数学事实与数学原理的表征

三、数学事实与数学原理的表征

数学概念是数学思维操作的基本单位，概念所指对象的特征性质就形成了数学事实，而建立概念之间的因果关系就形成了各种数学原理（公理、定理、法则、公式）。所以数学事实和数学原理是对数学概念的心理加工，数学事实和数学原理是建立在概念体系上的高一层抽象程度的操作对象。同时，数学事实和数学原理又是解决问题的基本工具，概括概念、发现数学事实和数学原理以及应用数学事实和数学原理解决问题的过程中又体现了数学思想方法，所以数学事实和数学原理在学生数学学习的操作对象中起到承上启下的作用。个体的数学思维操作的层级关系可以用以下的模型来刻画：

图4－3－1

数学事实与数学原理是对概念特征的一种描述，这种描述是对概念对象的模型结构的特征捆绑，因此数学事实和数学原理是以对象模型的静态和动态的意象为中心的概念特征的捆绑与语言符号注释。

例如，对“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”这个事实的理解方式，在九年级学生中进行调查的结果是：有50%的学生以如图4－3－2的“图形分化＋特征描述”的方式进行表征；20%的学生用图4－3－3的命题形式进行表征；10%的学生用如图4－3－4的矩形的图形特征描述进行表征（教材中该命题的产生背景）；还有20%的学生用综合方式表征这一数学原理（用图4－3－3的命题检索方式搜索定理的内容，用图4－3－2的方式标记定理，还有的学生用图4－3－4与平行四边形的动态变化来表征定理与逆定理，并与圆中的圆周角与半径关系来描述定理与逆定理）。

通过对这些学生的数学成绩进行追溯，发现用综合表征方式表征的学生的数学学业成绩明显优于用单一表征形式的学生（p＝0．01水平上差异显著）。

数学事实和数学原理的表征方式具有多样化的特征；采用以对象模型的意象为中心的，进行概念与特征的捆绑方式，并建立与其它对象建立联系的多样化和综合的表征方式是比较理想的表征方式。