经济增长与波动

动态动态、经济增长经济增长与波动

4.1 引言

本章从库兹涅茨（1955）的基本观察出发，认为个体间收入差距的变化与产业结构变迁产业结构变迁（“产业结构变迁产业结构变迁”是指：经济发展进程经济发展进程中，产出和就业部门间比例的变化，本书中特指产出在部门间从业人数的变化。）现象密切相关，而一些产业的兴起和另一些产业的衰落又源于技术进步技术进步过程中新旧技术技术的更替。新旧技术更替新旧技术更替是产业（部门）兴衰的重要影响因素之一，同时也是收入分配格局收入分配格局变迁的关键因素之一。经济发展进程经济发展进程中，收入分配收入分配的库兹涅茨倒“U”型库兹涅茨倒“U”型（库兹涅茨（1955）根据当时有限的观察数据，提出一个大胆假说：随着人均收入水平的不断增加，收入差距将出现先扩大后缩小的趋势。此后，大量旨在检验这一假说的实证文献得出了不一致的结果：大部分截面分析截面分析支持了库兹涅茨假说，而大部分时间序列分析时间序列分析则并不支持。这样，就给围绕这一假说的相关理论和实证研究提供了广阔空间。）出现与否，与新技术技术的应用与新旧技术更替新旧技术更替密切相关。本章通过建立理论模型模型的方法，探讨技术更新技术更新过程中，新旧技术更替新旧技术更替对收入分配格局收入分配格局以及经济经济的增长与波动的互动演化过程。根据本章的模型模型推导，笔者发现，在经济经济的持续发展进程中，随着技术技术的不断更新，在不同的模型模型参数条件下，收入分配格局收入分配格局演进演进有可能出现不同的动态特征动态特征：收入分配差距收入分配差距单调下降单调下降、库兹涅茨倒“U”型库兹涅茨倒“U”型，甚至多重倒“U”型（也就是说呈现一种周期性变化周期性变化的特征）（多重倒“U”型（即收入分配收入分配多重倒“U”型）是指：在经济发展进程经济发展进程中，伴随着新旧技术技术的不断更替，而在每一次新旧技术技术的更替过程中，都有可能出现收入差距先扩大后缩小的库兹涅茨倒“U”型库兹涅茨倒“U”型。因此，收入分配收入分配动态动态演化过程可能出现周期性变化。）。同时，本章还将利用所建立的理论模型模型讨论初始收入分配收入分配状态对随后的结构变迁结构变迁和经济增长经济增长的影响，以及政府的再分配再分配政策对经济增长经济增长的短期和长期影响。

本章模型模型尝试在Schumpeter主义内生增长模型模型（所谓垂直创新垂直创新增长模型模型）的基本框架中引入个体财富财富（收入）异质异质性和不完美资本市场不完美资本市场方法，讨论收入分配格局收入分配格局和经济经济的增长与波动的互动演进机制互动演进机制。

本章模型模型有三个关键假定。其中，第一个关键假定是：任一时期t，经济经济中存在J种（J为大于等于1的正整数）中间品中间品生产技术技术（J种技术技术又对应于经济经济中的J个部门）。这J种新技术技术的收益率分别为R1，R2，R3，…，RJ，且J种新技术技术分别要求大于零且不可分的入门资本（最低投资投资额）K-1，K-2，K-3，…，K-J。经济经济中的任何个人只能投资投资于一种中间品中间品技术技术，由于技术技术资产存在入门资本资本要求，且假定不存在资本资本市场（信贷市场），所以只有初始财富财富水平超过入门资本资本K-i（i=1，2，3，…，N）的个人才有机会投入资产Ri，所以，t期经济经济中存在（真正用于当期中间品中间品生产）的技术技术种类将由t期的初始财富分布初始财富分布Gt（wt）决定。

这一假定基于一个基本观察：在经济经济发展的早期阶段，经济经济中收益率较低的传统技术技术部门占主导地位，一个经济经济是否能够开始应用收益率较高的新技术技术，并使新技术技术部门逐步扩大是经济经济能否起飞的关键因素。（North和Thomas（1973），Rosenberg和Bridzell（1985）争辩说：许多正应用于生产领域和将要应用于生产领域的所谓新技术技术，在中世纪已经被发明出来。这些技术技术之所以未被及时应用于生产领域是受限于当时资本资本的匮乏。hobsbawm（1968）进一步证实：英国工业革命进程中的关键新技术技术和新的生产方法早在工业革命发生的150年前就已被发明。据此观点，资本资本稀缺是发展和增长的主要障碍之一。一个世纪之前，Bagehot（1873）就曾提出“在贫穷的国家没有多余的资金用于新的和更大规模的投资投资”。Wrigley（1988）也曾提出，由于资本资本的稀缺，欠发达地区过度依赖于传统的农业生产，致使工业化进程相当缓慢，甚至无法实现。据此，Acemoglu和Zilibotti（1997）建立了一个讨论资本资本稀缺、部门开放度以及增长之间相互关系的发展模型模型，其中重点讨论由于项目（技术技术）投资投资的不可分性，发展初期，资本资本稀缺制约了经济经济进行分散化投资投资的规模，因此发展初期经济增长经济增长表现出极大的不稳定性。）

本章第二个关键假定是：模型模型中引入了新技术的创造性毁灭效应新技术的创造性毁灭效应（Creative Destruction Effects）（“创造性毁灭效应”的概念源于Schumpeter的经济经济发展过程理论，以及之后Aghion等人发展起来Schumpeter主义内生增长理论增长理论。）。其中新技术技术的创造性效应之一是指新技术技术可以提高最终品最终品部门的技术水平技术水平，同时，新技术技术出现初期，能够拥有新技术技术门槛资本资本的家庭较少。因此，家庭投资投资于新技术技术的收益率高于投资投资于旧技术技术的收益率，这样有机会投资投资于新技术技术的个体将获得更高的投资投资回报率。而新技术技术的创造性效应之二则是，由于我们假定新技术技术存在溢出效应（随着新技术技术使用时间的增加，新技术技术的门槛资本资本逐渐下降），那么，随着时间的推移，所有家庭都将能够跨越新技术技术的门槛资本资本，从而有利于经济经济的长期增长。而新技术技术的毁灭效应则是指由于新技术技术对旧技术技术的替代（本章模型模型中假设，新技术技术中间品中间品一旦出现，旧技术技术中间品中间品立即消失），那么还未跨越新技术技术门槛资本资本的家庭投资投资收益率将立即下降。这样，一个新技术技术的出现对整个经济经济的影响将是多方面的。首先，其积极影响有两个方面：一方面，对于那些有机会投资投资于新技术技术的家庭，将获得更高的投资投资收益率；另一方面，由于新技术技术中间品中间品的使用能够提高最终品最终品部门的技术水平技术水平，因此，长期来看，新技术技术有利于经济增长经济增长。其次，其消极影响体现在，由于新技术技术的出现使低收入家庭的投资投资收益率出现暂时性下降，从而有可能使收入差距拉大，并有可能导致最终品最终品产出的暂时性下降。总之，长期来看，新技术技术的使用有利于经济增长经济增长（本章里笔者将经济增长经济增长定义为最终品最终品产出的增长）；但是，短期来看，则有可能导致最终品最终品产出出现暂时性波动。（新技术技术的出现是否导致最终品最终品产出的暂时性波动，以及波动幅度的大小将取决于新技术技术出现时的总财富水平总财富水平和收入分配收入分配状况。）

