直棱柱表面展开图

第二节　直棱柱表面展开图^[2]——基于认知负荷理论的一则教学设计案例

中学生学习负担过重是一个不争的事实，赵俊峰，申继亮在对1080名中学生进行调查，调查结果显示：（1）大多数中学生的认知负荷超载，认知超负荷的中学生占66.5%，其中中度以上的认知负荷达37.5%；（2）与高中生相比，初中生的认知负荷更为严重，认知超负荷的初中生占72.8%，其中中度以上认知超负荷的初中生达42.8%。认知负荷过重，必然导致“学而无效”。如何“教得有效”，已不再只从教师角度来考虑，更要从学生角度来考虑为什么“教得无效”以及如何“教得有效”。这里将从认知负荷理论出发，透过直棱柱的侧面展开图这一教学案例来分析探讨如何进行更加有效的数学教学。

一、认知负荷理论概述

1988年，澳大利亚新南威尔士大学的心理学家J．Sweller在现代认知心理学研究成果的基础上，从认知资源分配的角度正式提出“认知负荷理论”（Cognitive Load Theory，简称CLT）。随后认知负荷理论开始在教学实践领域被广泛研究，并取得了一定的研究成果。诸多研究证明，认知负荷理论为研究教学过程中的认知处理提供了一种新的理论框架，对教学实践具有极其现实的指导意义。

认知心理学的研究表明，学习者的认知效率在很大程度上受制于“工作记忆”对信息的有限加工和“注意”的选择性，即复杂的学习内容会降低他们的学习效率。任何教学都会引起三种认知负荷。所谓认知负荷是指同时被要求施加在工作记忆上的智力活动的全部数量。认知负荷理论提出了三种基本类型的认知负荷：内部认知负荷、外部认知负荷和相关认知负荷。内部认知负荷（Intrinsic Cognitive Load，以下简称内在负荷）是指工作记忆对教学内容本身所包含的信息元素（如概念、规则的基本成分）的数量及其交互性进行认知加工所承受的认知负荷。它取决于所要学习材料的本质与学习者的专业知识之间的交互程度。内在负荷从某种意义上反映了教学内容的复杂性或难度，教学内容难度越大，对工作记忆施加的内在负荷越大。同一难度的教学内容，对不同的学生产生不同的内在负荷。外部认知负荷（Extraneous Cognitive Load）是超越内部认知负荷的额外负荷，它主要是由设计不当的教学引起。相关负荷（Germane CognitiveLoad）是指与促进图式构建和图式自动化过程相关的认知负荷。相关负荷主要源于学生对教学内容进行实质性的认知操作。外部认知负荷和相关认知负荷都直接受控于教学设计者。

三种类型的认知负荷是相互叠加的，且三项之和不超过工作记忆的总负荷。所以，对某次教学内容而言，如果要获得好的学习结果，那么对该教学内容的教学必须有效管理三种认知负荷，使学生所承受的三种负荷之和不超过其工作记忆的总负荷。因此要产生好的学习结果，在教学过程中应尽可能减少外部认知负荷，增加相关认知负荷，并且使总的认知负荷不超出学习者能承受的认知负荷。否则，就会产生较低的认知效率。

二、直棱柱表面展开图教学活动设计

活动一：情境引入，引发思考

师：我们班要制作一个正方形的募捐箱，要求既规范，又美观，因此，除了美术设计，还要了解它展开后的图形的形状，从而裁剪纸张，那么，一个正方形募捐箱的展开图是怎样的一个图形呢？

（设计意图：创设情境，激发学生兴趣，增加相关负载。面对这个问题学生分组讨论，学生初步猜想出正方体的展开图是一个由6个正方形组成的平面图形。同时，通过这个数学活动，让学生体会到数学同现实生活是紧密联系的。）

活动二：师生互动，验证猜想

师：正方体募捐箱的展开图是否同学们说的形状呢？（图2-2-1）你是怎么验证的？

（学生分组讨论，在学生作探究过程中，教师适当点拨，让他们尝试从不同角度解决问题，体验解决问题的多样性。在这项活动中，教师要给予学生充足的时间来发挥他们的潜能。最后找小组代表发言，汇报结果。）

小组一：我们小组是将正方体募捐箱沿棱剪开，得到平面图，再将这个平面图形折叠，围成正方体。

小组二：我们小组首先在方格上画出可能存在的正方形募捐箱的展开图，然后将画好的展开图形剪下，将剪下的展开图形按照方格线折叠，看能不能围成正方体。

师：各个小组来展示一下你们正方体展开图的成果。（教师把学生已有的成果在PPT上进行展示）

（设计意图：学生积极主动参与，增加相关负载。）（图2-2-1至图2-2-5）

师：那么这些展开图都是怎么得到的呢？看到这些展开图我们可以想象当时的裁剪过程？

（设计意图：在学生展示成果的同时，教师可以运用可视化技术，边演示边讲解，来展示学生的思维过程，这样学生就能看到别人当时思维的活动过程，体会思维的多样化，进而反思自己的思维过程。视觉通道＋听觉通道，减少负荷。）

