非洲文化中的勾股定理

第一节　非洲文化中的勾股定理^[1]

众所周知，勾股定理（在西方一般称之为毕达哥拉斯定理）是世界上最早发现的几何定理之一，这个看似简单的定理却被视为一个文明是否发展的重要标志。不论哪个国家，哪个民族，只要是具有自我发明的古老文化，而不是外来文化，他们首先了解到的数学定理都是勾股定理。勾股定理的发现是数学发展史上的一个里程碑，是数学史上具有划时代意义的创举。如果站在非洲这个具有特殊文化背景的地方来追溯它是如何发现、又是如何证明的，人们不仅能体会出勾股定理深刻的文化内涵，而且能从中领悟到其丰富的教育价值。

一、由编制结到勾股定理证明方法的发现

非洲的文化既悠久又丰富。在非洲这个多重而复杂的社会背景下人们对于想象和创新一些装饰品的兴趣非常浓厚，因而在非洲文化中主要是以原始艺术和手工艺品为代表。正是这种文化传统和背景促进了非洲几何的发展。勾股定理的发现着实可以从一些非洲人民生活中经常所用的装饰品上镶嵌的图案中体现出来。图1-1-1展现了结的前后表面形状，图1-1-2的两个图是结形状的轮廓，其中包括可以看见的线条以及不可见的线条，从中可以看出中间是一个正方形。

图1-1-1

图1-1-2

如果将这些富有创造力的图形连接在一起便能发现一些面积相等的关系。（参看图1-1-3），在这个连续的图形上，通过截取变换可以把图1-1-3变为图1-1-4的形状，从而可以很容易得出结论S_C＝S_A＋S_B，由图1-1-5进而可以直观地得到勾股定理的证明S_C＝S_A＋S_B。

图1-1-3

图1-1-4

图1-1-5

二、从对称装饰设计到勾股定理证明方法的发现

在非洲地区很多艺术品都显示了中心对称关系，这种中心对称关系却在非洲成为证明勾股定理的良好素材，下面先来观察一下在非洲装饰品上所出现的几种中心对称图形的图案（图1-1-6）。

图1-1-6

图1-1-7

通过这几种中心对称图形所具有的特点，可以得到一种启发，构造出另外一种具有中心对称的图形，如图1-1-7所示，从图上可以观察出这四个圆是中心对称的，然后把这个图形中的四个圆的圆心连接起来，这样就会得到一个正方形，接下来将这个正方形的边长与圆的交点交错连接起来，就可将这个正方形分成四个部分图形，被分成的四个图形很容易就可以看出是全等的。如图1-1-8所示。

图1-1-8

接下来可以通过图1-1-8（d）图形中的四个部分图形的旋转变换得到另一种证明勾股定理的方法，因为这四个部分是旋转对称的，所以通过一种旋转会得到让人意想不到的一种结果，比较有动态美的一种证明勾股定理的方法如图1-1-9所示。

图1-1-9

如图1-1-10（a）所示可设其边长为p，交叉的线的长度为r，然后将其第三部分逆时针旋转180度，得到如图1-1-10（b）所示的图形，接下来再将第二部分按照如图所示的方式顺时针旋转180度，之后再将第一部分和第二部分联合在一起顺时针旋转180度就会得到如图1-1-10（c）这样的图形，可能现在还未能看出证明勾股定理的脉络。再看一下图1-1-10中图形的解析，一定会有一种恍然大悟的感觉。

图1-1-10

还可以通过在非洲地区人们日常生活中所用的地毯垫子上面的花纹，找到证明勾股定理的另外一种方法，如图1-1-11所示，这个镶嵌着钩子形状的方形的图案便是非洲地区构造地毯的结构花纹。

图1-1-11

可以将上面的图案截取一小部分，所截取的这一小部分要包含四个钩子图形，并且具有对称关系的特点。参看图1-1-12，然后将四个顶点连接起来，就会获得一个正方形，通过出入相补的原理发现，这个新构造的正方形的面积与原图的面积是相等的，再构造出一个以a，b，c为边长的直角三角形。这个新构造的直角三角形将为下面勾股定理的证明做重要铺垫。

图1-1-12

再根据下面图形的分解发现以边长为c的正方形的面积等同于小正方形的面积和2倍四边形面积之和。

图1-1-13

即c²＝2ab＋（b－a）²＝a²＋b²，便有了如图1-1-12所示新构造的直角三角形三边之间的关系式，也就得到了勾股定理的合理证明。

三、案例点评

由以上介绍的非洲文化背景下所产生的勾股定理的几种证明方法来看，其体现了非洲这个地区和民族的特殊文化传统，人们不禁会感叹原来非洲文化中勾股定理的证明是如此之精巧，而且这种证明并不是通过逻辑推演的方法而得到，而是以直观的操作来确认勾股定理的真实性，进一步展示了在非洲多重而复杂的文化背景下勾股定理所蕴涵的特殊的文化价值和艺术魅力。如果学生能够通过上述的背景知识切入勾股定理的学习，不仅可以促使学生感受到数学与人类生活的密切联系，而且可以让学生真正体会到数学的文化价值。事实上，新一轮数学课程改革一开始就提倡让人人学有价值的数学，人人都能获得必需的数学，让数学通过与生活结伴而变得生动，让教科书与生活“联姻”而变得有趣。也许多元文化数学的进一步挖掘会使我们数学的教与学变得更加丰富多彩。

参考文献

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［2］Paulus Gerdes．Geometry from A frica：Mathematical and Educational Exploration［M］．Washington，DC：Mathematical Association of America，1999：54－63．

［3］张维忠．文化视野中的数学与数学教育［M］．北京：人民教育出版社，2005：142－166．

［4］李文林．数学史概论［M］．北京：高等教育出版社，2002：69－71．

［5］张奠宙，宋乃庆．数学教育概论［M］．北京：高等教育出版社，2004：140－144．