这一假定来源于Schumpeter关于新技术的创造性毁灭效应新技术的创造性毁灭效应的开创性论述，以及之后Schumpeter主义者关于创造性毁灭效应的模型模型化尝试。

本章模型模型的第三个关键假定是引入了不完美资本市场不完美资本市场（Imperfect Capital Market）的假设。本章关于不完美资本市场不完美资本市场的假设与第3章基本相同。（为简化分析，本书采用了不完美资本市场不完美资本市场的一种极端情形——资本资本市场缺失（Missing Capital Market），即假定经济经济内部不存在资本资本市场，家庭之间不能借贷。）

根据以上设定，本书模型模型将集中地探讨技术更新技术更新进程中，收入分配格局收入分配格局和经济经济的增长与波动之间的互动演化。有趣的是，根据本章模型模型的推导发现，在不同的模型模型参数条件下，经济经济将出现不同的稳态稳态（平等稳态平等稳态或者不平等稳态不平等稳态）。同时，在某些参数条件下，收入分配收入分配的库兹涅茨倒“U”型库兹涅茨倒“U”型曲线将伴随经济发展进程经济发展进程而出现，甚至在一些的情形下，将可能出现多重倒“U”型；而在另一些参数条件下，库兹涅茨倒“U”型库兹涅茨倒“U”型则不会出现。正是这种对于参数的敏感性，使得本章模型模型对现实问题具有了比较强的解释能力。

4.2 模型模型设定

考虑经济经济发展过程中的一个代际交替模型代际交替模型，时间离散且趋于无穷。任一时期t，经济经济利用某种中间品中间品产出一种最终品最终品，最终品最终品既可用于消费也可用于投资投资。中间品中间品由个人投资投资生产，不同的中间品中间品由不同的中间品中间品生产技术技术生产，个人可以选择利用不同的中间品中间品技术技术生产中间品中间品。经济经济中存有J种中间品中间品生产技术技术可供选择（其中，J为大于等于1的正整数），第j种（j=1，2，…，J）中间品中间品的生产需要最小投资规模最小投资规模K-j，且有0<K-1<K-2<K-3<…<K-J。

如果经济经济中开始提供第j+1种中间品中间品，那么第j种中间品中间品立即被最终品最终品部门放弃，也就是说新技术技术中间品中间品一旦出现，旧技术技术中间品中间品就被完全替代。而本模型模型假定个人的初始财富异质初始财富异质，t期个人的初始财富财富用wt表示，wt∈（0，∞）。t期经济经济中个人的初始财富分布初始财富分布为Gt（wt），且个人不能借贷，因此t期经济经济中最终品最终品生产使用哪种中间品中间品技术技术，中间品中间品的总产出，以及最终品最终品产量将取决于Gt（wt）。

4.2.1 关于个人的假定

经济经济由大量的个人构成，总人口数保持不变，我们将总人口数标准化为1，个人之间唯一可能的异质异质性来源就是其初始财富财富水平的不同。设t期经济经济的初始财富分布初始财富分布为Gt（wt）。每个个人是其家庭在t期的唯一成员，并且只有一个父母（家庭t-1的唯一成员）和一个子女（家庭t+1期唯一成员），因此经济经济中的总人口数保持不变。个人只存活一期，家庭存活无穷期，t期初个体接受其家庭上一代人的赠予，获得其初始财富财富wt，并且决定投入某种中间品中间品的生产，获得投资投资收益πt。同时，假设个体除了获得上一代人赠予的初始财富财富外，还将拥有一个小的固定的正的当期收入流θ（θ可以理解为家务劳动，或者是自给自足的生产，且不随时间变化）。t期末，个体最大化其当其效用ut：

{max ut=c1-βtbβt

s.t.ct+bt≤πt+θ （1）

其中，ct为当期消费，bt为对后代的赠予。因此，t期末，个体将当期收益的一部分（1－β）（πt+θ）（其中，0<β<1，β可以理解为储蓄率）用于消费，而将β（πt+θ）赠予他的唯一后代（t+1期个体），成为t+1期个人的初始财富财富。由于经济经济中不存在信贷市场，那么t+1期个体可以用于投入中间品中间品生产的资本资本就是其初始财富财富β（πt+θ），且假定βθ<1。（如果βθ>1，那么家庭可以不参与任何投资投资，当t→∞时，其财富财富将趋于无穷大。）

4.2.2 最终品最终品和中间品中间品的生产

4.2.2.1 最终品最终品的生产

任一时期t，最终品最终品产出采用Schumpeter主义增长模型模型的组合形式：

Yt=A（j）Yαjt （2）

其中，α∈（0，1），Yt代表t期的最终品最终品产出，Yji代表t期中间品中间品j的总产出。A（j）代表最终品最终品部门的技术水平技术水平，且有A′（j）>0，A″（j）<0，也就是说新技术技术中间品中间品的使用可以提高最终品最终品部门的技术水平技术水平，并且立即取代旧技术技术中间品中间品。为方便分析，之后我们将A（j）记为Aj，所以有：AJ>…>Aj>…>A2>A1。（参阅:Aghion and howitt（1988，1992a）.）

最终品最终品生产在完全竞争的市场环境中进行，因此，t期中间品中间品j的价格pjt为：

pjt=αAjYα-1jt （3）

4.2.2.2 中间品中间品的生产

中间品中间品由个人投资投资生产，且中间品中间品产出是个人投资投资的线性函数线性函数，所以如果t期初，经济经济中所有个人的财富财富水平均小于K-j+1，且有部分个体的财富财富水平大于等于K-j，那么如果个体i，t期的初始财富财富为wit∈［K-j，K-j+1），那么个人i产出中间品中间品j的产量yijt为（其中对于技术技术j，Rj为一个大于零的常数）：

yijt=Rjwit （4）

那么t期，经济经济中中间品中间品j的总产出水平为：

Yjt=∫K-j+1K-jyjtdGt（wt）

=∫K-j+1K-jRjwtdGt（wt）

=Rj∫K-j+1K-jwtdGt（wt） （5）

这样，t期末个体i的总收入为：

it=πit+θ=pjtRjwit+θ （6）

而t+1期，个体i（同一家庭个体用相同的下标）的初始财富财富为：

wi（t+1）=βit

=β（πit+θ）

=β（pjtRjwit+θ）

=βpjtRjwit+βθ （7）

4.2.2.3 存储技术存储技术

另外，假定经济经济中还存在一种不要求最小投资规模最小投资规模的存储技术存储技术，收益率为ρ（可以理解为在经济经济体的外部存在一个国际资本资本市场，家庭可以选择将资本资本在国际资本资本市场借出，并获得固定收益率）。且假定ρ不随时间变化，βρ<1（同时，假设ρ足够小，投资投资中间品中间品生产的收益率总是大于投资投资于存储技术存储技术的收益率）。因此，初始财富财富wit∈［0，K-j）的个人期末总收入为：

it=ρwit+θ （8）

而其t+1期的初始财富财富则为：

wi（t+1）=β（ρwit+θ）=βρwit+βθ （9）

为简化分析，我们假定总有ρ<Λjt，其中Λjt为t期投资投资于中间品中间品j的收益率。（如果ρ>Λjt，那么所有家庭都将选择投入存储技术存储技术；如果ρ=Λjt，则选择存储技术存储技术和中间品中间品技术技术两者无差异。）

