奇妙的图形密铺

屠艳红

屠艳红，小学一级教师，2008年9月参加工作，五华区教坛新秀。从参加工作至今担任数学教学工作，全国课堂教学竞赛二等奖，西南片区课堂教学竞赛一等奖，昆明市课堂教学竞赛一等奖。现任昆明市五华区武成小学总辅导员。参加英特尔®未来教育项目十周年表彰及应用成果展示活动教学应用优秀作品《奇妙的图形密铺》获云南省教育厅三等奖。

【作品介绍】

作品主题《奇妙的图形密铺》

所属学科 数学

相关学科 数学艺术适用年级 五年级

对应教材 《奇妙的图形密铺》苏教版义务教育国标教材小学数学五年级下册

学时安排5课时

【单元概述】

本单元分为三部分：第一部分，通过观察生活中常见的用砖铺成的地面或墙面，初步理解什么是图形的密铺。第二部分，通过动手操作和思考，探索并了解能够进行密铺的平面图形特点，知道有些平面图形可以密铺，有些则不能；有的还可以用两种或两种以上的平面图形进行密铺，从而在活动中进一步体会密铺的含义，更多地了解有关平面图形的特征。第三部分，通过欣赏密铺图案和设计简单的密铺图案，进一步感受图形密铺的奇妙，获得数学美的体验。

【课程标准】

《奇妙的图形密铺》是苏教版义务教育国标教材小学数学五年级下册的内容，是一节实践活动课，属于“实践与综合应用”领域。

【学习目标】

1.通过观察生活中常见的密铺现象，使学生初步理解密铺的含义，知道什么是平面图形的密铺；通过拼摆各种图形，探索密铺的特点，认识一些可以密铺的平面图形。

2.在探究多边形密铺条件的过程中培养学生的观察、猜测、验证、推理和交流的能力。进一步发展学生的合情推理能力，能运用几种图形进行简单的密铺设计。

3.通过欣赏密铺图案和设计简单的密铺图案，使学生体会到图形之间的转换，充分感受数学知识与生活的密切联系，经历欣赏数学美、创造数学美的过程，从而激发学生学习数学的兴趣，享受由美带来的愉悦。

【框架问题】

基本问题：

怎么设计密铺图形？

单元问题：

1.图形为什么要密铺？

2.你会设计简单的密铺图案吗？

内容问题：

1.什么是图形的密铺？

2.密铺图形有什么规律？

3.哪些平面图形可以密铺？

【教学过程】

1.用教师演示文稿，提出本单元的基本问题“怎么设计密铺图形？”介绍单元学习计划。

2.利用15分钟的时间，教师和学生共同初步讨论所提出的基本问题，明确研究的方法：利用网络资源、图书资源、影音资源，查找资料，分小组自主研究，通过对研究的核心问题“ （1）什么是图形的密铺？ （2）密铺图形有什么规律？ （3）哪些平面图形可以密铺”进行分析。

3.将学生分成学习小组。建议每6人一组，推选出小组长，每个小组可以为自己小组命名并适当分工，填写分工情况表。

4.介绍单元问题：

（1）图形为什么要密铺？

（2）你会设计简单的密铺图案吗？

5.对前两个问题以小组为单位展开研究。如果上课时间不够，请利用课余时间进行分头收集资料，集体讨论、分析整理资料，并填写密铺图形分析表。各小组建立专门的文件夹存放研究结果，统一命名为“密铺图形”，达到资源共享。

