不等式的性质

第二节　不等式的性质^[2]

2009年10月30日，浙江省“百人千场”送教下乡活动在衢州市常山县三衢中学举行。此次活动特邀浙江省教坛新秀、浙江上虞外国语学校李福军老师执教“不等式的性质”（范良火主编：《数学》，浙江教育出版社，2006；八年级上册第五章第二节第一课时）。李老师以学生的争辩创设情境，以学生原有的知识生长点作为教学突破口，通过类比，并让学生展开讨论，逐步深入，练习题设计体现了多层次，让不同基础的学生都参与了教学，并使不同的学生得到不同的收获，在师生互动和生生互动中实现了学生数学知识的动态生成，很好地体现了浙江省《初中学科教学建议》所倡导的让学生“想学、能学、会学”。

一、教学过程简录

（一）创设情境，引入课题

请你做法官（播放音频并用PPT展示）：

小A：我的年纪比你大，你以后应该叫我一声哥。

小B：哼！看把你给得意的，现在你是比我大一点，说不定3年后，或者是10年后，我的年纪会超过你呢？

小A：下辈子吧，不要说是10年以后，哪怕是n年以后，这年纪你是永远也跟不上我了……

小B：那不见得吧。

……

师：真的是“那不见得吗”？你认为呢？

生：（很是兴奋）小A有道理。

师：为什么呢？你能借助数学的方法加以说明吗？

生：可设小A年纪为a，小B年纪为b，则a＞b，只需判断a＋3与b＋3和a＋10与b＋10的大小。

师：（PPT展示过程中的式子）这就是今天要共同探讨的——不等式的性质。

（二）复习旧知，引发类比

师：下列结论成立吗？

（1）如果a＝b，b＝c，那么a＝c

（2）如果a＝b，那么a＋1＝b＋1

（3）如果a＝b，那么3a＝3b；a÷2＝b÷2

生1：（1）、（2）、（3）式都成立。

师：我们把第一条性质称为等式具有可传递性，你能用文字把等式（2）、（3）的两条性质来叙述吗？

生2：叙述等式可加减性。

生3：叙述等式可乘除性。

师：（将等式性质列表展示）那么不等式是否也有类似的性质呢？

（三）运用类比，探索新知

师：如果将（1）式中的“＝”都换成“＜”，结论还会成立吗？即：如果a＜b，b＜c，那么a＜c成立吗？你能在现实生活中找出类似的事例吗？请同桌相互讨论后作答。

生1：大象比老虎重，老虎比狗重，那么大象也比狗重。

生2：爷爷年纪比爸爸大，爸爸年纪比我大，所以爷爷年纪比我大。

生3：我比同桌高，同桌比旁边的同学高，所以我比同桌旁边的同学高。

……

师：大家都能结合身边的事例来说明，分别从重量、身高和年纪来说明，老师也准备了一些生活中的例子。（展示1：天平比较重量；展示2：军训列队照片；展示3：军棋的游戏规则）确实现实生活中的好多事例都能说明不等式具有可传递性。当然，我们也可借助数轴来说明。

