倾斜角与斜率

第六节　倾斜角与斜率^[6]——基于数学核心概念的一则教学设计案例

如何对数学核心概念进行有效教学，如何在核心概念的教学中追寻数学的本质，如何让学生在核心概念的教学中习得数学核心思想，又如何让数学课堂浸润着数学文化呢？课例：“倾斜角与斜率”（人教A版数学必修2）作了一定探索，在某种程度上回答了上述问题。

一、教学预设

课前学习任务设计：课前1分钟左右，大屏幕显示学习任务：“在方格纸上，请同学们描出两点，并向同桌描述所画两点的相对位置”。（学生学习表单任务1）

【评析】　能用合适的数学语言表述数学对象，是数学学习的重要方面。通过数学交流，让学生感悟到坐标系作为沟通代数与几何的桥梁作用，让学生初步体会到坐标法的思想和意义（如：清楚描述方位），使代数定量分析的精确性在几何中得以应用。

课前2秒大屏幕显示名言“我思，故我在”（I think，therefore Iam）。

【评析】　从字面含义强调保持积极思考的重要性，并水到渠成地引出解析几何的创始人笛卡尔及其坐标系。

简略介绍笛卡尔、解析几何及其基本研究方法。以坐标系为桥梁，把几何问题转化为代数问题，通过代数运算研究几何图形性质的方法，叫坐标法。

【评析】　与课前学习任务映照；解析几何具有“方法论”的学科特点，作为起始课，面对“全新”的研究几何问题的方法，让学生大致明确其结构、方向与过程，既是基本思想的教学，也是思维策略的教学。

二、探究新知

（一）引发认知冲突，重新审视直线的“直”的刻画，建构倾斜角的概念

1.动一动

（1）在方格纸上画出一条直线l，思考：你是怎样画出来的？在直角坐标系中如何确定一条直线？

（2）在方格纸上适当建立直角坐标系，你能求出自己所画直线l的方程吗？

【评析】　学生通过操作得到“两点确定一条直线”，并通过坐标系体验直线相对方向；与初中知识联结，一次函数是直线的代数表示吗？一定可以使用待定系数法y＝kx＋b吗？了解解析几何与函数研究的异同点，初步了解坐标法的本质。

2.倾斜角概念的形成过程

问题1．直线的几何特征是什么？也就是说，直线是点的集合，这些点有什么规律？给定直线l上两点P₁，P₂的坐标，你能将直线上所有点的坐标（x，y）满足的关系表示出来吗？

（教师引导学生通过操作确认：直线l上任意两点所确定的直线均为直线l（图2-6-1）。并进一步引导“跳出”这条直线，在这条直线外任选一点，与这条直线上的任意一点画直线，会发现这是两条完全不同的直线。追问：这两条直线的差异在哪里？打开sketch 4．07过点P画出更多的直线，引向直线的倾斜程度（一点和倾斜程度也可以唯一确定一条直线的位置）。问：是相对什么的倾斜程度？可以用什么来表示？教师在sketch 4．07中演示倾斜角。）

图2-6-1

图2-6-2

问题2．如图2-6-2所示，若将图中的角α、β分别称为直线l、直线PQ的倾斜角，结合角的定义，你能给出倾斜角的定义吗？

（教师引导学生归纳倾斜角的概念。通过动态的、静态的方式呈现过同一点的直线的不同位置，使学生直观感受到直线的倾斜程度这一几何特征。结合图形，让学生学会用准确的语言文字表述数学概念，提高抽象概括和反思的能力。教师引导学生结合角的定义（角的顶点、角的始边、角的终边）给出当直线l与x轴相交时的倾斜角概念，然后请学生在学习表单上作出自己所画直线的倾斜角，并量出其大小，期待新发现——作不出倾斜角的学生（若没有，教师在图2-6-3中添加平行于x轴的直线）。完善、精致倾斜角的概念并在sketch 4．07演示中得出倾斜角的范围，感受数学是自然的。）

3.直线倾斜角的概念

在平面直角坐标系中，当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的最小正角α叫做直线l的倾斜角（angle of inclination）；当直线l和x轴平行或重合时，规定直线的倾斜角为0°。

