生日相同的概率

第四节　生日相同的概率^[4]

一、教材分析

（一）教材地位与作用

概率统计是一门研究不确定性事件的统计规律及数据处理和推断的科学。概率统计的应用极其广泛，正如拉普拉斯所说：“生活中最重要的问题，其中绝大多数在实质上是概率的问题。”自20世纪80年代以来，全球范围把统计和概率的初步知识作为数学基本素养的一部分纳入中小学课程。由于概率统计的规律隐藏在大量的数据背后，结论具有随机性，加大了学生直觉思维和逻辑推理的难度，导致学生在学习概率与统计时经常在概念理解和现象分析中产生错误和偏差。因此教师必须通过寻找切合学生实际的教学内容，运用恰当的教学方式培养学生的随机思想和统计观念，促进学生构建完整的数学知识体系和丰富的数学模型意识以及辩证的数学思维方法。

（二）教学内容分析

笔者执教的北师大版义务教育数学课程把“生日相同的概率”安排在九年级上册继“布丰投针实验”之后，学生对运用实验的方法求复杂随机事件发生的概率已有了亲身体验，本节进一步通过试验估计随机事件发生的概率。教科书选择了贴近学生生活的生日问题，该问题的理论概率大约等于0.97，这一结论可能有违学生的“常识”，因而具有一定的趣味性；同时生日数据随手可得，因而具有较好的可操作性。此外，该问题也便于使用计算器或计算机进行模拟试验的教学。当然，该问题的概率较大，正说明了一些看似巧合的现象实则极为平凡，这也有助于破除迷信，培养学生唯物主义的世界观。

（三）教学重点与难点

重点：通过实验的方法估计一些复杂的随机事件发生的概率，培养学生的随机意识和统计观念。

难点：实验估计随机事件发生的概率的设计和操作过程，体会辩证的数学思维方法。

二、学习者分析

九年级学生已进入形式运算阶段，但辩证逻辑与随机观念还比较缺乏。在概率统计学习中学生习惯于主观判断，用自己的办法统计与计算，不能区分因果事件与随机事件，特别表现在定性或定量地说明机会上。虽然绝大部分九年级的学生能区分必然事件。可能性事件和不可能性事件，但是有的学生以为“不太可能”就是“不可能”，“很有可能”就是“必然”。要纠正学生已形成的某些顽固的错误概念需经历收集数据、统计推断和检验调整自己直觉的过程，使学生在“做数学”中不断完善自己的认知结构。

三、教学目标

知识与技能：能用试验的方法估计一些复杂的随机事件发生的概率。

过程与方法：经历试验、统计等活动过程，在活动中进一步发展学生合作交流的意识和能力。

情感、价值观：体会统计与实验的应用价值，体验辩证的思维方法。

四、教法与学法分析

本节课基于学生对概率的频率定义已有较深入的了解，对概率的实验估计方法已有亲身体验，继续通过调查和实验的方法研究复杂的随机事件发生的概率，目的在于经历数学实践活动验证自己的猜想，纠正错误的概率直觉，加深对概率的实践意义的认识。由于概率统计的教学内容具有一定的抽象性，而概率统计的实践活动是丰富多彩、灵活多样的，教学中应该充分利用网络技术和现代化的教学条件，比如制作概率统计课件，把比较抽象的理论方法形象化，真正做到深入浅出，以利于学生理解随机现象的统计规律性。

苏联数学教育家斯托利亚尔认为，数学教学是关于数学活动的教学。教学中，在某种程度上要反映出数学的创造过程，不仅要教学生证明，还要教学生猜想。因此教师必须引导学生积极主动地参与数据的收集整理和统计分析的全部过程；数学问题情境的设置要贴近学生的生活实际，并逐步上升到数学的抽象概括和知识的联结层面，使学生对概率的错误直觉逐步有个清醒的认识，这样有助于学生树立辩证的数学思维习惯和科学的解决问题意识。学习中学生必须汇总全班同学的数据进行探究活动，通过合作讨论式学习，增强了学生积极向上的参与和交流意识，培养学生合作探究的能力。

五、教学媒体运用

要想获得随机现象的统计规律性，就必须进行大量重复的试验，这在有限的课堂时间内是难以实现的，概率统计教学内容需要采用多媒体辅助手段，通过计算机显示问题情境、数据处理及文字说明、利用Z＋Z智能教育平台动态模拟随机过程等，形成一个全新的图文并茂、数形结合的生动直观的教学环境，从而大大增加课堂教学信息量，提高课堂教学的有效性，促进学生对概率统计的辩证思维获得真正的理解。

六、教学过程设计

（一）创设情境，激趣揭题

1.情境导入

美国历史上至今已有42位总统，其中第11任波尔克和第42任的哈定生日都是11月2日，还有亚当斯、杰斐逊、门罗三位总统都死于4月7日，这是一种历史的巧合，还是很正常的现象呢？让我们从身边的人开始研究吧！

师：请大家猜想大概多少人中就很有可能有2人同一天过生日。

师：400个同学中一定有2个同学的生日相同（可以不同年）吗？300个同学呢？

生：（独立思考后踊跃发表自己的看法）

（通过设置问题情境引入教学，具有趣味性，又激发学生的思考。引导猜想，训练学生的非形式化思维和直觉能力，逐步深入数学正题，前一个问题利用抽屉原理容易发现结论是肯定的，而后一个问题就不能保证了。）

