二、推理的种类
根据不同的划分标准，推理可以分成许多种类。数学中常用的推理有归纳推理、类比推理、演绎推理和假设检验。
1．归纳推理，又称归纳法，是由特殊到一般的推理，是从个别或特殊的事物所作的判断扩大为同类一般事物的判断的思维过程。根据前提与结论所作判断的范围是否相同，归纳法可分为完全归纳法和不完全归纳法两种。
（1）完全归纳法
如果归纳推理的前提中一个或几个判断范围的总和与结论中判断的范围完全相同，这种归纳推理叫做完全归纳法。它的表示形式是：
S1、S2、…Sn是集合A中所有的元素，
S1具有（或不具有）P
S2具有（或不具有）P
………………………………
Sn具有（或不具有）P
集合A具有（或不具有）P
例如，证明三角形三条高或其延长线共点，可以分别证明锐角、直角、钝角三角形三条高或其延长线共点，从而推出任意三角形三条高或其延长线共点的结论。
由于完全归纳法在前提判断中已对结论的判断范围作出了判断，如果都是真实的，则所得的结论是完全可靠的，所以完全归纳法可作为数学上的一种严格推理方法。但是应用时，须注意前提的判断范围既不必重复，也不能遗漏，即前提判断范围的总和不能小于结论判断的范围。
（2）不完全归纳法
如果归纳推理的前提判断范围的总和小于结论判断范围，这种归纳推理叫做不完全归纳法。其表示形式是：
S1、S2、…Sn是集合A中部分的对象，
S1具有（或不具有）P
S2具有（或不具有）P
………………………………
Sn具有（或不具有）P
则集合A具有（或不具有）P
例如中学数学中从具体实数的运算概括出实数的运算律以及指数运算性质等的推理都是不完全归纳法。
必须注意，根据不完全归纳法推出的结论可能真，也可能假。因此，不完全归纳法不能作为数学上一种严格的推理方法使用，但是它在科学研究中可提出假设或猜想，在解题中便于发现规律，启发思维。教学中，为了说明某些定理、公式、性质的正确性，也往往借助于个别特殊的例子来说明，其实质就是用实例来进行验证，也可以认为是用不完全归纳法来进行推理的。
2．类比推理
类比推理是由特殊到特殊的推理，即根据两个（或两类）事物的某些相同或相似的性质，断定它们在别的性质上也可能相同或相似。其表示形式是：
集合A中元素具有性质a、b、c、d
集合B中元素具有性质a、b、c
则集合B中元素可能具有性质d
例如，由平面上线与线之间的关系推测空间中面与面之间的关系，就是类比推理。
类比推理所得出的结论未必真，它只有一定程度的可靠性。有些结论，还有待于实践和理论的证明。一般说来，如果两类事物共有的性质和推出的性质是密切相关的，那么结论就比较可靠。两类事物共有的性质越多，推出的结论的可靠程度就越大。
用类比推理所得结论，虽然不一定都真实，但类比推理对科学技术和数学本身的发展以及在数学教学中的作用却是很大的。数学中有不少重大发现乃至有关解题方法是由类比推理提供线索的，数学本身赖以获得真理的主要手段就是归纳和类比。因此，类比推理仍不失为一种获取新知识的工具。
3．演绎推理
演绎推理是由一般到特殊的推理，即以某类事物的一般判断为前提，作出对这类事物的个别、特殊事物判断的思维形式。
演绎推理的前提与结论之间有着必然的联系，只要前提是真的，推理是合乎逻辑的，就一定能得到正确的结论。因此，演绎推理可以作为数学中一种严格的推理方法使用。
演绎推理的形式多种多样，数学中运用最普遍的有三段论和关系推理，此外，还有选言推理、假言推理、联言推理等。
（1）三段论。三段论是由两个包含着一个共同项的性质判断而推出一个新的性质判断的推理。它的理论根据是前面的规则6。简单的演绎推理往往是通过三段论的形式来实现的。其表现形式为：
集合M中的元素具有（或不具有）P
x∈M
则x也具有（或不具有）P
三段论的结构包括大前提——反映一般原理的判断，小前提——反映个别对象与一般原理联系的判断，以及结论三个判断。如果大前提、小前提都正确，则结论一定正确。
例如，∵平行四边形的对角相等（大前提），
四边形ABCD是平行四边形（小前提），
∴四边形ABCD的对角相等（结论）。
（2）关系推理。关系推理是根据对象间关系的逻辑联系（如对称、传递等）进行推演的推理形式。它的前提和结论都是关系判断。
设a、b、c表示对象，R表示关系（可表示数学中的“相等”、“大于”、“小于”、“平行”、“垂直”等关系）。那么，这两个对象之间的关系判断可以表示为“aRb”。
关系推理又可以分为直接关系推理和间接关系推理两类。
直接关系推理常见的有：
若关系R具有对称性，称为对称关系推理。即aRb＝＞bRa．例如，数学中的“相等”、“平行”、“垂直”等关系都具有对称性。因此，含有这些关系的判断都可以按上法推理。
若关系R具有反对称性，称为反对称关系推理。即（aRb）∧（aRb）＝＞b＝a．例如，数学中的“大于”、“小于”、“整除”等关系都具有反对称性。因此，含有这些关系的判断都可以按上法推理。
间接关系推理常见的有：
若关系R具有传递性，可进行传递关系推理，即（aRb）∧（bRc）＝＞aRc．例如，数学中的“相等”、“平行”、“大于”、“小于”、“整除”等关系，都具有传递性。因此，含有这些关系的判断都可以进行这种推理。
若关系R具有反传递性，则可进行如下的反传递关系推理，即（aRb）∧（bRc）＝＞a等价于c数学中的“垂直”关系就不具有传递性，因此，对于平面内的垂直关系的判断，就应如下推理：
a⊥b，且b⊥c＝＞a平行c。
4．假设检验。假设检验的基本模式是：提出假设论断A中的元素具有特征p，取A中的若干元素a、b、c、d…，如果这些元素都具有特征p，则推断假设正确，并进一步用逻辑方法证明假设的正确性；如果发现其中有一个元素没有特征p，则得到假设不正确的推断。假设检验是科学推理，是科学家推理的主要形式，其特殊性在于，在进行推理前，首先进行了假设。
最后，需要指出的是，在数学推理过程中，以及在数学发展过程中，演绎、归纳和假设检验从来都不是孤立出现的，它们紧密交织在一起。通常是由归纳法得出原始概念和公理、建立假设和猜想，假设和猜想一经证明成立，就获得了定理、公式和性质这类一般规律，然后把所得的一般性判断作为大前提进行演绎推理，从而解决各类数学问题。
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