4.2.2.4 个人财富财富的动态动态方程

总结以上讨论，我们可以得到当所有个人t期初始财富财富均小于K-j+1，经济经济中所有个人的财富财富动态动态方程：

{wi（t+1）=βpjtRjwit+βθ 如果，wit∈［K-j，K-j+1）

wi（t+1）=β（ρwit+θ）=βρwit+βθ 如果，wit∈［0，K-j） （10）

为简化分析，我们之后假定：

R1=R2=…=Rj=…=RJ=1

4.3 基准情形——单一中间品单一中间品条件下的收入分配收入分配

动态动态与经济增长经济增长

在基准情形中，我们假定经济经济中只有一种中间品中间品技术技术1，即J=1，并且不存在技术技术溢出（中间品中间品技术技术1的门槛资本资本不随时间发生变化）。此时，经济经济中t期中间品中间品总产出、中间品价格中间品价格和最终品最终品产出分别为：

Y1t=∫∞K-1wtdGt（wt） （11）

p1t=αA1［∫∞K-1wtdGt（wt）］α-1 （12）

Yt=A1Ya1t=A1［∫∞K-1wtdGt（wt）］α （13）

而家庭i财富财富的动态动态变化方程为：

wi（t+1）={βp1twit+βθ 如果，wit≥K-1

βρwit+βθ如果，0≤wit<K-1 （14）

个人投资于中间品的收益率投资于中间品的收益率定义为：

Λ1t=p1t=αA1—［∫∞K-1wtdGt（wt）］1-α （15）

4.3.1 稳态稳态求解

如果家庭一直投资投资于存储技术存储技术，那么其稳态稳态财富财富水平为w*ρ=βθ—1－βρ。在p1tR1>ρ的条件下（如果p1tR1<ρ，那么所有家庭都将选择投入存储技术存储技术；如果p1tR1=ρ，则选择存储技术存储技术和中间品中间品技术技术两者无差异。因此为简化分析，我们设定p1tR1>ρ。），如果w*ρ≤K-1，那么经济经济中投资投资于存储技术存储技术和投资投资于中间品中间品技术技术的总人口数保持不变，也就是说投资投资于存储技术存储技术的家庭将代代投入存储技术存储技术，其稳态稳态财富财富水平为w*ρ；如果w*ρ>K-1，那么经济经济中所有家庭都将有机会投入中间品中间品的生产。下面将就这两种情况分别讨论。

4.3.1.1 不平等稳态不平等稳态

假设t=0期，经济经济中有pρ比例的人口初始财富财富小于K-1，有pR1比例的人口初始财富财富大于等于K-1。在w*ρ≤K-1的条件下，经济经济中投资投资于存储技术存储技术和投资投资于中间品中间品技术技术的人口比例（人口数）都将保持不变，分别为pρ和pR1，且有pρ+pR1=1。而投资投资于存储技术存储技术的家庭将代代投入存储技术存储技术，其稳态稳态财富财富水平为w*ρ。

对于t=0期初始财富财富大于等于K-1的家庭ｉ，其期末收益it和其t+1期的初始财富财富wi（t+1）分别为：

it=p1twit+θ （16）

wi（t+1）=βit

=βp1twit+βθ

=αβA1wit—［∫∞K-1wtdGt（wt）］1-α+βθ

=βΛ1twit+βθ （17）

其中，Λ1t=αA1—［∫∞K-1wtdGt（wt）］1-α。（可见，随着投资投资于中间品中间品技术技术的总投资投资额∫∞K-1wtdGt（w）的增加，投资于中间品的收益率投资于中间品的收益率Λ1t下降。）我们在定义4.1和定义4.2中定义两个稳态稳态，经济经济的总体稳态稳态与家庭财富财富稳态稳态。

定义4.1：经济经济的总体稳态稳态是指：经济经济中投入中间品中间品生产的总财富水平总财富水平保持不变，中间品中间品产出、中间品价格中间品价格以及最终品最终品产出均保持不变。

定义4.2：家庭财富财富稳态稳态则是指：经济经济达到总体稳态稳态的前提条件下，每个家庭的财富财富水平保持不变。

首先，我们考虑经济经济的总体稳态稳态。

当时期t→∞，经济经济中投入中间品中间品生产的总财富财富达到稳态稳态，稳态稳态条件为：

∫∞K-1wt+1dGt+1（wt+1）

=∫∞K-1αβA1wt—［∫∞K-1wtdGt（wt）］1-αdGt（wt）+∫∞K-1βθdGt（wt）

=∫∞K-1wtdGt（wt）

=∫∞K-1w∞dG∞（w∞） （18）

由此，经济经济中投入中间品中间品生产的稳态稳态总财富水平总财富水平∫∞K-1w∞dG∞（w∞）满足以下方程：

∫∞K-1w∞dG∞（w∞）=αβA1［∫∞K-1w∞dG∞（w∞）］α+pR1βθ （19）

其中，pR1βθ<1，由方程（19）可以推知，这一稳态稳态财富财富水平是存在的。并且，经济经济达到总体稳态稳态时，经济经济中投入中间品中间品生产的总财富水平总财富水平不再发生变化，经济经济的总产出也不再发生变化。因此，当1>βΛ1∞>βρ时，经济经济达到总体稳态稳态。

对于家庭而言，经济经济达到稳态稳态时，投资投资中间品中间品生产的收益率也成为固定值：

Λ1∞=αA1—［∫∞K-1w∞dG∞（w∞）］1-α （20）

其次，我们讨论家庭财富财富稳态稳态。

当经济经济达到总体稳态稳态时，由于中间品价格中间品价格保持不变，所以中间品中间品投资投资收益率成为固定值Λ1∞，那么t=0期开始投资投资于中间品中间品生产的家庭的稳态稳态财富财富水平wi∞满足以下方程：

wi∞=βΛ1∞wi∞+βθ （21）

所以，稳态稳态财富财富水平为：

wi∞=βθ—1－βΛ1∞ （22）

其中，Λ1∞=αA1—p1-αR1（1－βΛ1∞—βθ）1－α，且有βΛ1∞<1（证明：因为Λ1∞=αA1—［∫∞K-1w∞dG∞（w∞）］1-α=αA1—（pR1wh∞）1-α

wh∞=βθ—1-βΛ1∞

所以Λ1∞=αA1—p1-αR1（1-βΛ1∞—βθ）1-α

由于Λ1∞>0，所以有βΛ1∞<1

［证毕］）。因此，当t→∞时，经济经济中的家庭财富财富水平将收敛收敛于一个两点分布两点分布：有pR1比例的人口，稳态稳态财富财富水平为wh∞=βθ—1－βΛ1∞；有pρ比例的人口稳态稳态财富财富水平为wL∞=βθ—1－βρ，且有wh∞>wL∞。总结以上讨论，我们给出定理4.1：

定理4.1：在w*ρ≤K-1和1>βΛ1∞>βρ的条件下，当t→∞时，经济经济达到总体稳态稳态，经济经济中的中间品中间品产出、中间品价格中间品价格、最终品最终品产出保持不变。此时，家庭财富财富水平收敛收敛于一个两点分布两点分布，经济经济达到不平等稳态不平等稳态。

4.3.1.2 平等稳态平等稳态

如果w*ρ>K-1，那么在1>βΛ1∞>βρ的条件下，其中Λ1∞=αA1—［∫∞0w∞dG∞（w∞）］1-α，假设在某个时期t=T～之后，所有家庭财富财富水平都大于等于K-1，所有家庭代代投入中间品中间品的生产，所以有：