直线倾斜角α的取值范围：0°≤α＜180°。

图2-6-3

图2-6-4

4.直线倾斜角概念的进一步表征与精致

（1）想一想：图2-6-4中的三条直线，它们倾斜角的大小关系是怎样的？

（2）思一思：你认为下列说法正确吗？

①所有的直线都有唯一确定的倾斜角与它对应。

②在同一直角坐标系中，不同的倾斜角对应不同的直线。

③每一个倾斜角都对应于唯一的一条直线。

归纳与小结：倾斜角表示了直线相对于x轴的倾斜程度，而且在同一直角坐标系中，每一条都有唯一的倾斜角与它对应。事实上，直线的“直”就是表现此直线上任意两点的连线均为同条直线，任意两点的连线的倾斜角是同一个角。也就是“两点确定一条直线”，“一点与一个倾斜角也确定一条直线”，它们的实质是一致的。

（二）类比—抽象，探求代数不变量，意义建构斜率概念，淋漓尽致地表现坐标法

1.斜率概念与斜率坐标公式的探求过程

（引导语：倾斜角仍是一个几何量，是直线的几何要素。在直角坐标系中，我们知道，点可以用坐标表示，那么直线的倾斜程度又如何用代数量来表示呢？仍需回答的问题3。）

问题3．倾斜角是直线的几何要素，它与直线上的点有什么关系？直线l上的点的坐标究竟满足怎样的代数关系呢？

（教师采用先行组织者策略，引领学生探求倾斜角的代数化。基于学生的客观现实，结合已有的生活经验寻找几何要素代数化的方法。问：表示倾斜程度的量还有什么？如何表示山坡的陡峭程度？身边的楼梯呢？展示图片（图2-6-5），并分析坡角与坡度的关系。）

图2-6-5

图2-6-6

（引导语：日常生活中的事物，可以给我们许多的灵感，我们可以从整体上看，也可以从一级台阶看。坡角越大，楼梯越陡。“坡角”可类比为直线的倾斜角，“坡度”实际上就是“坡角”正切函数值，“坡度”这个代数值很好地与“坡角”联系在一起了！）

问题4．类比楼梯的倾斜程度的刻画（坡度），你认为除了倾斜角外还可以用怎样的量来刻画直线的倾斜程度？

（教师创设情境，生成数学“再创造”过程。引领学生类比、抽象，探求描述直线的倾斜程度的代数表示，意义建构斜率概念。从实际生活中的事物抽象出几何图形，结合学生的生活体验，非常贴切地引入坡度（斜率）这一不变量。引导学生观察升高量和前进量的变化引起坡度改变的过程得出坡度的计算方法，坡度（比）＝。最后通过抽象类比，引导学生把坡度这个同样用来刻画直线倾斜程度的量与倾斜角联系起来，从而引入“斜率”（比值）这一概念。）

师生活动设计：学生在学习表单上操作，教师在多媒体上操作。（数学“再创造”过程，如图2-6-7所示）

（引导语：同学们的思潮就如春天的河水，流淌到哪里，就滋润到哪里，充满无穷活力。同学们灵感涌动，马上就得到了两个“数”。大胆地猜想，还需小心地论证。既然是比值，又表示倾斜程度，不妨称为斜率。）

图2-6-7

2.斜率概念的归纳、表征与精致

（1）斜率概念的归纳表征。

师生活动设计：

先用不太严密的语言定义直线的斜率：我们把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率（slope）。斜率通常用小写字母k表示，即k＝tanα。

结合倾斜角的范围（与坡角有差异），设问：是否每条直线都有斜率？倾斜角不同，斜率是否相同？由此可以得到怎样结论？引导学生发现不是所有直线都有斜率。

与学生一起回顾正切函数的图解与性质，并在sketch 4．07中演示k与α的关系。让学生总结出斜率与倾斜角之间的变化关系。

（引导学生发现不是所有直线都有斜率。沟通数形关系，归纳、表征斜率概念，加深概念理解。让学生明确可以用斜率表示直线的倾斜程度。）

（2）斜率概念的精致表述。

当直线的倾斜角α≠90°时，倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率（slope），即k＝tanα；

当直线的倾斜角α＝90°时，直线没有斜率（也说斜率不存在）。

师生活动设计：板书归纳以上概念，完善学生认知结构。同时，让学生继续在sketch 4.07中观察k与α的关系。

（让学生主动同化、顺应新概念。通过考察k与α的对应关系，进一步明确可以用斜率表示直线的倾斜程度：斜率表示不垂直x轴的直线相对于x轴的倾斜程度。）

（3）斜率与倾斜角的关系。

当α＝0°时，k＝0；

当0°＜α＜90°时，k＞0，且k随着α的增大而增大；

当90°＜α＜180°时，k＜0，且k随着α的增大而增大。

（让学生通过数形结合掌握k与α的对应关系。掌握了这种对应关系，学生就能熟练地进行倾斜角与斜率间的转换。一方面，这是本节课知识的一个关键点；另一方面，为后面解决直线问题奠定基础。）

