计算长方形的面积公式为什么是“长×宽”

1.2　计算长方形的面积公式为什么是“长×宽”？

从“量”到“算”的发展，意味着知识的发生、发展可以摆脱直接经验的局限，有可能成为一个独立的发展体系。对于长方形的面积来说，从“量”发展为“算”的过程是通过空间推理得到的。根据边的长度分别是整数、有理数和实数分述如下。

（1）边长的量数是整数

如果边的长度量数是整数，我们可以通过空间对应关系，将一维的线段长度与二维的单位面积个数之间建立量的对应关系，从而推理出长方形面积的算法。例如，求长4cm、宽3cm的长方形面积。

因为：长方形面积＝单位面积的个数＝每行个数×行数（每列个数×列数）

所以：长方形面积＝长×宽

（2）边长的量数是有限小数

如果长和宽的量数是有限小数的话，我们很容易想到把1cm²的正方形换成更小单位的“单位面积”，比如1mm²或者更小。例如，求长3.9cm、宽4.1cm长方形的面积，我们可以把单位面积换成1mm²，这样沿着长和宽分别可以摆39个、41个1mm²的正方形，这个长方形的面积是1599mm²或15.99cm²。

只要长和宽是有限小数，那么总可以选择和长度单位相应的更小的面积单位来测量，测量后的总个数等于“长×宽”，单位面积乘划分的个数就是长方形的面积。因此，长方形的面积＝长×宽。

（3）边长的量数是实数

如果长或宽的量数不是有限小数的话怎么办呢？用上面测量的方法显然是不适用了，因为不论将单位面积怎样缩小，都无法划分成整数个小正方形。因此，不能用数个数的方法得到长方形的面积。这个难题困扰了人们很多年，使人们重新对几何的基本量，长度、面积、体积作了新的思考，随着20世纪初测度理论的建立，这个问题才得以解决。著名的数学家罗声雄先生用通俗的语言说明了这个证明的大致步骤：

设矩形的边长为非负实数a、b，它的面积记为S（a，b），且有性质：

①S（1，1）＝1（单位面积）；

②S（a，b）＝S（b，a）（矩形的长、宽对换面积不变）；

③S（a＋c，b）＝S（a，b）＋S（b，c）（矩形分割成两个矩形，原矩形的面积等于两部分之和）。

根据以上性质，可证明：

①S（0，b）＝0；

②对任意非负有理数，有S＝a×b；

③当a、b为非负实数时，对任何实数都有两串有理数从左右两边无限逼近它，设有理数列｛α_n｝和｛α′_n｝无限逼近a，｛β_n｝和｛β^′n｝无限逼近b，即：

α₁≤α₂≤…≤α_n≤…≤a≤…≤α′_n≤α′_n－1≤…≤α′₁

β₁≤β₂≤…≤β_n≤…≤b≤…≤β^′_n≤β′_n－1≤…≤β^′₁

当α₁≤α₂，β₁≤β₂时，S（α₁，β₁）≤S（α₂，β₂），即边的长度较长则面积较大，据此，有不等式：

S（α_n，β_n）≤S（a，b）≤S（α′_n，β^′_n）

因为α_n，β_n，α′_n，β^′_n是有理数，因此上述不等式变为：

α_nβ_nS（1，1）≤S（a，b）≤a′_nβ′_nS（1，1），即α_nβ_n≤S（a，b）≤a′_nβ′_n

令n→＋∞，上式左右两边都无限逼近a×b，得S（a，b）＝a×b。至此，我们可以得到长方形的面积都可以用长乘宽来计算。