商业数学（六年级）

温　馨　作

温　馨　画/作

“华德福学校的数学学习由三阶段构成：第一阶段一至五年级，数学是作为与孩子的生命过程密切相关的活动来发展的，它也是由内到外的发展过程。第二阶段包括六至八年级，主要的关注点在实用上……九年级以上是朝向一个理性特征的转变。”全球第一所华德福学校，斯图加特自由华德福学校的第一位数学老师，冯·巴拉瓦利博士关于数学教学问题，在他的《数学教学和华德福学校计划》一书中这样写道：

“商业数学的教学是在六年级，显然处在实用性的节点上。处在实用性的节点上——是孩子的发展到了一个精神与身体发展的不平衡阶段——向现实世界倾斜，他们需要运用智力解决生活中的实际问题，关注道德问题；另一个是他们的抽象能力可以通过实际生活的例子来推动，可以从具象看到抽象规律。而施泰纳当然注意到这些孩童的特征，在《给教师的实践建议》的最后一个讲座（第十四个讲座）中，强调这个阶段的孩子需要把判断力与直觉的内容相联系，即对利率计算、利润、折扣的直觉，以及对计算、商品流通、产权所有权的智性判断，以及老师要教给孩子的道德和情感的东西的无形的作用力。施泰纳始终不忘道德的生活远比智性的生活重要。”

“老师，果然是您说的！我摸的黑棋子和白棋子的记录是您说的！10%。”

“我说的”是指六年级一天放学我布置数学作业时所说的，我们讲了百分数，也有简单的概率，请孩子们回家如果有围棋子的，拿9个黑棋子或1个白棋子，或者9个白棋子和1个黑棋子，颜色没有关系，放入袋子中去摸100次，看看是不是黑白棋子各自占10%与90%。

并不是每个孩子都会去做这道既动手，还要有点耐性的练习题！当然，这个孩子恰好摸到10%与90%是幸运的。因为这只是可能事件，百分数这个时候提供的是一种可能性。（不信您也试试？）

而我们拿钱去存银行的时候就不一样了，实际上我们拿着钱到了银行，大家为班级的公款开了户，3 000元，半年期，利息年息3.58%。半年后能取出多少？

本金乘以利率乘以时间，即为

3 000×3.58%×0.5＝53.70（元）

“对，只要银行不消失，我们就能得到53.70元。注意单位，元。”

“只要银行不消失。”一个孩子小声地说。

“是的，银行也会消失。”我说，“不过一般不会”。

教学中数量单位一定要让孩子们注意到，因为数学很多时候是一种理性的界定。不同的单位当然代表着不同的类和特质。

列式是重要的一项工作，把给定的事物关系转化成数量关系。这是理性的巨大功劳。老师一定要帮助孩子们清晰地表达出来。他们自己会问：

“如果存3万元呢？30万元呢？300万元呢？”

之后我发觉孩子们被“意外之财”搞得很兴奋，事实上尽管只有50多元钱，然后天生的欲望马上就暴露出来了！利息500多、5 000多、50 000多……贪婪确实是人性的特质，我估计成人也一样去幻想这种增长。

我且让他们的幻想飞一会儿！这个时候可以用I＝P×R×T表达出来，I是利息，P是本金，R利率，T是存期、时间。他们很容易理解这个数学公式所传达的含义，并能进行计算，带着极大的兴趣。

但是这一步需要小心。因为毕竟从比较抽象的数学关系再到抽象的字母关系式，是思维的飞跃。《国际大纲》上讲道：“几乎没有哪一门学科像数学一样是与学术能力和智力相对等的。你要么‘投降’，因为会遇到困难，这些困难通常都会导致放弃；要么就简单地成为‘笨蛋’。”

这里如果孩子不能够太理解字母表示数的意义，不能较好地掌握这种较抽象的算式，也不要太着急，因为七年级讲“数与代数”的时候还要有更多的学习。在数学学习上，等待也是一种美德。但是，先让他们感知，却也是很重要的。知识，特别是数学知识，是螺旋上升的。

但是，这种抽象的能力应该逐渐被培养起来。人们说华德福学校让学生体验到数学的神奇，我觉得老师你自己就要饱有神奇之心，亦要有发现之术。一个P可以表示所有的本金、钱，一百元、一百亿元、一毛钱、九千八百九十九元……I可以代表所有的利息，一万元存三年的，一百万存八年的、一毛钱存一百年的、九千八百九十九元存两年半的……字母代表所有，自由！