图2-6-8

（4）斜率概念的辨析固化。

练一练：如图2-6-9所示，直线l₁，l₂，l₃，l₄的斜率分别为k₁，k₂，k₃，k₄，试确定k₁，k₂，k₃，k₄的大小关系。

图2-6-9

辨一辨：你认为下列说法正确吗？

①直线的倾斜角为α，则直线的斜率为tanα；

②因为平行于y轴的直线的斜率不存在，所以平行于y轴的直线的倾斜角不存在；

③直线斜率的取值范围是（－∞，＋∞）；

④两直线的斜率相等，则它们的倾斜角相等；

⑤直线的倾斜角越大，它的斜率也就越大。

3.斜率坐标公式的讨论与精致

（引导语：直线的斜率是对直线倾斜程度的刻画，在分析倾斜角与斜率的关系中我们体会到了它们的依存关系，倾斜角及斜率都是直线在坐标系中的本质特征。我们在类比“楼梯”中还得到公式tanα＝，是否成立呢？如果成立，那“两点确定一条直线”是不是有了更为本质的依据呢？）

（1）斜率坐标公式的自主探究。

问题5．确定直线的两个条件——点和倾斜角（或斜率）中的点可以用坐标表示，倾斜角已经代数化为斜率。根据我们对楼梯的研究分析得到，坡度（坡角为锐角时）可以进一步坐标化，那么直线的斜率能否坐标化？也就是，两点确定一直线，你能根据直线上两点的坐标求直线的斜率吗？

师生活动设计：

学生根据自己画直线的两点坐标，求所画直线的斜率。确认与tanα的关系。

给定两点P₁（x₁，y1），P（x₂，y2），并且x₁≠x₂，如何计算直线P₁P₂的斜率k。

（结合sketch 4．07中的动画演示，引导学生分类探讨。首先是对于特殊直线，与x轴垂直或平行（重合）的直线进行分析探讨。对于其他直线分类的依据是两点在直线上位置以及直线的倾斜角是锐角还是钝角。所以二级分类共得到如下四种不同的情形。指导思路：先就图2-6-10（a）求解，再变式为图2-6-10（b），比较异同求解；之后就图2-6-10（c）求解，再变式为图2-6-10（d），类比求解。探讨结果：经过两点的直线的斜率公式是tanα＝

图2-6-10

对所得结论，究一究：

①如果直线P₁P₂平行于x轴，或与x轴重合时，上述结论还适用吗？为什么？

②如果直线P₁P₂平行于y轴，或与y轴重合时，上述结论还适用吗？为什么？

③A（a1，b1），B（a2，b2）是倾斜角为60°的直线l上的任意两点，是定值吗？为什么？

④A（a₁，b₁），B（a₂，b₂）是倾斜角为30°的直线l上的任意两点，k＝的值是确定的吗？定值？你对这个结果有何想法？

（让学生进一步“再发现”、“再创造”数学知识，经历数学知识的生长过程。学生有了三角函数和平面几何的知识，完全有能力进行自主探究。培育学生的分类讨论意识与能力，并逐步实践坐标法。从特殊到一般，自主探索，自然地推导出斜率公式，通过公式进一步体会“比值”的含义，并使学生经历通过坐标的代数运算研究直线的几何性质的过程。体会倾斜角与斜率的内在联系，初步感受斜率在沟通数与形上的作用，并深刻理解斜率对直线上点的不变性。）

图2-6-11

（2）斜率坐标公式的整理内化。

梳一梳：直线的倾斜角与斜率。

直线l的倾斜角为α，P₁（x₁，y₁），P（x₂，y₂）是直线上的任意两点（图2-6-11），则

k＝tanα，（α≠90°）　　k＝tanα＝，（x₁≠x₂）

悟一悟：上述计算公式对不垂直x轴的确定直线而言，是一个定值，一个不变量，是反映直线本质特征的一个数量，与直线上两点的选取无关。直线上任两点的坐标均满足这个关系，直线的“直”可以说就是这个的数量的表现，这样，我们就可以用代数的方法“精确”地判定一个点是否在直线上了。斜率将是我们开启直线问题的一把钥匙！

【评析】　优化学生的认知结构，领悟数学的本真。

（三）变式—拓展，活学活用斜率概念，提炼思想方法，优化认知探明数学真谛

例1　如图2-6-12所示，已知A（3，2），B（－4，1），C（0，－1），求直线AB，BC，CA的斜率，并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角。