{∫∞K-1wtdGt（wt）=∫∞0wtdGt（wt）

∫∞K-1dGt（wt）=∫∞0dGt（wt）=1 （23）

总体财富财富动态动态方程为：

∫∞K-1wt+1dGt+1（wt+1）=αβA1［∫∞K-1wtdGt（wt）］α+βθ （24）

所以，总体稳态稳态条件为：

∫∞0w∞dG∞（w∞）=αβA1［∫∞0w∞dG∞（w∞）］α+βθ （25）

在1>βΛ1∞>βρ的条件下，经济经济中的所有家庭的稳态稳态财富财富水平将收敛收敛为一点：w-∞=βθ—1－βΛ1∞，其中Λ1∞=αA1—［∫∞0w∞dG∞（w∞）］1－α。且有，Λ1∞=αA11－βΛ1∞—βθ1－α，βΛ1∞<βΛ1∞<1。（证明：因为Λ1∞=αA1—［∫∞K-1w∞dG∞（w∞）］1-α=αA1—（w-∞）1-α

其中w-∞=βθ—1-βΛ1∞

所以 Λ1∞=αA1（1-βΛ1∞—βθ）1-α

因为pR1<1，所以βΛ1∞<βΛ1∞<1

［证毕］）

定理4.2：在w*ρ>K-1和1>βΛ1∞>βρ的条件下，当t→∞时，经济经济达到总体稳态稳态，经济经济中的中间品中间品产出、中间品价格中间品价格、最终品最终品产出保持不变。此时，所有家庭财富财富水平收敛收敛于一点，经济经济达到平等稳态平等稳态。

4.3.2 动态分析动态分析

4.3.2.1 总财富财富与总产出

首先，我们讨论经济经济在达到不平等稳态不平等稳态过程中的总财富财富与总产出的变化情况。由以上分析已知，经济经济中投入中间品中间品生产的总财富财富的动态动态方程是：

∫∞K-1wt+1dGt+1（wt+1）

=∫∞K-1αβA1wt—［∫∞K-1wtdGt（wt）］1-αdGt（wt）+∫∞K-1βθdGt（wt） （26）

即，

∫∞K-1wt+1dGt+1（wt+1）=αβA1［∫∞K-1wtdGt（wt）］α+∫∞K-1βθdGt（wt） （27）

可见，如果经济经济发展初期，投资投资于中间品中间品的总投资投资额小于稳态稳态投资投资额，那么经济经济达到总体稳态稳态之前，经济经济投入中间品中间品生产的总财富财富是单调增加，最终品最终品的产出也是单调增加，中间品中间品的边际产出边际产出递减，而投资投资于中间品中间品的收益则是单调递减的。

其次，我们讨论经济经济达到平等稳态平等稳态的过程。在经济经济的发展过程中，由于投入中间品中间品生产的家庭比例越来越高，假设某个时期T～<∞之后，所有家庭初始财富财富都大于等于K-1。那么，t≥T～时，经济经济中投入中间品中间品生产的总财富财富的动态动态方程是：

∫∞0wt+1dGt+1（w）

=∫∞K-1αβA1wt—［∫∞0wtdGt（wt）］1-αdGt（wt）+∫∞0βθdGt（wt） （28）

即，

∫∞0wt+1dGt+1（wt+1）=αβA1［∫∞0wtdGt（wt）］α+βθ （29）

因此，如果经济经济发展初期，投资投资于中间品中间品的总投资投资额小于稳态稳态投资投资额，那么经济经济达到总体稳态稳态之前，经济经济投入中间品中间品生产的总财富财富同样是单调增加，最终品最终品的产出也是单调增加，中间品中间品的边际产出边际产出递减，投资于中间品的收益率投资于中间品的收益率单调递减。

4.3.2.2 收入分配收入分配动态动态

以下分析中，我们利用方差方差作为不平等指标不平等指标，讨论以上描述的经济经济环境中，经济发展进程经济发展进程中财富不平等财富不平等的变化过程。

4.3.2.2.1 当βθ—1-βρ≤K-1时的财富不平等财富不平等动态动态

情形1 我们讨论t=0期初始财富财富水平小于等于K-1家庭的情况。根据以上分析，我们已知：在βθ—1-βρ＜K-1和βρ<1的条件下，有pρ的家庭每代投资投资存储技术存储技术，稳态稳态财富财富水平为wL∞=βθ—1－βρ。

假设t=0期，家庭ξ和家庭η的初始财富财富水平分别为：wξt和wηt（其中，ξ≠η，wξt<wηt<K-1）。那么，这两个家庭t+1期的初始财富财富水平分别为：

wξ（t+1）=βρwξt+βθ （30）

wη（t+1）=βρwηt+βθ （31）

因此有，

Δwt+1=wη（t+1）-wξ（t+1）=βρwηt－βρwξt=βρΔwt （32）

由于我们假定βρ<1，因此有Δwt+1<Δwt，因此我们得出结论：投资投资于存储技术存储技术的群体内部，财富财富差距越来越小。直至t→∞，这一群体中的所有家庭收敛收敛于相同财富财富水平。

由于经济经济中投资投资于存储技术存储技术的人口数pρ保持不变，我们同样可以用方差方差的变化来描述这一过程。假设，家庭i在t=0期的初始财富财富水平为wit<K-1，那么，其t+1期的初始财富财富水平为：wi（t+1）=βρwit+βθ，因此有var（w（t+1））=（βρ）2var（wt）<var（wt）。因此，经济经济中有pρ比例的人口代代投资投资于存储技术存储技术，这一人群内部，财富不平等财富不平等水平呈持续下降趋势。

情形2 我们讨论t=0期初始财富财富水平大于等于K-1家庭的情况。由以上分析可知，ｔ期中间品价格中间品价格为：p1t=αA1—［∫∞K-1wtdGt（wt）］1-α，投资投资中间品中间品收益率为：Λ1t=αA1—［∫∞K-1wtdGt（wt）］1-α。假设t=0期，经济经济中投入中间品中间品的总资本资本∫∞K-1wtdGt（wt）较低，中间品价格中间品价格p1t较高，使得投资投资中间品中间品的收益率Λ1t>1—β，因此有βΛ1t>1。这样，对于任一投资投资于中间品中间品的家庭i而言，其家庭t+1期的初始财富财富大于其t期初始财富财富水平，即：wi（t+1）=βΛ1twit+βθ>wit。同时，var（w（t+1））=（βΛ1t）2var（wt）>var（wt），投资投资于中间品中间品生产的群体内部，t+1期的财富不平等财富不平等水平高于t期的财富不平等财富不平等水平。这样，t+1期经济经济中投资投资于中间品中间品生产的总财富水平总财富水平将大于t期，即：

∫∞K-1wt+1dGt+1（wt+1）>∫∞K-1wtdGt（wt） （33）

所以有p1（t+1）<p1t，Λ1（t+1）<Λ1t。直至某个时期T，有βΛ1T<1，且βΛ1（T-1）>1，所以有：

var（wT）=（βΛ1（T-1））2var（w（T-1））>var（w（T-1）） （34）

var（w（T+1））=（βΛ1T）2var（wT）<var（wT） （35）

因此，如果从t=T期之后，均有βΛ1t<1，那么从t=T+1期开始，投资投资于中间品中间品生产的家庭之间的财富不平等财富不平等水平进入下降阶段。因而，经济经济由一个较低的初始财富财富水平开始，随着经济经济的不断发展，投资投资于中间品中间品生产的家庭之间的不平等不平等将经历一个库兹涅茨倒“U”型，即财富不平等财富不平等先上升，随后下降，直至稳态稳态。