另外，让我感受很深的是，之前孩子们在数学学习中的感受很重要，而一旦进入这样抽象的公式，孩子们自己的主观观点和想法似乎不被需要！因为放进去因数就会产生有规律的结果！就像大家上面看到的本金的增加，利率不变，利息就按一定方式增加一样。在这里，数学将他们的注意力不仅吸引到数字化的东西上来，还吸引到他们自己的思考上。重要的是关系引出的数学规律的普遍性。正如《国际大纲》所说，“如果学生们能够熟练并安全地使用数学法则，他们就学习到了自信。如果实现了这一点，那么年轻人就会在朝向数学教学最重要的目标前进：在思考中去获取确信。”

“为什么会有利息？”

孩子们会发出这样的问题。我小时候也认为，我们把钱存到银行，应该付给银行保管费才是，怎么银行会倒给钱给储户？当然，大多数银行会给利息，事实上，世界上也有这样要收存储费的银行。有些国家必要时也会这么干。

结合三年级学过的钱币知识，我们进行了一个小活动，这种唤起在先的知识，是一个美好的过程。这个小活动的目的是让孩子们理解最简单的银行资金的流动——储蓄→贷款→还款→利差→利息。

大家铺设好摊位，货物被摆上来：彩笔、瓷器摆件、布、一些零食、几本书。我请大家分成不同的组来分配角色：做生意的（批发和零售）、开银行的、买东西的。做生意的批发商没有足够的钱进货，所以去找银行贷款。而他们买东西挣了的钱，一大笔放进银行，另一笔拿来消费。

经过好一阵折腾，大家总算弄明白，用贷款买东西，销售，还款，这个流程可以赚钱，也为存钱带来利息。

“这里面有人在劳动！钱其实不会自动生钱！”

我最满意，也等待良久的，就是这句话——孩子不经意间说出的这句话。

金钱的魔力亘古至今，施泰纳希望大家看到金钱与人的关系，在他的三元社会——政治权利（politics in rights）、经济互助（economics in brotherhood）、文化平等（culture in equality）中，他认为金钱所带来的是一种精神的流动关系，他强调的是分享，而不是人们下意识的做法——只是满足封闭的自私的占有欲。因为他认为，如果关于金钱的认识，人们在思想上只是认为它是一种单向的活动，并以自私封闭的方式拥有它，就会强力地联系起自我，而这只能导致变本加厉的自私心，以及无以复加的利己主义。这样的结果使人的道德沦丧，甚至走向自我灭亡。19世纪末与施泰纳同时代的人都看到这样的问题，也思考解决的办法。大家再熟悉不过的共产主义的创立者卡尔·马克思很形象地引用英国托·登宁的名言，来说明这个问题，“如果有10%的利润，它就保证到处被使用；有20%的利润，它就活跃起来；有50%的利润，它就铤而走险；为了100%的利润，它就敢践踏一切人间法律；有300%的利润，它就敢犯任何罪行，甚至冒绞首的危险”。马克思提出的做法也众所周知：剩余价值还给劳动者，实现社会主义、共产主义。

在谈到金钱的时候，华德福课程希望通过教师的引导，创造出分享、享受与信心的意识，而不是独占、厌倦和绝望。

关于六年级的数学学习，《国际大纲》有如下建议：

·　继续学习心算；

·　复习：自然数、正分数和小数的计算；

·　整体的方法带出关于正比例和反比例；

·　百分比；

·　百分比在商业中的应用：利息、折扣、汇率、利润和亏损、增值税，对单息公式如何使用的概括介绍；

·　模块统计表和象形统计表。

几何

·　三角形的三个内角之和的证明：裁剪和使用量角器；

·　运用计算方法证明三角形三个内角之和；

·　运用圆规准确地画角和等分角；

·　从描述中构建三角形；

·　全等三角形，全等的四个条件；

·　转化，三角形的运动特性和四边形，克朗变换，圆内接三角形（上色会强化它），泰雷兹定理（直径所对的圆周角是直角）；

·　三角形，圆形，叶形；

·　焦散曲线，心形包络曲线；

·　全等形状，画等角、余角、补角和其他角；

·　画三角形及其高，会画角平分线和边平分线。

几何部分我就不多讲了，是另一个主课主题。但看得出，三角形的基础知识是一个重点。此时，老师已将基本的尺规作图带入。并且图形的动态变换也是一个重点。其实公立教材中，也有这方面的内容，包括作几何包络线。

在教学中，心算以及整、小、分数的计算必须相当熟练，否则孩子们不熟悉基本运算，会有极大的受挫感。数学应当培养一些直觉，即很多人称作的Mathematics Instinct。而这种直觉必须是大量练习才能够达到的，即把思考转化成意志和感受。国外很多学生普遍基础数学不好，这是我看到的事实，重要一点就是不能吃苦，练习不够。

关于正反比例关系的学习，我喜欢用图表表示出来，让孩子们直观地看到正比例关系是一条直线，反比例关系是抛物线。学习到这里，孩子们常常会感到惊讶，怎么式子不同，图形就不一样？

