数学问题解决的认知过程

二、数学问题解决的认知过程

数学问题解决的基本心理操作是：感知和确定问题→表征和定义问题→解决问题策略的形成→组织信息→资源分配→监控→评估。

1．问题的感知与确定。有些数学问题的结构关系比较明显，如数学中的简单证明问题，我们对问题的感知并不困难，我们知道问题的题设和结论，操作任务是要用推理的方法建立它们之间的因果关系；但对于情境中的问题感知，我们就会遇到很多困难。例如：

小明家准备在学校开一家学生用品商店，下面是前期调查的数据。

投资情况：商店设备投资：20000元，商店员工工资每月1200元，需要安排2名员工；

商品销售利润率10%（利润＝销售收入×10%）。

为了调查学生的零用钱消费情况，学校随机抽出20位同学进行调查，得到每月零用钱消费数据如下（单位：元）

15；20；10；16；14；32；25；30；12；8

6；11；22；19；17；24；26；28；50；25；

你能帮助小明家分析这些数据并进行投资决策吗？

在着手解决这个问题之前，我们必须首先明确在这个情境中，需要我们做的投资分析需要分析什么项目，根据这些项目的分析可以大致把握经营中的投资回收周期——这就是感知和确定问题，也就是明确自己的任务与目标。

2．问题的表征与定义。在明确了任务与目标以后，我们需要对问题的结构进行描述与分析。描述分析问题中的题设结构（已知情境）、结论结构（如果明确的话），建立问题的结构模型（模式）——形成综合意象、图形、语言命题相结合的心理图式，用自己最合适的方式对问题进行表征和定义，建立自己解决问题的基本线索。在这个过程中，对问题结构从不同的领域用不同的方式进行表征，有利于问题的顺利解决。例如：下面问题的不同表征给我们提供了解决问题的不同方法：

公共汽车在A、B两个终点站之间运行，在A、B两站之间有C、D、E三个小站，各站之间的路程各不相同，如果相同的路程使用相同面额的车票，那么该公共汽车需要准备多少种不同面额的车票？

（1）可以把车站看成是直线上的点，那么车票的种数就是不同的线段的条数；如下图：

图8－2－1

（2）可以把A、B、C、D、E看作不同的数，在这些数中任意取两个作差，则这些差的绝对值可能是1与1＋2＋3＋4之间的任意整数，这样的值有10个；

（3）可以把车站看作平面上的五边形的五个顶点，连结这些点之间的线段条数（边或对角线）就等于车票种数，得到10种车票的结果

图8－2－2

（在这种问题表征的模型下，如果把顶点看作地图上的一个区域，把线看作连接两个区域之间的道路，那么对问题的思考还能够进一步得到深化）；

（4）可以看作从五个不同的数中任意取两个，这样的取法有10种。

3．确定解决问题的策略。问题被表征和明确定义后，需要选择解决问题的策略。解决问题的策略的选择过程受到问题表征方式的启发，同时受到个体策略经验储备制约。数学解决问题的基本策略有：分析法—把复杂问题分解为许多可以处理的小问题；综合法——把各个部分整合成一个新的整体；发散性思考、聚合性思考等，还有许多下一层级的数学问题解决策略，如模型化、数形结合、结构映射、逼近、转化等。

4．在形成解决问题的初步策略以后，我们需要收集与问题相关的信息，如可能与这个问题有关的陈述性知识、程序性知识，搜索我们记忆中解决相关问题或相类似问题的经验，搜索别人解决相关问题或相近问题的经验。例如：班级要组织全体60位同学到一个景点去旅游，请你设计最省钱的旅游方案（包括交通费用、景点门票费用）。

这是一个解决实际问题的综合实践活动问题，要解决这个问题，就必须了解各种规格的车辆价格、景点的门票价格以及是否对团体有优惠（包括优惠情况）、景点的地图等信息。

5．资源的分配。在学生数学问题的解决上，主要的资源是时间资源和脑力资源（一些社会综合实践活动还有物质资源、经费等）。一种普遍的现象是：专家（或优秀学生）愿意花费更多的资源用在表征问题和制定解决问题的计划上，而新手（落后的学生）往往拿到问题就做，不愿意花较多的资源去表征问题和制定解决问题的计划，而愿意花更多的资源在细节上。

6．监控。在问题解决过程中，是否对自己解决问题的过程进行实时评价，分析自己的过程是否越来越接近目标，并以这种评价为依据进行自我监控和实时调节，是解决问题水平高低的重要标志。

7．评估。在完成任务达到目标以后，需要对自己解决问题的全过程和得到的答案进行评价，解释结果的合理性，进行结果的合理拓展和合理应用，反思自己解决问题的过程，积累解决问题的策略，并努力追求从不同的领域用不同的方法解决问题，优化自己的思维品质。

图8－2－3

上面介绍的是解决问题的基本心理操作，展示了解决问题过程中的一个心理操作的周期的活动。在实际解决问题的过程中，这些心理操作往往可以是省略、重复和改变次序的，也可能需要多个这样的操作周期。这些心理操作过程可以用下面的模型来说明：