6.从以下几方面着手

（1）什么是图形的密铺？

（2）密铺图形有什么规律？

（3）哪些平面图形可以密铺？

7.要求学生制作演示文稿

（1）制作演示文稿的目的：总结对前两个问题的学习探究的情况和初步成果。

（2）演示文稿应包含的内容：

①小组研究的基本情况介绍；

②所选择的作品对问题“A.什么是图形的密铺？B.密铺图形有什么规律？C.哪些平面图形可以密铺？”的探索。

③其他。

（3）提供学生演示文稿范例给学生看。

（4）通过范例明确制作学生演示文稿的要求和评价标准。

（5）在两课时内完成（可以利用课外时间）。

8.各小组推派一名代表，交流学习的初步成果。播放演示文稿时，要边讲解边介绍。

9.再对第二个问题“密铺图形有什么规律”展开讨论，让大家一起加入探讨密铺图形规律的问题中来。

10.小组讨论后，要求用Word软件写出小组讨论的结果。

11.根据讨论结果设计一个密铺图形给大家欣赏，并欣赏密铺图形。

12.要求以小组为单位将本小组学习的过程、情况和结果制作成网站。（1）网站应包含的内容：

①小组研究的全部情况介绍；

②所选择的作品（尽可能提供相关的资源）；

③对问题“什么是图形的密铺？密铺图形有什么规律？哪些平面图形可以密铺”的探索；

④其他相关的资源。

（2）提供学生网站的范例。

（3）通过所提供的范例明确制作网站的要求。

（4）公布学生网站的评价标准。

（5）在三天内完成（可以利用课外时间）。

13.每组选派一名代表进行学生网站的演示。在演示的同时，组织评价，在小组内和小组间按照评价标准进行互评。

14.展示后要求根据评价意见进行修改。

在学校计算机老师的帮助下，将学生各小组的网站发布到校园网上。

【所需资源】

（一）前需技能：

1.第一次在数学课中接触密铺。

2.学生已具备相关几何知识和一定的动手操作能力、分析归纳能力、合作探究能力与图案设计能力。

3.需要基本的计算机处理能力。

（二）辅助材料：电脑、 网络、多媒体设备、 学生网站、教师支持材料。

（三）网络资源：

1.作品标题：密铺图片欣赏

网站名称：百度图片

发布日期：2008年12月19日

内容简述：各种图形的密铺欣赏。

网址：http://xtxx.dgjy.net/Article_Show.asp？ArticleID=1304

2.作品标题：艺术家的一些密铺艺术作品

网站名称：百度知道

发布日期：2008年8月27日

内容简述：1619年——数学家奇柏（J.Kepler）第一个利用正多边形铺嵌平面。

1891年——苏联物理学家弗德洛夫（E.S.Fedorov）发现了17种不同的铺砌平面的对称图案。

1924年——数学家波利亚（Polya）和尼格利（Nigeli）重新发现这个事实。

网址：http://zhidao.baidu.com/question/65422550.html？si=7

3.作品标题：可以密铺的图形的因素有哪些

网站名称：百度知道

发布日期：2009年2月19日

内容简述：若用1种图形进行密铺，可以采用：任意三角形、任意四边形、正六边形，拼接点处内角和是360度；若用2种图形进行密铺，可以采用：正三角形&正方形，正方形&正八边形，正三角形&正六边形。

网址：http://zhidao.baidu.com/question/85345745.html

4.作品标题：密铺图形

网站名称：百度百科

发布日期：2009年5月18日

内容简述：所谓“密铺”，就是指任何一种图形，如果能既无空隙又不重叠地铺在平面上，这种铺法就叫做“密铺”。可以进行密铺的图形叫做密铺图形。如：长方形、正方形、三角形等。

网址：http://baike.baidu.com/view/1003523.html？tp=0_ 11

5.作品标题：密铺

网站名称：百度百科

发布日期：2009年3月21日

内容简述：街道两旁的道路常常用一些几何图案的砖铺成，地砖的形状往往是正方形的，也有长方形的，我们还见过正六边形的地砖。无论是正方形、长方形，还是正六边形的地砖，都可以将一块地面的中间不留空隙、也不重叠地铺满，这就是密铺。

网址：http://baike.baidu.com/view/1003523.html？tp=0_11（四）

评价工具和方法

对演示文稿

评价工具：《学生演示文稿评价量规》

评价方法：可从内容、版面设计、组员合作情况和引用资源说明做评价。

对网站/网页

评价工具：《学生网站评价量规》

评价方法：（1）网站包含了对排序规律的探究，提供了大量的学习资料； （2）网站反映了科学探究的要素（包括提出问题、猜想与假设、进行资料收集、分析、交流与合作）； （3）网站反映了排序规律在生活中的应用； （4）无错别字，无语法错误，注明资料来源，完整、实用、正确；（5）在探究和制作网站的过程中孩子们积极合作，积极发言； （6）内容表现形式多样化，包含文字、图片、动画等。

【教学反思】

新课程的理念是：义务教育阶段的数学课程，不仅要考虑数学自身的特点，更应遵循学生学习数学的心理规律，强调从学生已有的生活经验出发，让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程，进而使学生获得对数学理解的同时，在思维能力、情感态度与价值观等方面得到进步和发展。

《奇妙的图形密铺》就是一节完全体会新课程理念的活动课，尝试设计以学生的活动为主线的教学模式，使学习过程变成学生不断提出问题和解决问题的探索过程，层层递进，充分利用多媒体教学的直观性，揭示图形变化；针对不同的学习内容，选择不同的学习方式，使学生的学习变得丰富而有个性；以学生操作为主，教师只是学习的组织者和引导者。课堂完全交给学生，学生有了个展示自身才华、能力的平台，通过小组合作，积极参与对数学问题的讨论，敢于发表自己的观点并尊重与理解他人的见解，能从交流中获益，充分体现了学生的主体性、活动性、广泛的参与性，教学效果较好。

