分数板块（四年级）

乐　陆　画

“很久很久以前，三个士兵疲惫地走在一条陌生的乡村路上。他们是在打完仗返家的途中。他们又累又饿，事实上，他们已经两天几乎什么东西也没吃了。当三个士兵接近一个村庄时，村民开始忙开了。他们知道士兵通常很饿，他们不是竞相拥军给吃的，而是家家户户都把可以吃的东西藏起来！比如把大麦藏在阁楼上，把牛奶桶沉到井里，把肉挂在地窖里。士兵们挨家挨户讨吃的，可是村民们都说没吃的，更没住的地方。士兵们见此情形，向村民们说，其实不需要什么，只要一个大锅和一些石头，就能够熬出一锅美味的石头汤。好奇的村民们为他们准备好了木柴和大锅，士兵们真的开始用三块大圆石头煮汤了！当然，为了汤的味道更鲜美一点，他们还需要一点佐料，比如盐和胡椒什么的……当然有一点胡萝卜会更好……卷心菜呀、土豆呀、牛肉呀，配一些也不错……如果再来一些大麦和牛奶，连国王都可以喝了……村民们在好奇中配合着，一锅神奇的石头汤真的煮好了！”

“接下来，包括三名士兵，一共有20个人，每人分得一大碗汤，每人分的汤占了一锅汤的多少？”“1/20。”“两个人呢？”“2/20。”“三个人呢？”“3/20。”“为什么？”“1/20＋1/20＋1/20。”“10个人呢？”“10/20。”“还是1/20一个一个加吗？可不可以简单一点？”“1/20×10。”“19个人分呢？”“19/20。”“锅里还剩多少？”“1/20。”“怎么来的？”“20/20－19/20＝1/20。”“如果士兵只能喝一小碗，只是大碗的一半，他这一小碗占全锅的……”“1/40。”“占你们一个人的……”“1/2。”“老师，我明白了！”“你明白什么了？”“越小的碗分得越多。”“我也明白了！”“什么？”“大的是小的两倍，小的是大的1/20！”“genau！”

genau是德语口语“对”的意思。德国志愿者正教孩子们学德语，我捡了这个词。我说的时候孩子们笑呵呵的，露着白白的牙齿，眼睛颇有神采。

分数的学习是四年级重要的学习内容。分数在于这个“分”。《国际大纲》上这样说：“当孩子过了9岁，他们发生决定性的变化——原先与周遭世界的紧密关系开始变得疏远。先前自我内在的和外在世界之间的和谐关系从根本上被打破。而这种心灵的变化在数学上也会反映出来——孩子们与被打破的数字——分数进行工作。”

大家可以看到，华德福课程主要是以孩子心灵意识发展为依托的。有一个教师朋友告诉我，“你们说要四年级讲分数，我女儿二年级我给她讲分数，还不是照样做题！”“教一点简单的，做题是没问题，问题是她真懂吗？”我的问题把他问住了。

心灵的发展上有节点，我自己感觉是做除法、做分数、做整式运算的时候，到那个节点就懂了。就如同我后来懂康德的物自体不可知一样——需要时间节点。

分数的“分”具有不同的思维特性，有一种分数被称为“埃及分数”，充分体现了分数分的精髓。当然，等他们掌握好分数后，2000年前四川阆中定正月为岁首的“春节老人”落下闳的连分法也让人看到，分数这个不同的思维带出如何不同的结果。

说到“分”，就来分。上面讲到的“石头汤”故事只是一例。很多老师，会从一个比萨饼开始，均分之后，再放到嘴里，体验一把。公立学校的老师，也会拿个圆的纸饼入手。体验什么不重要，重要的一定是强调从一个整体出发，并且是均分。而这个整体，可能是一个饼，也可能是5个饼，也可能是1 000个饼，更可能是世界上任意圆的东西、任意数量；当然，也可以是方的、不那么方的；或是一堆；或是整个宇宙！事实上，这个整体是任意的，只要我们约定，就可以把它拿来分！这就是神奇之处，这是个数学上所谓的“整体一”，这个整体一，一年级讲数字“一”的时候，就应该带出，让孩子知道这个“一”包涵万物。

分，这里面也包含另外一个东西，马克思所谓“人的本质是一切关系的总和”。数学中一个重要的内容也是寻找关系，以及关系中的比较。整体与部分，部分与部分，比如例子中几碗加起来，就可以学习分数加法、分数乘法；通过大碗与小碗的关系，孩子们就可以学习分数与倍数关系。

分数教学中我还用过“音符家族”或“音符树”来让孩子了解和认识分数。全音符、二分音符、四分音符、八分音符、十六分音符……我唱一个音，孩子给出这个音的长度，多一倍或少一半，然后画出来，它们之间的关系栩栩如生。