在这个内容学习中，我认为有三个要点。

第一，数和图有这样的对应关系是很重要的，让他们多多少少产生一些印象，这为以后的学习打下基础。最简单直接的联系，就是九年级开始的直角坐标系和线性方程。打一点基础是很有必要的，不然，到时候有的同学很难理解直角坐标系中点与图形的意义。

第二，数学中的数字或图形某种意义上来说就是物体运动的结果，它是一个动态的过程，要逐渐让孩子们认识到，它不是“死的”，是“活的”，我们要描述的是“活的”东西，而不只是数字固定下来的“死的”东西！

第三，在变化中是有规律可寻的。我们的智慧可以努力寻找这样的规律，并描绘出来，它就能为我们服务，数学很有用，不神秘。

关于百分数的学习。百分数是一种分数占比关系，以分母为100来表达，是一种简化的表达，容易表述与比较，被广泛运用于生活中。关于百分数的学习，我根据自己的教学补充几点比较“干”的东西：

·　所占的份数（分数）；

·　占的百分数，百分数的意义和大小比较；

·　百分比相加；

·　百分比相减；

·　一个数的百分之几；

·　一个数的百分之几是多少，求这个数；

·　百分数与小数、分数的互化；

·　谁是谁的百分之几；

·　利率问题。

说“干”是指这些纯粹是一小点一小点的知识点，既不风和，也不日丽。但我觉得一步一步去掌握非常重要。孩子们会在一点一点的攻克中，学会逻辑，建立信心。百分数教学，不管在公立学校，还是在华德福学校，对这个年龄阶段的孩子都是比较抽象的事，孩子很容易被贴上“笨”的标签。我在公立学校、华德福都看到过这种情况；也在外国学校看到过这种情况。

下面是我上过的一节课大致的流程：

8∶30—8∶50　晨颂，中音竖笛连奏，《论语》诵读

8∶50—9∶00　晨跑

9∶00—9∶30　作业检查与解答，数学基本练习

9∶30—10∶10　主要内容：求一个数的百分之几是多少；已知一个数的百分之几是多少，求这个数

10∶10—10∶30　耍“钞票”，布置作业

我觉得这节课的亮点是“耍钞票”。我昨天布置的家庭作业是请他们回去“制作钞票”。果然，大家拿着各式各样的“钞票”来到教室。有个同学还说他爷爷说，“你们老师咋的啊，没名堂，怎么教小孩子做假钞！”我们大家听了直乐，哪有公开做假钞的！况且我们怎么有那样的水平！复习了一个数的百分之几是多少的意义后，我请孩子们拿出他们的“钞票”——数值卡。说一个数，请大家用自做的“钞票”凑出那个数，比如200元的20%；350元的80%，也让同学之间互相观察，互相帮助，做出记录，并相互校正。大家乐此不疲。动是他们的学习特点，就像登载在华德福杂志里的那篇文章《数学和记忆》（Mathematics and Memory）中说的。美国的麦肯德尔老师（Lori MacKinder）提到，孩子的数学记忆，一是肢体或运动记忆，二是节奏韵律记忆，三是图像记忆，都应该运用起来。之后我又说30元是一个人钱包里的10%的钱，这个人钱包一共有多少钱？让他们认识到这个互逆关系。但这节课只是引出来，下面的课还会深入地学习。

统计图表也可介绍给同学们，它们是最简洁的数学。没有什么比一目了然的图表所描述的关系得到的结果更简明有力了。这也是很好的数学实用性的体现。

“律学以议刑制，算学以穷九九。”（宋·周邦彦《汴都赋》）。“穷九九”——弄清楚九九乘法表，到六年级，算术学应该可以告一段落。我们探讨课程，常常会谈到年龄发展和学科精神，因为横纵坐标的两极，可以撑起孩童学习的天地。那么，算学，或是进一步讲数学，有什么意义呢？

柏拉图在《理想国》中谈到，“算学是一切技术的思想的和科学的知识都要用到的。它是大家都必须努力学习的最重要东西之一，所以军人必须学会它，以便统帅他的军队。哲学家也应该学会它，因为他们必须脱离可变世界去把握真理，不是马马虎虎地学，是深入下去学，直到用自己的纯粹理性看到了数的本质……以便于将灵魂从变化的世界转向真理和实在。”

数学对人类的重要性柏拉图揭示得十分清楚，同时谈到真正的本质的学习——直到用自己的纯粹理性看到了数的本质。而这个“将灵魂从变化的世界转向真理与实在”，或许就是施泰纳称为的数学与精神世界最接近的东西。

主要参考书目

[1][英] 隆‧贾曼.让孩子与数学的真实相遇[M].李心仪，译.台北：台湾洪葉文化事业有限公司.