2.激发疑问

师：50个同学中就很可能有2个同学的生日相同，这话正确吗？请与同伴交流。

生：（交流讨论，但结论不敢肯定）

师：如果你们班50个同学中有2个同学的生日相同，那么能说明50个同学中有2个同学生日相同的概率是1吗？如果你们班没有2个同学的生日相同，那么能说明其相应概率是0吗？

生：50个同学有2个同学的生日相同，并不能说明50个同学有2个同学生日相同的概率是1；而50个同学中没有2个同学生日相同，也不能说明其概率为0。

（学生回顾实验概率的意义，对不确定性事件的随机性加以进一步巩固，并激起探究本课题的事件发生的可能性大小的强烈愿望。）

（二）调查实验探究

1.本班现场调查

老师让每个同学在纸条上写下自己的生日（为保密可不记名字），集中起来由两个同学在黑板上按月份归类统计，全班同学观察有无2个同学生日相同。

（在此基础上教师提出：50个同学中就很有可能有2个同学的生日相同，调动学生的探究意识。学生调查本班同学的生日后，可能有2个同学生日相同，也可能没有2个同学生日相同，教学中对于学生的调查结果进行适时的反思与评判，加深学生对实验概率的理解：大数次下，频率稳定于理论概率。学生可以回顾抛硬币的实验。注意：本问题只要有2个同学的生日相同即可，如有3个同学的生日相同，当然也必然有2个同学的生日相同了，后面的几个问题也类似。）

2.结合实践，深入探究生日问题的实验概率

每个同学把课外调查10人的生日写在纸条上，将全班同学的调查数据集中起来，设计一个方案，估计50人中有2人生日相同的概率。

在具体实验中，可以让每个同学所调查的生日随机排列成某一适当形式（如方阵），然后再按照某种规则从中选取50个进行实验，还可以要求学生每次随机地写下自己所调查的一个生日，再汇总，写生日时，为了节约时间，可以进行一定的简化，如可将2月16日记为0216等。

（通过具体收集数据、进行实验、统计结果等过程，进一步丰富学生的活动经验，同时对本节问题有较直观的感知。如果一年以365天计算，那么该问题的理论概率为（1－≈0.97）。但此处只要求学生经历用实验频率估计理论概率的过程，并初步感受到本问题的概率较大，而不要求学生把结果具体近似到哪一位数字。）

（三）随机模拟实验

在以上活动中要求学生随机地写下一个生日，相当于随机写出1～365中的一个自然数代表生日，实际上这就是随机模拟实验。具体的模拟实验可以是摸球模拟实验、计算机或计算器产生随机数进行模拟实验等。例如利用计算机设置随机数1，2，3，…，365代表全班同学生日的所有可能情况，从中随机产生50个看看是否有2个相同（此为一次试验）。每个同学完成20次试验，并算出50个随机数中有2个相同的频率。师生一起汇总全班同学的1000次试验，由此估计50个同学中有2个同学生日相同的概率。教学中还可以利用Z＋Z智能教育平台直观地展示n个人中有2人生日相同的概率（此处图略）。

（由于每个人的生日基本上可看作是随机的，所以可以建立相应的实验概率模型并通过模拟实验来估计这类随机事件发生的概率，这样可以节省调查的时间、人力、财力的花费，而且可以通过增加实验次数以提高频率估计概率的精确度。）

（四）迁移练习，巩固新知

课外调查的10人的生肖分别是什么？他们中有2人的生肖相同吗？利用全班同学的调查数据设计一个方案，估计6个人中有2个人生肖相同的概率。

（本问题与生日问题类似，借助学生课外调查的数据再次进行有关问题的概率估算，锻炼学生对问题情境的数学认知和数学知识的迁移能力。）

（五）课堂总结，自我评价

（1）请你谈一谈本节课通过调查实验求复杂随机事件发生的概率有什么实际意义。

（2）在经历了调查、收集数据和整理统计数据的学习过程，你能否进行合理的估算。

（3）利用计算机或计算器进行模拟实验的主要步骤是什么？

（初中生对于复杂随机事件发生的概率无法通过列表或画树状图来求，又由于尚未介绍分步计数和分类计数原理，无法直接求得理论概率的大小，所以通过实验调查，运用实验频率来估计理论概率是最佳的选择，同时也适合初中生的认知心理发展特点。）

（六）布置作业，反思提炼

1.复习题

你几月份过生日？和同学交流，看看6个同学中是否有2个人同月过生日。开展调查，看看6个人中有2个人同月过生日的概率大约是多少。

（本复习题与生肖问题原理完全一样，旨在继续巩固课堂知识，并运用概念性变式教学加深学生对知识的理解。）

2.拓展题

50个同学中有2个同学的生日相同（可不同年）的可能性与50个同学中有人和你的生日相同（可不同年）的可能性相比较哪个大？请通过实验加以验证。

（“生日问题”也许令人十分困惑：50个人中有2个人生日相同，你也许认为这只是巧合，其实几乎可以肯定至少有2人在同一天生日。这件事情发生的概率，并不是大多数人直觉中想象的那样小，而是相当大。这个问题告诉我们，通常的“直觉”并不可靠，这就有力地说明了研究随机现象统计规律的重要性。“生日问题”的错误直觉源于人们潜意识中把50个人中相互间有2人生日相同直觉成50个人中有人和自己的生日相同，而后一种情况的理论概率仅为1－≈0.13，所以形成“50个人中有2人生日相同”的概率不是很大的错觉。教学中必须通过统计调查或随机模拟实验让学生经历估计和验证随机事件发生概率的过程，逐步建立正确的概率直觉。）