音乐与数学

第四节　音乐与数学^[4]

数学家西尔威斯特（J．Sylvester，1814—1897）宣称：“数学是理性的音乐，音乐是感性的数学，两者的灵魂是完全一致的！……当人类智慧升华到完美境界时，音乐和数学就互相渗透而融为一体了。”著名哲学家、数学家莱布尼茨也曾指出：“音乐——这是心灵的欢乐，而心灵不知不觉地进行着计算。”“音乐，就它的基础来说，是数学的。”他们都从音乐中看到了数学，并且从数学中听到了音乐，就像诗人兼书画家王维讲的“诗中有画，画中有诗”。在计算机和信息技术飞速发展的今天，音乐和数学的联系更加密切，在音乐理论、音乐作曲、音乐合成、电子音乐制作等方面，都需要数学。《梁祝》优美动听的旋律，《十面埋伏》的铮铮琵琶声，贝多芬令人激动的交响曲，田野中昆虫啁啾的鸣叫……当沉浸在这些美妙的音乐中时，你是否想到了它们与数学有着密切的联系？

图1-4-1　音乐方程

一、数学产生音乐

乐谱的书写是表现数学对音乐影响的第一个显著的领域。在乐稿上，我们看到速度、节拍、全音符、二分音符、四分音符、八分音符、十六分音符等。书写乐谱时确定每小节内的某分音符数，与求公分母的过程相似——不同长度的音符必须与某一节拍所规定的小节相适应。作曲家创作的音乐是将乐谱的严密结构美丽而又毫不费力地融为一体。若将一件完成了的作品加以分析，可见每一小节都使用不同长度的音符构成规定的拍数。图1-4-1的音乐方程则是一个最好的诠释。除了数学与乐谱的明显关系外，音乐还与比率、周期函数、指数函数、三角级数、常微分方程、偏微分方程等密切联系着。

据史记载，毕达哥拉斯学派是最先用比率将音乐与数学联系起来的。据说有一天毕氏偶然经过一家打铁店门口，被铁鎚的有节奏的悦耳声音所吸引，他感到十分惊奇，于是走入店中观察研究。他发现有四个铁鎚的重量比恰为12∶9∶8∶6，其中9是6与12的算术平均，8是6与12的调和平均，9，8与6，12的几何平均相等。将两个一组来敲打皆发出和谐的声音。这样，当两根绷得一样紧的弦的长度之比是12∶6＝2∶1时，就会发出相差八度的谐音；如果两条弦的长度之比是12∶8＝9∶6＝3∶2时，就会发出另一种谐音；短弦发出的音比长弦发出的音高五度；而如果两条弦的长度之比是12∶9＝8∶6＝4∶3时，就会发出另一种谐音；短弦发出的音比长弦发出的音高四度；等等。毕氏进一步又用单弦琴做实验加以验证。在毕氏时代，弦长容易控制，而频率还无法掌握，所以一切以弦长为依据。毕氏经过反复试验，终于初步发现了乐音的奥秘：毕氏的琴弦律。即：（1）两音的和谐悦耳跟其两弦长所成整数比有关；（2）两音弦长之比为4∶3，3∶2及2∶1时，是和谐的，并且音程（衡量两个音的音高所形成的距离）分别为四度、五度和八度。毕达哥拉斯的琴弦律曾被诺贝尔物理奖学获得者海森堡（Werner Heisenberg，1901—1976）称为“人类历史上一个真正重大的发现”，这是毫不夸张的。最有意思的一个例子就是，开普勒（Johanns Keplerk，1571—1630）从毕达哥拉斯对弦振动的研究中获得灵感，发现太阳系各行星的轨道也存在一定整数比例的关系，为了证明毕氏学派关于“天体音乐”的猜想，写出了《宇宙和谐论》（Harmonieso f theWorld，1619）一书，这些结论不仅得到了大自然中某些最高的美的联系，还和他不朽的行星运动三定律息息相关，而这些定律又为牛顿发现万有引力定律铺平了道路。由达朗贝尔提出的那个弦振动的偏微分方程是历史上意义最为深远的方程之一，开辟了数学的一个极其重要的分支；欧拉（Leonhard Euler，1707—1783）、伯努利（Daniel Bernoulli，1700—1782）等数学大师们围绕此方程解的形式所展开的激烈论战，更是催生了自然科学史上又一首伟大的诗篇——傅立叶分析的降临。