情形3 我们讨论经济发展进程经济发展进程中，投资投资于存储技术存储技术和投资投资于中间品中间品技术技术群体之间的收入不平等不平等的变化趋势。

假设，t=0期，家庭ξ的初始财富财富水平wξ~t<K-1，家庭η的初始财富财富水平wη~t<K-1，因此两个家庭t+1期的初始财富财富水平分别为：

wξ~（t+1）=βρwξ~t+βθwξ~t （36）

wη~（t+1）=βΛ1twη~t+βθwη~t （37）

在t=T-1期之前，有：

Δwt+1=wη~（t+1）-wξ~（t+1）

=βΛ1twη~t－βρwξ~t

>βΛ1twη~t－βΛ1twξ~t

=βΛ1tΔwt>Δwt （38）

因此，从t=0期至t=T-1期，两个群体间的收入不平等不平等水平逐步上升。

在t=T期之后，则有：

Δwt+1=wη~（t+1）-wξ~（t+1）=βΛ1twη~t－βρwξ~t （39）

因此，在t=T期之后，两群体之间的收入不平等不平等变化路径比较复杂。

4.3.2.2.2 当βθ—1-βρ>K-1时的财富不平等财富不平等动态动态

在βθ—1-βρ>K-1的条件下，投资投资于存储技术存储技术人口比例pρ与投资投资于中间品中间品生产的人口比例pR1将随时间发生变化。随着家庭财富财富的增长，投资投资于存储技术存储技术的家庭将陆续转向投资投资于中间品中间品的生产，因此，投资投资于中间品中间品的人口比例将逐渐上升，而投资投资于存储技术存储技术的人口比例将逐渐下降。

假设经济经济发展初期，经济经济的人均初始财富财富水平较低，大部分家庭的初始财富财富小于K-1，只能选择投资投资于存储技术存储技术；只有一小部分家庭的初始财富财富水平大于等于K-1，可以选择投资投资于中间品中间品生产。

由以上分析，我们知道，经济经济发展初期，投资投资于存储技术存储技术的家庭之间的财富不平等财富不平等随时间持续下降，而投资投资于中间品中间品生产的家庭之间财富不平等财富不平等程度则随时间先上升后下降，而两个群体之间的财富不平等财富不平等水平同样先上升后下降。以下，我们分三种情形讨论不同初始条件下，经济经济的不平等不平等变化型式。

情形1：如果经济经济发展初期有pρ＞pR1，由于∫∞K-1wtdGt（wt）较低（即∫∞K-1wtdGt（wt）>（αβA1）1—1-α（证明：若βΛlt=αβA1—［∫∞K-1wtdGt（wt）］1-α<1

则有∫∞K-1wtdGt（wt）>（αβA1）1—1-α

［证毕］）），使得βΛ1t>1。但是，经济经济总的财富不平等财富不平等并不表现出明显的上升趋势。随着经济经济的不断发展，pR1逐步上升，pρ逐步下降，当pR1上升到一定程度，仍有∫∞K-1wtdGt（wt）>（αβA1）1—1-α，中间品价格中间品价格仍维持较高水平，使得βΛ1t>1时，经济经济的总体不平等不平等程度将开始明显上升。直至某个时期，开始有βΛ1t<1时，经济经济的总体财富不平等财富不平等程度进入下降过程。在1>βΛ1∞>βρ的条件下，经济经济将最终收敛收敛于一个平等稳态平等稳态：w-∞=βθ—1－βΛ1∞。可见，在βθ—1-βρ>K-1和1>βΛ1∞>βρ的条件下，总体经济经济不平等不平等的变化过程呈现库兹涅茨倒“U”型。

情形2：如果经济经济发展初期有pR1足够高，同时∫∞K-1wtdGt（wt）仍较低（即∫∞K-1wtdGt（wt）>（αβA1）1—1-α），使得βΛ1t>1。那么，经济经济总的财富不平等财富不平等将可能立即表现出明显上升的趋势。随着经济经济的不断发展，∫∞K-1wtdGt（wt）逐步上升，且pR1逐步上升，pρ逐步下降。直至某个时期，∫∞K-1wtdGt（wt）的逐步上升，使得∫∞K-1wtdGt（wt）<（αβA1）1—1-α，即βΛ1t<1时，经济经济的总体财富不平等财富不平等程度进入下降过程，在1>βΛ1∞>βρ的条件下，经济经济将最终收敛收敛于一个平等稳态平等稳态：w-∞=βθ—1－βΛ1∞。可见，在βθ—1-βρ>K-1和1>βA1∞>βρ的条件下，总体经济经济不平等不平等的变化过程同样呈现库兹涅茨倒“U”型。

情形3：如果经济经济发展初期∫∞K-1wtdGt（wt）足够高，即

∫∞K-1wtdGt（wt）<（αβA1）1—1-α，使得βΛ1t<1。那么，经济经济总的财富不平等财富不平等将呈现单调下降单调下降的形态，直至稳态稳态。

我们将以上讨论总结在以下定理中：

定理4.3：在βΛ^1（t=0）>βΛ^1∞>βρ和人口总量保持不变的条件下，经济经济初始总财富水平总财富水平和初始财富分布初始财富分布影响收入差距的变化路径，而不影响稳态稳态财富财富水平。（可见，在K1=0和βΛ^1（t=0）>βΛ^1∞>βρ的条件下，我们得出与传统新古典经济增长经济增长理论几乎相同的结论，即增长有极限。）

定理4.4：如果经济经济总的初始财富财富水平比较低，那么在一定条件下，发展过程中，收入差距将经历先上升，后下降的库兹涅茨倒“U”型。如果经济经济中的初始财富财富水平比较高，那么收入差距将呈现单调下降单调下降的型式。

4.4 基准情形的扩展1——两种中间品中间品情形

这里，我们将讨论两种中间品中间品的情形（J=2）。为简化分析，我们引入以下两个假设：第一，中间品中间品技术技术存在跨期技术技术溢出（Spillover），即技术技术的入门资本资本K-j随着被使用时间的增加呈指数衰减，所以入门资本资本表示为（1－γ）ΔtK-j，其中Δt=max{（t－tj），0，tj为技术技术j首次出现的时期；第二，经济经济的初始收入分配收入分配为一个两点分布两点分布。即，t=0期，经济经济中的所有家庭分为两组：L组和h组，我们称L组为低收入组，h组为高收入组。这两组家庭占总人口比例分别为pL和ph，且有pL+ph=1。总人口数仍然标准化为1，且保持不变。组内初始财富财富水平相同，组间初始财富财富水平不同。两组家庭的初始财富财富水平分别为：wLt、wht，且有0≤wLt<K-1<wht<K-2。

4.4.1 跨期收入分配收入分配动态动态

由以上假设可知，t=0期中间品价格中间品价格为：p1t=αA1—（phwht）1－α，投资投资中间品中间品收益率为：Λ1t=p1t=αA1—（phwht）1－α。