图2-6-12

分析　直接利用斜率坐标计算公式求解，根据斜率的正负判断倾斜角的范围。

（直接利用斜率坐标公式求解，熟悉斜率公式，并体验斜率与倾斜角之间的关系。学生动笔计算出答案，教师可以进一步引导学生结合倾斜角和斜率的函数关系图，分析倾斜角和斜率的关系。）

变式1．（1）直线的斜率为k，倾斜角为α，若＜α＜，则k的范围是（　　）。

A　　　B．

C　　　D．

（2）直线的斜率为k，倾斜角为α，若－1＜k＜1，则α的范围是（　　）。

A．　　　B．

C．　　　D．

变式2．①在例1中，若点P（m，4）在直线AB上，求m的值；

②在例1中，试判断点Q（8，6）是否在直线CA上。

【评析】　变式1，根据斜率计算公式，结合图像，熟悉倾斜角和斜率的关系；变式2，理解斜率的本质——不变量。

例2　在平面直角坐标系中，画出经过原点且斜率分别为1，－1，2及3的直线l₁，l₂，l₃及l₄。

图2-6-13

分析　因为直线过原点，所以只要再找出另外一点直线就可以确定了。在推导斜率公式时，已经明确斜率k的值与直线上的两点位置无关，因此，由已知直线的斜率画直线时，可以再找一个特殊点（一般向特殊转化），比如可以使其横坐标等于1，给计算带来方便。

【评析】　通过逆向思维，进一步熟练应用两点式斜率公式，加深对本课时所学的基本知识的理解，渗透数形结合思想。

例3　从M（2，2）射出一条光线，经过x轴反射后过点N（－8，3），求反射点P的坐标。

分析　根据物理知识，如图2-6-14所示，由入射角等于反射角得到k_MP＝－k_PN，从而解得P的坐标（－2，0）；也可利用点N、P及点M关于x轴的对称点M＇三点共线获解。

【评析】　数形结合，进一步应用两点式斜率公式，深化对斜率的理解。

图2-6-14

例4　已知0＜α＜，0＜β＜。比较的大小。

图2-6-15

分析　注意到需要比较大小的是三个分式，联想斜率公式，因而只需构造点的坐标即可。如图2-6-15所示，设点A（－1，1），B（1，1），P（cosα，cosα），M（－cosβ，cosβ），则点M在线段OA上，点P在线段OB上，且k_AP＝，k_BM＝k_PM＝由图可知，k_AP＜k_PM＜k_BM，则

【评析】　培育“以数论形、以形助数”的意识与能力，实践坐标法，拓宽斜率知识的应用方面，开阔学生的解题方法视野。

三、课堂小结

在本节课中，你学到了哪些新的概念？它们之间有什么关系？

怎样求出已知两点的直线的斜率？

从倾斜角（形）能刻画直线的倾斜程度，到斜率（数）也能刻画直线的倾斜程度，历经坐标法的应用过程，进行了数学的“再创造”，这个过程中主要体现了什么数学思想？

【评析】　培养学生反思的习惯，鼓励学生对研究的问题进行质疑和概括，学会数学地思维。让学生归纳出刻画直线倾斜程度的两种方法：倾斜角（形）和斜率（数）。利用确定直线的两种方法，归纳出求斜率的两个计算公式。在倾斜角和斜率相互转化的过程中体现了数形结合的数学思想。强调“坐标法”是研究解析几何问题的基本方法。

四、点评

本课例是人教版数学必修2第3章第3.1节“直线的倾斜角与斜率”的第一课时“倾斜角与斜率”，是高中解析几何内容的起始课。其主要内容是：直线的倾斜角、斜率的概念、斜率公式。倾斜角是本课时的重要概念，斜率概念是本课时也是解析几何的核心概念。倾斜角是几何概念，它主要起过渡作用，是联系新旧知识的纽带，研究斜率、直线的平行、垂直的解析表示等问题时都要用这个概念；斜率概念，不仅其建构过程很好地体现了坐标法，而且它在建立直线方程、通过直线方程研究几何问题时也起核心作用。本课例立足双基，注重思维，渗透人文，着力学生发展。主要有以下几个方面的特色。

（一）重视过程教学，关注课堂生成

作为平面解析几何的起始课，从学术形态或知识内容的角度看，这堂课非常简单。落实到知识点上，就是“两个概念一个公式”，即是倾斜角、斜率的概念、过任意两点的直线的斜率公式。但从教育形态来说，进行以核心概念与核心思想为内容的起始课是非常难上的，特别是在引入阶段如何做到“开启全章、奠定基调、渗透方法”，要求体现新课程理念的教材，提出了大量具有思考价值的问题，让学生带着问题学习，尽可能展示知识的发生、发展过程。教材的“确定直线位置的几何要素→倾斜程度→倾斜角→斜率→过任意两点的斜率公式”编排顺序是符合学生的认知规律的。本课例就是按照教材的编排顺序进行课堂教学流程的设计，在教学时重现知识的发生、发展过程。在教学预设与课堂动态生成取得平衡的过程中，让流畅的教学过程成为学生经历几何问题代数化、实践坐标法的过程，也成为学生在教师的指导下进行意义建构斜率概念、实现数学“再创造”的过程。