大型钢琴、笛子、二胡、笙、小号等为何制作成那种形状？原来许多乐器的形状和结构都与数学有关。不管是弦乐器还是由空气柱发声的管乐器，它们的结构都反映出某一条指数曲线。周期函数在乐器的现代设计和声控计算机的设计方面是必不可少的。许多乐器制造者把他们产品的周期声音曲线与这些乐器的理想曲线相比较。电子音乐复制的保真度也与周期函数密切相关。

二、音乐孕育数学

美妙的音乐创造了大量的数学知识，孕育了一批杰出的数学家。几何学之父——欧几里得研究过谐音的配合，制定过音阶。解析几何的创始人——笛卡尔曾著有《音乐概论》。微积分的前驱者之一开普勒从音乐与行星运动之间寻找对应关系。微积分的创始人之一、百科全书式的天才——莱布尼兹认为音乐是一种无意识的数学运算。数学家之英雄——欧拉对铃声的研究导致出了一个复杂的四阶偏微分方程，在1731年还写了一本以声乐为主题的著作《建立在确切的谐振原理基础上的音乐理论的新颖研究》。高耸的金字塔——拉格朗日曾研究过长笛、风琴等。

图1-4-2　平台钢琴的弦与风琴的管，它们的外形轮廓都是指数曲线

弹奏琴弦，发出美妙的声音，也产生许多困惑的问题，最终归结为数学的弦振动问题。由于弦振动产生共鸣，出现了弦外之音——傅立叶分析。对乐声本质的研究，在19世纪法国数学家傅立叶（Fourier，1768—1830）的著作中达到了顶峰。他证明了所有的乐声——不管是器乐还是声乐——都能用数学表达式来描述，它们是一些简单的正弦周期函数的和。即傅立叶得到了一个这样的定理：任何周期性声音（乐音）都可表示为形如的简单正弦函数的和。图1-4-3表示小提琴奏出的声乐，它的数学公式是

y＝0.06sin18000t＋0.02sin360000t＋0.01sin540000t

同时每种声音都有三种品质：音调、音量和音色，并以此与其他的乐声相区别。傅立叶的发现，使人们可以将声音的三种品质通过图解加以描述并区分。音调与曲线的频率有关，音量与曲线的振幅有关，而音色则与周期函数的形状有关。这样就使人们对音频、音高把握得更加清楚了，从而为创作各种优美的音乐提供了可能。

图1-4-3

琴弦、风琴管的振动符合某种形式的波动方程，而一个波动方程，只要附加一定的数学条件，便会产生一些数列。如一根振动的弦，就包含着某种正整数序列。借此想法，奥地利的国际知名科学家薛定谔创立了一种原子理论，并得到了电子的波动方程。这是一个很美妙的方程，它把电子的波粒二象性完美地统一起来，圆满地解释了微观粒子的运动，就像牛顿方程圆满地解释宏观运动那样。为此，他于1933年获得了诺贝尔物理学奖。

三、一些实例

（一）钢琴键盘上的数学

看一下乐器之王——钢琴的键盘吧，其上也恰好与斐波那契数列有关。我们知道在钢琴的键盘上，从一个C键到下一个C键就是音乐中的一个八度音程（图1-4-4）。其中共包括13个键，有8个白键和5个黑键，而5个黑键分成2组，一组有2个黑键，一组有3个黑键。2，3，5，8，13恰好就是著名的斐波纳契（Fibonacci）数列中的前几个数。