了解认识分数的意义之后，以下是开始学习分数时我认为的一些要点：

①分数的性质；

②倍数、最小公倍数、因数、公因数、最大公因数，以及质数和合数，分解质因数等；

③数的四种类型：完美数、不足数、丰富数、质数（素数）。

①分数的性质是分数的分子和分母同时乘或者除以相同的数（0除外），分数的大小不变，这和等式性质是一样的。分数性质的学习我是用的一张A4白纸，折后裁成一张正方形纸，然后对折，涂色标记上1/2，再对折，标记上1/4，再对折……这个过程一定要提醒孩子们谁是谁的几分之几。之后展开来，孩子们很快就能明白谁是谁的几分之几，比如1/4块是整体的1/4，是1/2的1/2。而反过来说，它们又是倍数关系。这种方法非常直观有效。

“像手风琴。”一个孩子说。

“是的，像手风琴，也像一把伞。”我说。

当我们做分数扩分与约分的时候，我们边说着口诀，边做着扩分与约分的接龙，这个分数在给定的条件下，一会儿被放大，一会儿被缩小，颇有魔术的感觉，所以孩子说像手风琴。伞也是很形象的，有着主干，往上可以迅速扩展。发挥孩子的想象力是这个年龄段学习的重要办法，而具象化是重要的手段。

瑞士心理学家让·皮亚杰认为孩子六七岁到十一、十二岁，是智性发展的具体运演阶段（Concrete Operation Stage），在本阶段内，儿童的认知结构由前运演阶段的表象图式演化为运算图式。该时期的心理操作着眼于抽象概念，属于运算性（逻辑性）的，但思维活动需要具体内容的支持，简单说来，就是借助教具和实物模型进行学习。

牛津数学人、劳斯莱斯工程师、华德福数学权威隆·加曼在《与孩子的数学真实相遇》中，谈到分数教学时举了一个例子：关于通分，就是装卸货车为装载货物升高装载平面。这个图景十分形象，我上课的时候就用到了它，孩子们印象深刻！这里当然用到的是分数的性质。数学就是这种图景！

②要解决分数的运算问题，孩子们必须熟练地使用相应的整数概念及运算。像倍数、最小公倍数、因数（约数）、公因数（公约数）、最大公约数，以及质数和合数、分解质因数等都应该逐步介绍给孩子。我是像公立教材一样把这些拆分成一个个点，并一一突破。当然，在实际教学中，不一定要按部就班地一个一个解决，但老师必须清楚这些点，数学学习中，这些知识点是整个数学体系的重要骨架，没有骨架，就太松散。

“蚂蚁洞洞主”是学习这些“数”时我们玩的一个游戏。我们在小纸片上写上20以内的一些因数，可以重复写，然后随意在桌上铺放起来，然后把孩子们分成不同小组，老师报出一个数字，比如60，孩子就去拿不同的相乘为60的数组，如2、2、3、5，2、3、10，等等。孩子们跃跃欲试，效果不错。当然也可以找公约数、公倍数，等等。数学就是这么玩！

③数的四种类型：完美数、不足数、丰富数、质数（素数）。这个实际上也是找因数。古希腊人毕达哥拉斯，发现一个数的约数，除开自己本身外，可能相加正好等于这个数，也可能小于这个数，或大于这个数，比如28，它有约数1、2、4、7、14，相加等于28，叫完美数。而10，有1、2、5，相加等于8，是个不足数，也叫亏数。而30，有1、2、3、5、6、10、15，相加等于42，比本数大，是个富裕数，也叫盈数。毕达哥拉斯说什么是兄弟，就是220和284。（毕达哥拉斯总是以最简明的方式表示真理！）220的因数除自身外，有1、2、4、5、10、11、20、22、44、55、110，相加得284；284因数有1、2、4、71、142，加上一共220！所以互为兄弟。

而质数（素数）就更有名了，除了1和自身，它们都不能被其他数整除。让孩子们把100以内的质数列表，他们会惊奇地发现越往后走越稀少。如果你再不失时机地问，一个合数是否可以写成两个质数相加，你就开启了哥德巴赫猜想之门！数学要的就是这个神奇！可以适时地介绍一下陈景润的故事，当然很好。

为了让孩子们记住不同的分数关系类型，老师们用不同关系来说明：

·　爸爸和妈妈：同分母（1/6＋1/6）；

·　哥哥和妹妹：同一家族，分母是其中一个的倍数（1/6＋1/12）；

·　表兄妹：分母都是同一个数的倍数，找出这两个分母的最小公倍数，如：（1/6＋1/9），这两个分母的最小公倍数等于两数的乘积除以二数的最大公因数；

·　不同家族：直接把分母相乘得公倍数，比如：1/8＋1/9。

学习分数过程中，已经开始了一种“模型”化的方法，比如1/2＋1/3＝5/6，1/7＋1/8＝15/56，分子为两分母相加，分母为两分母相乘。而减法亦然，比如1/7－1/8＝1/56。别小看这种最简单的建模，它是发挥抽象思维能力的有用的方法。

