是“错”还是“误”

7.1　是“错”还是“误”？

《现代汉语词典》对错误的界定包括两个意思：①不正确，与客观实际不符合，如错误思想；②不正确的事物、行为等，如错误行为。因此可以看出，一般意义上的错误不仅指错误的认识，也指错误的行为。不管从认识还是行为来说，只要形成不正确的结果都是错误。

不过从错误形成的原因来说，“错”和“误”有些区别。电视剧《贞观之治》第27集唐太宗李世民因征兵一事与魏征起了争执。魏征历数李世民自贞观新朝以来失信天下的种种行为。李世民承认：“这是我的误。”魏征当即反驳道：“不，这是陛下的错，不是误。”在电视中，唐太宗想说的是，这些是由于我的“失误”引起的，而魏征却不给皇帝面子，认为这是皇帝诏令前后不一致，是一种应该知道后果的“过错”。在古代，“错”和“误”有些不同，“错”，很大程度上表达的是主观意向，即明知不对却去做；“误”，则表达的是无知者之过。对于造成的差错，从主观上看，确有不同。

无独有偶，在数学学习中一些学者也认为“错”和“误”要区分，要作分别研究：Ashlock，Erlwanger，Ginsburg等人对数学学习中的错误作了研究，“从现实的错误类型中可清楚地看出，很多错误是有规律的而不是偶然的。从学习者身上观察到的一系列错误表明，错误不是教给的，而是学习者构造了自己特有的概念与程式造成的”。因而，他们提出“合理性错误”“规律性错误”等观点。例如，把“－a”看成负数，建构主义者指出，这很大程度上应被看成一种“合理的错误”，因为，这时学生所熟悉的仍只是正数。^[1]郑毓信先生曾有这样的论述：“有些教师往往把学生在学习过程中所产生的各种不同于‘标准观念’的想法或做法看成是错误的。这里的‘标准观念’是指教科书、权威专家或者教师自身的观念，从一个侧面反映了教师对于错误概念的理解更多的是基于数学知识的立场或者是教师自身的立场，而不是站在学生主动建构学习的立场上看待错误。”^[2]

上述观点提醒我们，关注错误形成的主体因素与客观原因，有很大的参考价值。但作为学生错误研究，有时我们很难分清不正确的结果究竟是因“过”而错还是因“失”而误。判断正误的依据宜采用独立的参照标准。参照现代汉语词典，笔者把数学学习中的错误定义为：在数学学习中所产生的不符合规定定义的认识与做法。这里的“规定定义”是指在同一公理系统中的数学定义（概念）。为什么要特别强调“在同一公理系统”呢，这是因为，同一个内容在不同的公理系统会出现此正彼误的结果。比如，平行线在欧氏几何中“永不相交”，如果画成“相交”是错误的，但在非欧几何中，却是可以“相交”的。类似的，“三角形内角和等于180度”，在非欧几何中，就可能大于180度或小于180度。