所以，两个财富财富层次的财富财富动态动态变化满足下列方程：

wL（t+1）=βρwLt+βθ （40）

wh（t+1）=βΛ1twht+βθ=αβA1—（phwht）1－αwht+βθ （41）

经济经济总财富财富的动态动态方程为：

pLwL（t+1）+phwh（t+1）

=αβA1（phwht）α+βρpLwLt+βθ （42）

由于存在技术技术溢出，假设某个时期T之后，经济经济中所有家庭的财富财富水平均大于等于（1-γ）Δt1K-1，其中Δt1=max{（t－t1），0，t1为技术技术1首次出现的时期（根据假设可知t1=0）。以下分不同情形讨论t=T期之后两阶层收入差距的动态动态变化。

情形1：当低收入层低收入层进入技术技术1的生产时，高收入层高收入层仍未进入技术技术2的生产，那么，两个收入层次的财富财富动态动态变化方程为：

wL（t+1）=βΛ1twLt+βθ

=αβA1—［phwht+phwht］1－αwLt+βθ （43）

wh（t+1）=βΛ1twht+βθ

=αβA1—［pLwLt+phwht］1－αwht+βθ （44）

经济经济的总财富财富动态动态方程变为：

pLwL（t+1）+phwh（t+1）

=αβA1［pLwL（t+1）+phwht］α+βθ （45）

情形2：当高收入层高收入层进入技术技术2的生产，低收入层低收入层不能进入技术技术２时，那么两收入层的跨期财富财富动态动态方程为：

wL（t+1）=βρwLt+βθ （46）

wh（t+1）=βΛ2twht+βθ=αβA2—［phwht］1－αwht+βθ （47）

经济经济的总财富财富动态动态方程为：

pLwL（t+1）+phwh（t+1）

=αβA2［phwht］α+βρpLwLt+βθ （48）

当所有家庭都进入中间品中间品２的生产时，两个收入层次的财富财富动态动态变化方程变为：

wL（t+1）=βΛ2twLt+βθ

=αβA2—［phwht+phwht］1－αwLt+βθ （49）

wh（t+1）=βΛ2twht+βθ

=αβA2—［pLwLt+phwht］1－αwht+βθ （50）

经济经济的总财富财富动态动态方程变为：

pLwL（t+1）+phwh（t+1）

=αβA2［pLwL（t+1）+phwht］α+βθ （51）

4.4.2 长期收入分配收入分配动态动态型式

根据基准情形的分析，由于我们假设t=0期，所有家庭的初始财富财富水平都小于K-2，且有0≤wLt<K-1<wht<K-2。所以，经济经济发展初期，低收入阶层投资投资于存储技术存储技术，高收入阶层投资投资于中间品中间品技术技术1，且由于投资投资于技术1 的总财富财富较低，有βΛ1t>1，两个收入层的收入差距呈拉大趋势；随着投入技术技术1的总财富财富逐渐增长，投资投资于技术技术1的收益率Λ1t逐渐下降，当某个时期t=T′1之后，βΛ1t<1（且t=T′1期之前（不包含t=T′1时期）βΛ1t>1），两收入阶层的收入差距将开始缩小。另外，由于存在技术技术溢出，因此，随着经济经济的发展，技术技术1的门槛资本资本逐步下降，低收入层低收入层的家庭也将有机会投资投资于技术技术1。（如果在低收入层低收入层的家庭财富财富水平未跨越技术技术1的门槛资本资本之前，技术技术1已经被技术技术J（≥2）所取代，那么低收入家庭将没有机会投资投资于技术技术1。如果在低收入层低收入层的家庭财富财富水平未跨越技术技术1的门槛资本资本之前，技术技术2仍未出现（也就是说，高收入阶层的财富财富水平还未跨越技术技术2的门槛资本资本），那么低收入家庭将有机会投资投资于技术技术1。）假设低收入阶层跨越技术技术1的门槛资本资本的时间为t=T～1。

假设，某个时期t=T2，高收入阶层的初始财富财富水平大于等于K-2，而低收入阶层的初始财富财富水平小于K-2，即0≤wLt<K-2≤wht。由于从t=T2时期之后，技术技术2完全替代了技术技术1，因此技术技术1将消失，低收入阶层又转而投资投资存储技术存储技术，高收入阶层则投资投资于技术技术2。我们假设技术技术2使用初期，且由于投资投资于技术技术2的总财富财富较低，有βΛ2t>1，两个收入层的收入差距呈拉大趋势；随着投入技术技术2的总财富财富逐渐增长，投资投资于技术技术2的收益率Λ2t逐渐下降，当某个时期t=T′2之后，βΛ2t<1（且t=T′2之前，βΛ2t>1），两收入阶层的收入差距将开始缩小。同样，由于存在技术技术溢出，因此，随着经济经济的发展，技术技术2的门槛资本资本逐步下降，低收入层低收入层的家庭也将有机会投资投资于技术技术2。假设低收入阶层跨越技术技术2的门槛资本资本的时间为T～2。

以下，我们分情况讨论收入分配收入分配的动态动态变化过程：

情形1：T～1<T′1<T2<T～2<T′2

根据以上讨论，我们已知：t∈{0，…，T′1-1}时，βΛ1t>1；t∈{T′1，…，T2-1}时，βΛ1t<1；t∈{T2，…，T′2-1}时，βΛ2t>1；在时期t=T′2之后，βΛ2t<1。这样我们就可以分段描述整个经济经济的收入分配收入分配变化情况。

