产价值，μ是资产的连续回报，其他符号同前。

（3）对数算法1

因为企业资产价值运动服从几何布朗运动，即（5-1）式：

dVA=μVAdt+σAVAdz

式中：dz为维纳过程，（dz=εdt，ε～N（0，1），μ是资产的连续回报。

根据伊藤引理有：

df=df—dVAμVA+1—2d2f—dV2Aσ2AV2Adt+df—dVAσAVAdz（5-10）

对（5-10）式进行积分，有：

f（VTA）-f（V0A）=∫T0df—dVAμVA+1—2d2f—dV2Aσ2AV2Adt+∫T0df—dVAσAVAdz（5-11）

取f（VA）=lnVA，则df—dVA=1—VA，d2f—dVA=-1—V2A，带入（5-11）式，整理得：

lnVTA=lnV0A+（μ-σ2A—2）T+σATε（5-12）

因此，可以求得T时刻资产价值对数的期望值：

E（lnVAT）=lnV0A+μT-1—2σ2AT（5-13）

又：σTA=σAT（5-14）

综合（5-13）、（5-14）式，可得出违约距离DD3：

DD3=ln（V0A/DPT）+（-1/22A）T—AT（5-15）

（4）对数算法2

由于有时预估资产的连续回报μ较为困难，有学者建议用无风险利率r代替资产的连续回报μ，得出违约距离DD4：

DD4=ln（V0A/DPT）+（r-1/22A）T—AT（5-16）