图2-2-1　正方体表面的展开之一展开前侧面

图2-2-2　正方体表面的展开之一展开右侧面

图2-2-3　正方体表面的展开之一展开左侧面

图2-2-4　正方体表面的展开之一展开上底面

图2-2-5　正方体表面的展开之一——结束

师：同学们说得太好了！请同学们现在总结关于正方体展开图的特征，并将它们进行分类（图2-2-6与图2-2-7）。

图2-2-6

图2-2-7

（设计意图：在PPT上总结正方体展开图的特征，并将它们进行分类。有效促进和增强图式的生成，增加相关负载。）

活动三：问题解决，促进深度学习

蚂蚁爬行最短距离问题（图2-2-8）：一只蚂蚁要从正方体的一个顶点A沿正方体表面爬行到点B，怎样爬行才能路线最短？若要从点A爬行到点C，怎样爬行才能路线最短？

图2-2-8

师：老师一边读题目，一边用电子粉笔在题目中圈出“最短”两个字。

（设计意图：多元表征信息进行“信息组块”，促进深度意义学习，降低内在、外在负载。）

用电子粉笔将关键字标出，以降低外在负载，增加有效负载。

生：……（没有强烈反应）

师：如果蚂蚁从点A爬到点B的话，最短路线应该是怎么样的？

生：连接AB，线段AB就是最短路线。

师：那么同学们猜想一下，从A到C的最短路线会是怎么样的呢？

生：……（思考片刻）把这个正方形展开，连接AC可能是一条直线。

师：这是我们的猜想，我们来具体地操作看看……

（设计意图：运用先行组织者策略，改变学生的认知准备状态，降低外在负荷。）

师：拖动点P。（慢慢拖动）

生：观察PA、PC、PA＋PC的长度，观察得到最短距离是2.2361（图2-2-9）。

一只蚂蚁要从正方体的一个顶点A沿正方体表面爬行到点B，怎样爬行才能路线最短？若要从点A爬行到点C，怎样爬行才能路线最短？

｜BC｜＝1.0000　｜PA｜＝1.2885　｜PC｜＝1.0174

｜PA｜＋｜PC｜＝2.3059　　　　　　　　　　拖动点P可以改变爬行路线

显示最短距离上表面返回

图2-2-9

（设计意图：先让学生猜想，再慢慢拖动动点。可视化技术虽然能增强有效负荷，但要缓慢运动，否则增加外在负荷。）

师：我们把上表面展开一下，同学们发现什么了？

生：点P、C、B在一条直线上。

师：我们怎么样可以证明呢？

生：运用勾股定理就可以了。

（设计意图：把推理过程进行可视化，利用计算机软件可与人实时交互的功能实时干预、引导和约束学生推理思想过程，降低外在负荷。）

师：最后我们来思考书本上这个19世纪谜题创作者杜尼登创作的“蜘蛛和苍蝇”问题。

生：这个房间是长方体，只要把长方体进行展开，连接两点的直线就是爬行的最短距离（图2-2-10）。

｜BC｜＝1.0000　｜PA｜＝1.1180　｜PC｜＝1.1180

｜PA｜＋｜PC｜＝2.2361　　　　　　　　　　　拖动点P可以改变爬行路线

结束

图2-2-10

（设计意图：通过解决实际问题，及时将知识进行及时迁移。增加相关负载。）

活动四：课堂小结，主动反思

师：同学们，通过本节课的学习，你们有什么收获？

（学生自主完成，教师评价）

生1：学习了本节课内容之后，日常生活中的有关正方体制作和展开方面的难题就迎刃而解了。

生2：通过本节课的学习，我不仅掌握了知识，而且感受到了集体的力量是巨大的。

生3：我懂得了当遇到难题时，不要胆怯，要积极地动脑、动手、动口去努力寻找解决问题的最佳途径。

参考文献

［1］赵俊峰，申继亮．中学生学习过程中认知负荷的现状［C］．第十一届全国心理学学术会议论文集，2007．

［2］John Sw ller，Cognitive Load During Problem Solving：Effects on Learning［J］．Cognitive Science，1988（12）：257－285．

［3］Graham Cooper．Research into Cognitive Load Theory and Instructional Design at UNS［A］．School of Education Studies［C］．The University of New South Wales，Sydney，Australia．1998：11．

［4］吴先强，韦斯林．国外认知负荷理论与有效教学的研究进展及启示［J］．全球教育展望，2009（2）：28．