在课堂上教师关注学生面对问题的真实想法，而不是成人所期待的完美的答案。课堂教学不追求最佳化，不追求一步到位，对学生回答中的闪光点应给予肯定，在实际操作中有几个原本成绩较差的学生动手能力很强，说明人人都有可塑性，教师平时并未发现这些同学的闪光点。承认并尊重学生发展存在的差异性，教师应深入学生中间对后进生施以个别辅导。

在教学评价中，既要关注学生知识与技能的理解和掌握，更要关注他们情感与态度的形成和发展，既要关注学生数学学习的结果，更要关注他们在学习过程中的变化和发展。整节课不在于学生能总结多少内容，而是看他们是否积极主动地参与学习活动，是否能够独立思考获得解决问题的思路，是否能够使用数学语言有条理地表达自己的思考过程，是否乐于与他人合作，愿意与同伴交流各自的想法，并在与同伴交流中获益。实现“人人学有价值的数学，人人都能获得必需的数学，不同的人在数学上得到不同的发展”。

孩子之间存在个体差异，笔者不要求每一个孩子都达到同一个标准，只力求让每个孩子在积极、主动的探索中，在自己的原有水平上获得发展。

点评：

随着信息技术提供的辅助教学手段和方式，教学中既激发了学生的求知欲，活跃学生的思维，拓展学生的想象力，又有利于学生对“空间与图形”知识的理解和掌握，弥补了传统教学方式的直观感、立体感和动态感等方面的不足，使“空间与图形”知识中那些抽象、难懂的内容变得易于理解和掌握，使数学课堂教学收到事半功倍的效果。运用现代信息技术为“空间与图形”信息时空一体化提供了展示的舞台，为“空间与图形”信息的立体化、形象化呈现，提供了技术平台。屠老师的数学综合实践活动课的教学设计，体现了以下几点：

（1）立足现实，动手操作，活跃思维，强调了数学与生活的紧密联系，在教学中，通过观察生活中常见的密铺现象，从地砖等引入密铺图形，注意从学生们所熟悉的生活事物着手，采用活动的形式呈现出来。让学生联系自己的生活实际，寻找现实生活中密铺图形，让他们感受到数学与生活的密切联系，学会用数学的眼光看待周围事物，从中体验数学的价值。

（2）体现学科综合的思想，感受数学之美。

这节虽然是数学课，但是它所涉及的领域远远超出了数学学科的范围，与美术、美学都有交集。学生在课堂上学习数学知识——轴密铺图形，但同时也感受到了色彩美、对称美\数学与美学，虽然一个属于自然科学，一个属于社会科学，二者似乎无多大联系，然而，数学中却处处存在着美。数的美，形的美；比例的美，对称的美……本课正是从数学角度指导学生认识这类图形，了解其特点，并利用密铺制作美的作品，但无论是起始部分的导入，还是研究学习部分，乃至精心设计的“小小设计师”……无处不在渗透一个字——美！

（3）应用多媒体，创设情境，激发学生学习兴趣。

本节课，应用多媒体技术手段，从学生身边熟悉的事物，以学生熟悉的形式呈现出来，依靠学生熟悉材料的直接兴趣，激发学生的思维火花。学生在自己熟悉的情景中学习，感到非常地亲切，学习劲头自然十足。而且多媒体的色彩美、动态美，对学生的多个感官进行刺激，结合动手操作和小组讨论等利于学生对事物的现象和本质的掌握，促进了他们对知识的理解，大大提升了课堂的教学效率。

（4）生活是数学的最高境界。

密铺图形是学生生活中司空见惯的，但是学生并不知道这些图形是因为密铺而美，从生活中采撷密铺现象，体现数学来源与生活。让学生利用密铺现象设计作品，不仅提高学生观察和制作密铺图形的能力，更重要的是提高学生应用美、创造美的能力。

（5）合理使用学习资源，降低学习成本，同时也为平时不喜欢、不擅长学习数学的孩子提供了另一个展示自己数学学习和动手能力的空间和舞台。如果本单元的内容，不使用信息技术作为学习工具，学生的设计和创作需要用大量的纸张、颜料等，同时在绘图方面更需要用大量的时间和精力，有了计算机软件作为工具，这一切都可以低成本的快速实现，学生更容易体验到学习带来的成就感，从而使学习愿望得到增强。

点评人：严玮

责任编辑：严玮时丽萍