第一，当t∈{0，…，T～1-1}时，收入分配差距收入分配差距逐渐拉大，即：

Δwt+1=wh（t+1）－wL（t+1）

=βΛ1twht－βρwLt

>βΛ1tΔwt

>Δwt （52）

第二，当t∈{T～1，…，T′1-1}时，收入分配差距收入分配差距依然逐渐拉大，即：

Δwt+1=wh（t+1）－wL（t+1）

=βΛ1twht－βΛ1twLt

=βΛ1tΔwt

>Δwt （53）

第三，当t∈{T′1，…，T2-1}时，收入分配差距收入分配差距逐步缩小，即：

Δwt+1=wh（t+1）－wL（t+1）

=βΛ1twht－βΛ1twLt

=βΛ1tΔwt

<Δwt （54）

第四，当t∈{T2，…，T～2-1}时，收入分配差距收入分配差距又开始逐渐拉大，即：

Δwt+1=wh（t+1）－wL（t+1）

=βΛ2twht－βρwLt

>βΛ2tΔwt

>Δwt （55）

第五，当t∈{T～2，…，T′2-1}时，收入分配差距收入分配差距依然逐渐拉大，即：

Δwt+1=wh（t+1）－wL（t+1）

=βΛ2twht－βΛ2twLt

=βΛ2tΔwt

>Δwt （56）

第六，在时期t=T′2之后，收入分配差距收入分配差距又开始逐渐缩小，即：

Δwt+1=wh（t+1）－wL（t+1）

=βΛ2twht－βΛ2twLt

=βΛ2tΔwt

<Δwt （57）

由以上分析可知，在情形1所描述的环境中，收入分配收入分配将经历两个库兹涅茨倒“U”型。

情形2：T2<T′1，且T～1<T2<T～2<T′2

也就是说，技术技术2的出现在收入差距扩大的过程，收入分配收入分配的变化过程将如下：

第一，当t∈{0，…，T～1-1}时，收入分配差距收入分配差距逐渐拉大，即：

Δwt+1=wh（t+1）－wL（t+1）

=βΛ1twht－βρwLt

>βΛ1tΔwt

>Δwt （58）

第二，当t∈{T～1，…，T2-1}时，收入分配差距收入分配差距继续逐渐拉大，即：

Δwt+1=wh（t+1）－wL（t+1）

=βΛ1twht－βΛ1twLt

=βΛ1tΔwt

>Δwt （59）

第三，当t∈{T2，…，T～2-1}时，收入分配差距收入分配差距仍然逐渐拉大，即：

Δwt+1=wh（t+1）－wL（t+1）

=βΛ2twht－βρwLt

>βΛ2tΔwt

>Δwt （60）

第四，当t∈{T～2，…，T′2-1}时，收入分配差距收入分配差距依然逐渐拉大，即：

Δwt+1=wh（t+1）－wL（t+1）

=βΛ2twht－βΛ2twLt

=βΛ2tΔwt

>Δwt （61）

第五，在时期t=T′2之后，收入分配差距收入分配差距又开始逐渐缩小，即：

Δwt+1=wh（t+1）－wL（t+1）

=βΛ2twht－βΛ2twLt

=βΛ2tΔwt

<Δwt （62）

可见，在情形2所描述的环境中，收入分配收入分配只经历一个库兹涅茨倒“U”型。

情形3：T2<T～1，且T2<T～2<T′2

此时，低收入层低收入层的财富财富水平还未跨越技术技术1的门槛资本资本，技术技术1已消失（被技术技术２所取代）。这样，收入分配收入分配的变化过程为：

第一，当t∈{0，…，T2-1}时，收入分配差距收入分配差距逐渐拉大，即：

Δwt+1=wh（t+1）－wL（t+1）

=βΛ1twht－βρwLt>βΛ1tΔwt>Δwt （63）

第二，当t∈{T2，…，T～2-1}时，收入分配差距收入分配差距仍然逐渐拉大，即：

Δwt+1=wh（t+1）－wL（t+1）

=βΛ2twht－βρwLt>βΛ2tΔwt>Δwt （64）

第三，当t∈{T～2，…，T′2-1}时，收入分配差距收入分配差距依然逐渐拉大，即：

Δwt+1=wh（t+1）－wL（t+1）

=βΛ2twht－βΛ2twLt=βΛ2tΔwt>Δwt （65）

第四，在t=T′2时期之后，收入分配差距收入分配差距又开始逐渐缩小，即：

Δwt+1=wh（t+1）－wL（t+1）

=βΛ2twht－βΛ2twLt

=βΛ2tΔwt

<Δwt （66）

可见，在情形3所描述的环境中，收入分配收入分配只经历一个库兹涅茨倒“U”型。

总结以上三种情形的讨论，在不同的模型模型参数条件下，收入分配收入分配演化呈现不同的动态特征动态特征。

4.5 基准模型模型的扩展2——多种中间品多种中间品情形

4.5.1 收入分配收入分配动态动态

我们很容易将第4.4节的讨论扩展到多种中间品多种中间品的情形（J>1）。我们同样分三种情形讨论多种中间品多种中间品条件下的收入分配收入分配的动态动态变化过程。

情形1 Tj<T～j<T′j<Tj+1<T～j+1<T′j+1

其中j∈{1，…，J－1}，且根据假设我们知道T1=0。此时，所有新技术技术都出现在收入差距缩小的过程中。

与以上讨论类似，我们这里假定：t∈{Tj，…，T′j-1}时，βΛjt>1；t∈{T′j，…，Tj+1-1}时，βΛjt<1；t∈{Tj+1，…，T′j+1-1}时，βΛ（j+1）t>1；t∈{T′j+1，…，Tj+2-1}时，βΛ（j+1）t<1。这样我们就可以分段描述整个经济经济的收入分配收入分配变化过程。

第一，当t∈{Tj，…，T～j-1}时，收入分配差距收入分配差距逐渐拉大，即：

Δwt+1=wh（t+1）－wL（t+1）

=βΛjtwht－βρwLt

>βΛjtΔwt

>Δwt （67）

第二，当t∈{T～j，…，T′j-1}时，收入分配差距收入分配差距依然逐渐拉大，即：

Δwt+1=wh（t+1）－wL（t+1）

=βΛjtwht－βΛjtwLt

=βΛjtΔwt

>Δwt （68）

第三，当t∈{T′j，…，Tj+1-1}时，收入分配差距收入分配差距逐步缩小，即：

Δwt+1=wh（t+1）－wL（t+1）

=βΛjtwht－βΛjtwLt

=βΛjtΔwt

<Δwt （69）

第四，当t∈{Tj+1，…，T～j+1-1}时，收入分配差距收入分配差距又开始逐渐拉大，即：

Δwt+1=wh（t+1）－wL（t+1）

=βΛ（j+1）twht－βρwLt

>βΛ（j+1）tΔwt

>Δwt （70）

第五，当t∈{T～j+1，…，T′j+1-1}时，收入分配差距收入分配差距依然逐渐拉大，即：

Δwt+1=wh（t+1）－wL（t+1）

=βΛ（j+1）twht－βΛ（j+1）twLt

=βΛ（j+1）tΔwt

>Δwt （71）

第六，当t∈{T′j+1，…，Tj+2-1}时，收入分配差距收入分配差距又开始逐渐缩小，即：

Δwt+1=wh（t+1）－wL（t+1）

=βΛ（j+1）twht－βΛ（j+1）twLt

=βΛ（j+1）tΔwt

<Δwt （72）

……

可见，在这一情形中，经济经济的收入分配差距收入分配差距将呈现周期性变化周期性变化的特征。我们将以上讨论总结在定理4.1中：

定理4.1：如果所有新技术技术都是出现在收入差距缩小的过程中，那么，随着每一次新技术技术的出现，收入差距将经历为先上升，后下降的过程。随着新技术技术对旧技术技术的不断替代，收入差距将出现一种周期性变化周期性变化。

情形2：Tj+1<T′j，且T～j<Tj+1<T～j+1<Tj+2

也就是说，所有新技术技术都出现在收入差距扩大的过程，则收入分配收入分配的变化过程如下：

第一，当t∈{Tj，…，T～j-1}时，收入分配差距收入分配差距逐渐拉大，即：

Δwt+1=wh（t+1）－wL（t+1）

=βΛjtwht－βρwLt

>βΛjtΔwt

>Δwt （73）

第二，当t∈{T～j，…，Tj+1-1}时，收入分配差距收入分配差距继续逐渐拉大，即：

Δwt+1=wh（t+1）－wL（t+1）

=βΛjtwht－βΛjtwLt

=βΛjtΔwt

>Δwt （74）

第三，当t∈{Tj+1，…，T～j+1-1}时，收入分配差距收入分配差距仍然逐渐拉大，即：

Δwt+1=wh（t+1）－wL（t+1）

=βΛ(j+1)twht－βρwLt

>βΛ(j+1)tΔwt

>Δwt （75）

第四，当t∈{T～j+1，…，Tj+2-1}时，收入分配差距收入分配差距依然逐渐拉大，即：

Δwt+1=wh（t+1）－wL（t+1）

=βΛ(j+1)twht－βΛ(j+1)twLt

=βΛ(j+1)tΔwt

>Δwt （76）

……

情形3：Tj+1<T～j，且Tj+1<Tj

此时，新技术技术出现在收入差距扩大的过程中，且低收入层低收入层的财富财富水平还未跨越旧技术技术的门槛资本资本之前，旧技术技术已消失（被新技术技术所取代）。这样，收入分配收入分配的变化过程为：