（二）强化思维参与，实现数学“再创造”

在课堂教学中，创设良好的知识发生情境（如：点从直线移出的情境，又如：楼梯的类比情境等），以好的问题驱动（如：直线的“直”的表现是怎样的？真可谓“形少数时难入微”呀！又如：我们可以从楼梯的坡角与坡度的关系中“类比”出……），运用先行组织者策略，引领学生积极思维、大胆猜想，实践坐标法，在类比、抽象中进行数学的“再创造”，经历数学学会数学地思维，得到思维方法与能力的完善、内化与提升。另外，学生通过自主探求，积极思维，经历数学的“再创造”，感受到“数学是自然的，数学是清楚的，数学是水到渠成的”。整个教学把“冰冷的美丽”的学术形态转化为“火热的思考”的教育形态，用“火热的思考”融化“冰冷的美丽”。课例整个设计是比较合适的，而且容量较大，思维层面很高，解析几何的思想方法也得到很好的体现，这确保了学生的思维参与度，也确保课堂的教学质量和效益。

（三）精致核心概念，凸显核心思想

斜率是本课的核心概念，因为它既从代数角度刻画了倾斜程度，同时也是建立直线方程的基础。本课例不仅要理解两个概念、得到一个公式，更要了解几何问题代数化的过程，渗透解析几何的基本思想方法。在教学活动中始终贯穿：从直线上的点满足的规律引进直线的倾斜角；刻画直线斜率的本质是建立直线方程的过程，淋漓尽致表现坐标法。在两个概念的形成过程中，均采用“归纳—表征—精致—内化”的过程，体现人类的认知规律，在初步表征概念时渗透分类讨论思想，并在概念的内涵与外延的锤炼中，精致与内化数学概念，优化学生的数学认知结构。

（四）强调学生自主，探求知识真谛

作为解析几何的起始课，教学中有必要通过活动，加深学生对直角坐标系的认识，突出“几何问题代数化”的思想。因此，在课前设计了一个活动“在方格纸上，请同学们描出两点，并向同桌描述所画两点的相对位置”，通过数学交流，让学生感悟到坐标系作为沟通代数与几何的桥梁作用，让学生初步体会到坐标法的思想和意义。

（五）立足数学双基，着力能力发展

通过两个概念的形成过程及斜率公式的推导过程，完善了学生的数学认知结构。通过例1及其变式的教学，夯实学生的数学双基；通过例3与例4的教学，更是从不同的侧面体现斜率在沟通数与形上的作用，培养学生“以数论形、以形助数”的意识与能力，开阔学生的解题方法视野，着力能力发展、智慧提升。不仅如此，还为新知识对后续的学习、研究奠定好基础。如：斜率不仅是建立直线方程的基础，也是进一步研究变化率或导数的基础。因此，在斜率概念的形成过程中，十分强调“坡度”是升高量与前进量的比（两增量的比）。又如，寻找“几何中的代数不变量”是本课例的一条清晰的主线，事实上，“几何中的代数不变量”是解析几何的核心要素。

（六）渗透数学文化，丰满学生人格

数学是文化已是共识，在课堂教学中如何渗透数学文化是一个正在实践的重要课题。尽管在选修课中将专门开设《数学史选讲》，但在平时的教学过程中适度地介绍一些数学史是有益的，也是非常必要的。“坐标法为几何插上了腾飞的翅膀”，解析几何是有“方法论”特征的一门学科。作为起始课，面对“全新”的研究几何问题的方法，让学生大致明确其结构、方向与过程，既是基本思想的教学，也是思维策略的教学。因此，本课对“笛卡尔与坐标法”作了适度的介绍。同时，在教学中也充分体现了对学生的人文关怀。

最后，值得指出的是，站在人的发展与课程相融的高度，凸显数学的核心概念与核心思想，引领学生进行数学的“再创造”，是此课例的一次尝试。当然，此教学的容量较大，进行课堂教学时，必须监控好课堂的生成，掌控好教学的时间。对于学习程度不是很好的班级，引入部分应适度删减，同时可以把例2与例3移至第二课时处理。