图1-4-4

在进一步说明之前，不妨指出：一个八度音程（乐音的频率比为2∶1），13个键中黑键数和白键数之比是5/8＝0.625，而5和8恰好等于Fibonacci数列中第4项F₄与第五项F₅，黄金数φ＝0.618近似相等。这说明，有理数和无理数（这里5/8是有理数，它可取为无理数φ的近似值）与音阶的问题有联系。在“C大调音阶”（如图1-4-4所示C—C的八度）中，音程C—D，D—E，F—G，G—A，A—B必须相等（“全音”），而音程E—F和B—C只有前者的一半（“半音”）。最简单的协和音早在单弦琴上就已试奏出来了，而且已经发现，频率较高的音频率与较低的音频率之比越大协和音就越好。高音C的频率是低音C的两倍，因此八度音程可以用2∶1表示。比值3∶2给出五度音程（C—G），4∶3给出四度音程（C—F），5∶4给出大三度（C—E），6∶5给出小三度（D—F）。音程C—C等于12个半音即4个小三度，所以我们应该有＝2。但是等号左边的值是2.074，它比右边的2大了一些，这是无法补救的，因为不能得出一种音调使所有的协和音都具有整数之比。钢琴的音阶是经过调整的，所有半音程都等于＝1.059463094。用等比数列｛b_n｝可以表示依次递增的半音频率。以b₁为参考频率，设b₁＝1，那么由公比q＝就可以算出各音阶的频率值为：

b₁＝1

b₂＝1.122≈11/10

b₃＝1.189≈6/5

b₄＝1.260≈5/4

b₅＝1.335≈4/3

b₆＝1.414≈7/5

b₇＝1.498≈3/2

b₈＝1.587≈3/2

b₉＝1.682≈8/5

b₁₀＝1.782≈5/3

b₁₁＝1.888≈7/4

b₁₂＝2.000≈2/1

可见钢琴取12个键为一个“八度”，则能较好地满足八度、五度、四度以及大三度、小三度等音程是简单整数比的要求，能达到和谐的目的。实际上，在吉他中也存在着同样的等比数列。

（二）大自然音乐中的数学

大自然中的音乐与数学的联系更加神奇，通常不为大家所知。例如蟋蟀鸣叫可以说是大自然之音乐，殊不知蟋蟀鸣叫的频率与气温有着很大的关系，我们可以用一个一次函数来表示：C＝4t－16。其中C代表蟋蟀每分钟叫的次数，t代表温度。按照这一公式，我们只要知道蟋蟀每分钟叫的次数，不用温度计就可以知道天气的温度了！

因而我们说，音乐中出现数学、数学中存在音乐并不是一种偶然，而是数学和音乐融合贯通于一体的一种体现。我们知道音乐通过演奏出一串串音符而把人的喜怒哀乐或对大自然、人生的态度等表现出来，即音乐抒发人们的情感，是对人们自己内心世界的反映和对客观世界的感触，因而它是用来描述客观世界的，只不过是以一种感性的或者说是更具有个人主体色彩的方式来进行。而数学是以一种理性的、抽象的方式来描述世界，使人类对世界有一个客观的、科学的理解和认识，并通过一些简洁、优美、和谐的公式来表现大自然。因此可以说数学和音乐都是用来描述世界的，只是描述方式有所不同，但最终目的都是为人类更好地生存和发展服务，于是它们之间存在着内在的联系应该是一件自然而然的事。

参考文献

［1］杨健．走进琴弦的世界——谈近三千年来人类对琴弦的研究及引发的思考［J］．自然杂志，2004，26（3）：177－182．

［2］刘兼，孙晓天．全日制义务教育数学课程标准（实验稿）解读［M］．北京：北京师范大学出版社，2002．

［3］刘卫锋，王尚志．数学与音乐［J］．数学通报，2005，44（4）：19－21．