第一，当t∈{Tj，…，Tj+1-1}时，收入分配差距收入分配差距逐渐拉大，即：

Δwt+1=wh（t+1）－wL（t+1）

=βΛjtwht－βρwLt

>βΛjtΔwt

>Δwt （77）

第二，当t∈{Tj+1，…，Tj+2-1}时，收入分配差距收入分配差距仍然逐渐拉大，即：

Δwt+1=wh（t+1）－wL（t+1）

=βΛ(j+1)twht－βρwLt

>βΛ(j+1)tΔwt

>Δwt （78）

之后，这一过程仍然持续。

我们将本节情形2和情形3的讨论总结在定理4.2中：

定理4.2：如果所有新技术技术都是出现在收入差距拉大的过程中，那么，收入差距将表现为持续上升，但是收入差距的上升速度在一个新技术技术使用初期较快，而后出现放慢的趋势。

4.5.2 经济经济的增长与波动

这里，我们分析Tj<T～j<T′j<Tj+1<T～j+1<T′j+1的情形下，最终品最终品产出的增长与波动。

第一，当t∈{Tj，…，T～j-1}时，投资投资于中间品中间品j的总财富跨期动态总财富跨期动态方程为：

phwh（t+1）=αβAj（phwht）α+phβθ （79）

投资于中间品的收益率投资于中间品的收益率和中间品中间品j的价格为：

Λjt=pjt=αAj—（phwht）1－α （80）

最终品最终品产出为：

Yt=Aj（phwht）α （81）

由于这一过程中，投资投资于中间品中间品的总资本资本单调增加，因此，最终品最终品产出单调增加。

第二，当t∈{T～j，…，T′j-1}时，投资投资于中间品中间品j的总财富跨期动态总财富跨期动态方程为：

pLwL（t+1）+phwh（t+1）

=αβAj（pLwLt+phwht）α+βθ （82）

投资于中间品的收益率投资于中间品的收益率和中间品中间品j的价格为：

Λjt=pjt=αAj—（pLwLt+phwht）1－α （83）

最终品最终品产出为：

Yt=Aj（pLwLt+phwht）α （84）

这一过程中，投资投资于中间品中间品的总资本资本单调增加，所以最终品最终品产出仍单调增加。

第三，当t∈{T′j，…，Tj+1-1}时，投资投资于中间品中间品j的总财富跨期动态总财富跨期动态方程为：

pLwL（t+1）+phwh（t+1）=αβAj（pLwLt+phwht）α+βθ （85）

投资于中间品的收益率投资于中间品的收益率和中间品中间品j的价格为：

Λjt=pjt=αAj—（pLwLt+phwht）1－α （86）

最终品最终品产出为：

Yt=Aj（pLwLt+phwht）α （87）

这一过程中，投资投资于中间品中间品的总资本资本单调增加，所以最终品最终品产出仍单调增加。

第四，当t∈{Tj+1，…，T～j+1-1}时，投资投资于中间品中间品j的总财富跨期动态总财富跨期动态方程为：

phwh（t+1）=αβAj+1（phwht）α+phβθ （88）

投资于中间品的收益率投资于中间品的收益率和中间品中间品j的价格为：

Λ(j+1)t=p(j+1)t=αAj+1—（phwht）1－α （89）

最终品最终品产出为：

Yt=Aj+1（phwht）α （90）

这一阶段，最终品最终品产出可能出现不同情形。首先，若

Aj（pLwL（Tj+1－1）+phwh（Tj+1－1））α≤Aj+1（phwhTj+1）α

那么新旧技术技术交替过程中，最终品最终品产出仍然呈现单调上升单调上升态势。

其次，若

Aj（pLwL（Tj+1－1）+phwh（Tj+1－1））α>Aj+1（phwhTj+1）α

则新旧技术技术交替过程中，最终品最终品产出暂时下降。

第五，当t∈{T～j+1，…，T′j+1-1}时，投资投资于中间品中间品j+1的总财富跨期动态总财富跨期动态方程为：

pLwL（t+1）+phwh（t+1）=αβAj+1（pLwLt+phwht）α+βθ（91）

投资于中间品的收益率投资于中间品的收益率和中间品中间品j+1的价格为：

Λ(j+1)t=p(j+1)t=αAj+1—（pLwLt+phwht）1－α （92）

最终品最终品产出为：

Yt=Aj+1（pLwLt+phwht）α （93）

第六，当t∈{T′j+1，…，Tj+2-1}时，投资投资于中间品中间品j+1的总财富跨期动态总财富跨期动态方程为：

pLwL（t+1）+phwh（t+1）=αβAj+1（pLwLt+phwht）α+βθ（94）

投资于中间品的收益率投资于中间品的收益率和中间品中间品j的价格为：

Λ(j+1)t=p(j+1)t=αAj+1—（pLwLt+phwht）1－α （95）

最终品最终品产出为：

Yt=Aj+1（pLwLt+phwht）α （96）

……

可见，在这一情形中（当Tj<T～j<T′j<Tj+1<T～j+1<T′j+1时），最终品最终品产出在新技术技术未出现时，单调上升单调上升，而在新旧技术更替新旧技术更替过程中，最终品最终品产出可能暂时下降。

与以上分析类似，对Tj+1＜T′j，且T～j＜Tj+1＜T～j+1＜Tj+2的情形以及对Tj+1＜T～j，且Tj+1＜Tj的情形进行分析，都可以得到类似的结论。我们将本小节的讨论总结在定理4.3中：

定理4.3：长期来看，最终品最终品产出持续增长，而在新旧技术技术交替过程中，最终品最终品产出可能出现暂时性波动。

4.6 基本结论

本章模型模型在Schumpeter主义内生增长理论增长理论框架中引入个体财富财富异质异质性和不完美资本市场不完美资本市场假设，讨论技术技术完全替代（新技术技术中间品中间品一旦产生，立即完全替代旧技术技术中间品中间品）条件下的收入分配收入分配动态动态，并讨论了经济增长经济增长与波动。据此，我们得出以下几个基本结论：（1）如果所有新技术技术都是出现在收入差距拉大的过程中，那么，收入差距将表现为持续上升，但是收入差距的上升速度在一个新技术技术使用初期较快，而后放慢。（2）如果所有新技术技术都出现在收入差距缩小的过程中，那么，随着每一次新技术技术的出现，收入差距将经历先上升、后下降的过程。随着新技术技术对旧技术技术的不断替代，收入差距将出现一种周期性变化周期性变化。（3）虽然新旧技术更替新旧技术更替过程中，最终品最终品产出可能出现暂时性波动，但是，新技术技术替代旧技术技术最终可以提高经济增长经济增长率，并且使稳态稳态总财富财富和总产出达到更高水平。（4）在初始人均财富水平人均财富水平较低的条件下，如果收入分配收入分配过于平均，将不利于新技术技术品的产生和使用，经济经济将可能收敛收敛于一个比较低的稳态稳态财富财富水平；如果收入分配差距收入分配差距过大，经济经济发展过程将可能伴随着比较剧烈的经济波动经济波动，从而不利于经济经济的稳定发展。因此，政府有必要在适当的时候，采取合理的收入再分配政策收入再分配政策，调节收入分配差距收入分配差距，使其在一个合理的区间内变动，进而促使经济经济稳定健康发展。