找公约数和公倍数复杂一点的用短除法是很好的，孩子一目了然。而更复杂一点辗转相除法（也叫欧几里德算法）也是可以介绍的，即用余数相除，同样对孩子的心智来说很神奇。分数四则运算有了前面做基础，就比较容易了。但一定一个知识点一个知识点地突破。比如分数的乘法可以分数×整数，再到分数与分子为1的分数相乘，比如：1/8×1/2；再到一个分子是1，另一个分子不是1的乘法；再到任意情况。这样有个简单的递进关系，便于孩子们理解、掌握。一个数是另一个数的几分之几是分数乘法，是分数乘以分数理解的要点。

而分数的除法，不管分为包含除和等分除，最后都是求整体，与分数乘法一种逆运算关系。难于理解的点在于除以一个分数，怎么结果比被除数还大了！当然，在教学过程中，会提到分数与除式之间的关系。

下面是一节课备课实例。

教学内容：异分母加法。课时，两课时。第一课时，介绍异分母加法；第二课时，深化并总结规律。

第一课时：1.通过复习折纸法复习分数基本性质；2.复习同分母加法；3.通过画饼图理解异分母加法。

教学过程：1.晨颂和诗歌；2.竖笛两首；3.身体节奏活动；4.折纸画分数部分；5.画图，同分母相加，比如1/5＋3/4；6.给出问题，一半与1/3饼放在一起咋办？

画图，重点是让它们的分母一样！

练习，更多的练习。

通过上面这个例子可以看到，知识的铺垫和一点点突破，以及整体调动起来的节奏和学习氛围。

很多朋友问我这样的问题：为什么先教分数不先教小数？华德福分数板块的教学内容与公立教材相关内容有何相同与不同？

小数的学习是比较容易的，它和整数相比较，困难只是小数点的移动。而小数本身却是分数的一种类型，10进制的，所以重要的是理解到分数的特征。

我上过公立小学数学，印象中国家统一教材（人教版），把分数认识放到二年级下，三年级教一些分数的性质，五年级、六年级都有不同的分数学习的点，比如分数加减，分数乘除。这样太散。后来的北师大版，分数的学习主要在五年级。相对集中，但华德福四、五年级（甚至到六年级）的分布，既有集中，也有连续。

华德福数学教育是被怀疑的，特别在中国，似乎孩子学得太少，练得太少，太轻松。事实并非如此。但不管怎样，练习是必须的。练习培养数学的感觉，既锻炼意志，还积累技能。但另一方面，如何对数学引起并一直保持一种兴趣？

通过自己学数学，在公立学校教数学，在华德福学校教数学的体会，我觉得让孩子们感受到，教学中要点最终理解到是最关键的。而想象力是最初的动因。老师或父母的兴趣可以带动孩子，培养兴趣很重要。如让·加隆所言：“真正的教育，是在孩子低年级时点亮学习的火炬，让孩子为高年级需要学习的课程预作准备。”美国华德福学校有一套比较有名的数学参考书，叫Making Maths Meaningful，我译的是《让数学学习有意义》。它有给老师的教学指导，也有给学生的相应的数学练习，是一本有依据又蛮实用的书。它给老师的建议首先谈到的也是孩子学习的热情。同时也谈到学习的能力，学习思考（创造、批判等）的更高层面，基本的技能，以及知识的连续性，这些是数学教学的基础。事实上，当我们带出这些品质的时候，看到孩子们总是乐此不疲地上学，津津有味地参与，全力以赴地解题，并也为他们以后的学习打下扎扎实实地心理和知识基础。

分数的学习是一切数学学习的基础。这样的说法表面看起来太夸张了，或许应为整数的学习是一切数学学习的基础。但实际上，在稍高年级的数学的学习中，如果你不熟悉分数的运算，不大懂得分数的思考方式，你简直没办法进行学习！

分数板块，当然还要以分数收场，这里有一个著名的分马故事，我想用它来给大家做一个结束，就如同每天孩子学习完毕，都揣一点东西离开——一点练习、一点思考题，或是将数学的一个小谜题带回家。给点负担，激发兴趣；费点脑筋，开启心智，五分启发、七分练习、九分坚持、十分健康。为什么不呢？

一个古老的传说： 一位牧民老人弥留之际，对他三个儿子说，他爱他们，并要将家中11匹马，分给他的3个儿子，要按老大得总马匹数的二分之一，老二四分之一，老三六分之一来分，前提条件是不能把马杀死！说完他就咽了气。这下可难住了他的儿子们，11匹马，怎么能过这样分啊，都是偶数份数！大家面面相觑。又不能把马杀了！正在一筹莫展之际，聪明的小儿子出了门，很快把邻居家的一匹马牵了来，于是这12匹马，于是……

总之最后，所有的人都各自牵着属于自己的马高高兴兴地走了，包括那个邻居！您做得到吗？

主要参考书目

[1][英]隆·贾曼.让孩子与数学真实相遇[M].台北：台湾洪叶文化事业有限公司，2005.

[2]公立教材人教版相关章节.