师：（画数轴）数轴是一种很重要的工具，在不等式这一章中要多次用到，即可将不等式的数与数轴的形结合起来。（将结果归纳，列入对比的表格中）

（四）继续探究，实现迁移

师：如果a＜b，那么a＋c＜b＋c成立吗？

练习：先在横线上填上适当的不等号并观察，再验证你的猜想。

　　　3＜5　　　　　　　　　　　7＞4

3＋2_______5＋2　　　7＋（－3）_______4＋（－3）

3－2_______5－2　　　7－（－3）_______4－（－3）

上述不等式中你能发现什么规律？

生1：如果a＞b，那么a＋c＞b＋c，a－c＞b－c。如果a＜b，那么a＋c＜b＋c，a－c＜b－c。

生2：不等式也具有可加减性

师：你能在现实生活中找到类似的事例吗？请同桌相互交流。

生1：我的苹果比同桌多，现在再分别给我们2个，我手上的苹果还是比同桌多。

生2：爸爸年纪比我大，不管是多少年后，他的年纪始终要比我大。

……

师：很好，我们不光举出了一些例子，还把上课开始时的争论问题都解决了。

师：（画数轴）不等式这一性质也可以在数轴上表示，这过程像初一时学过的哪种变形？

生：类似于初一学过的平移变换。

通过表格的对比列出不等式基本性质2。

初级阶段（趁热打铁）：直接用性质判断

练习：请用适当的不等号填空：

（1）因为0_____1

所以a___a＋1（不等式的基本性质2）

（2）因为（a－1）²_______0

所以（a－1）²－2__－2（不等式基本性质2）

（3）如果a≥b，b≥c

那么a___c（不等式基本性质1）

变式：如果a≥b，b＞c

那么a___c（不等式基本性质1）

再将变式中的不等号用其他不等号替换，再进行一系列变式训练。

（五）层层推进，深入探究

师：如果a＜b，那么ac＜bc成立吗？a÷c＜b÷c也成立吗？请展开合作探究：

合作探究

1．猜测：如果a＜b，那么ac＜bc成立吗？_______

a÷c＜b÷c也成立吗？_______

2．探究：

（1）请用适当的不等号填空，再思考

　　8__12　　　　　　　　　　－4__－6

8×4＿12×4　　　　　　　－4×2__－6×2

8÷4＿12÷4　　　　　　　－4÷2__－6÷2

思考：如果a＜b，那么2a＜2b成立吗？

（2）请用适当的不等号填空，再思考

　　　2__4　　　　　　　　　　　　　　－3__－6

2×（－2）___4×（－2）　　　－3×（－3）___－6×（－3）

2÷（－2）___4÷（－2）　　　－3÷（－3）___－6÷（－3）

3．思考：

（1）如果a＜b，那么－2a＜－2b成立吗？

（2）如果a＜b，要使ac＜bc成立，应补充什么条件？_________（

3）如果a＜b，且c＜0，那么ac___bc．

4．交流：反思你原来的猜测，并跟同桌交流你现在的观点？

在学生完成填空独立思考并进行相互交流后：

生1：一开始我猜测是成立的，但后来发现不对了。

生2：如果a＜b，要使ac＜bc成立，必须要补充c＞0这一条件。

生3：如果a＜b，且c＜0，那么ac＞bc。

生4：分两种情况叙述了不等式的性质3。

师：（展示对比的表格）从上面探究，你认为能否把等式的可乘除性直接推广到不等式？

生1：不可以，只有当c＞0时可以直接推广。

生2：当c＜0时，需要改变不等号的方向。

（六）巩固知识，学以致用

第一层次（小试身手）

已知a＞b，请你用不等号填空：

（1）a－3____b－3　　　　（2）－0.3a___－0.3b　　　（3）

（4）b÷3____a÷3　　　（5）2a___a＋b

师：在肯定学生小试身手环节的表现后，对（4）（5）两题进行再说明。

第二层次（火眼金睛）

判断题：

若a＞b成立，那么ac＞bc也成立。　　　　　　　　　　　　（　　）

若a＞b成立，那么ac2＞bc2也成立。　　　　　　　　　　　（　　）

若a＞b成立，那么a（1＋c2）＞b（1＋c2）也成立。　　　　（　　）

若ac2＞bc2成立，那么a＞b也成立。　　　　　　　　　　　（　　）

第三层次（融会贯通）

例题：已知s＞t，请你比较2－3s与2－3t的大小，并说明理由。

（教师板书并讲解后让学生板演）练习：已知x≤y，试比较下列各式的大小，并说明理由。

（1）2x＋1与2y＋1　　　　　（2）1－与1

第四层次（灵活应用）

一题多解：若a＜0，比较a与2a的大小。

师：由a＜0变形为a___2a，左右两边进行了怎样的变换？

生：相当于两边各加了a。

师：（完成板书后）如果从结论a___2a出发，发现这式子两边都有哪个部分是公共的？

生：都有字母a。

师：如果两边都除以a，式子将有何变化？

生：1__2。

师：从这一过程你能得出新的证明方法吗？

师生共同完成新的证法。

师：继续介绍用数轴的方法来比较。

第五层次（触类旁通）

例题另解：因为2a－a＝a　　又因为a＜0

所以2a－a＜0　　①

所以2a－a＋a＜0＋a（不等式基本性质2）

即2a＜a　　②

师：比较①、②两式，如果将①式直接变形成②式，这类似于解方程中的哪种变形？

在不等式中是否也可以进行类似的变形呢？

生：类似于解方程中的移项，不等式变形中应该也可以吧？

师：很好，在不等式能否进行类似的移项，那要下节课再讲。

第六层次（请你出题）

你能根据不等式x＞1变形出一组新的不等式吗？

要求：能说出变形得到的不等式成立的理由；变形得到的不等式在类型上要求不能重复；尽可能多地用到不等式的性质。

（七）梳理总结，完善结构

（略）

二、点评

（一）类比思想贯穿始终

美籍数学家波利亚在其名著《数学与猜想——数学中的归纳和类比》中提出：类比似乎在一切发现中都有作用，而且在某些发现中有它最大的作用。同时还特意引用开普勒的名言“我珍视类比胜于任何别的东西，它是我最可信赖的老师，它能提示自然界的秘密……”这是第二章的引入语，由此可见类比思想在数学中是非常重要的。在本节课堂教学中，通过对整式性质的回顾，再对不等式的性质进行逐条类比，并通过猜测、验证、探究、思考、交流等环节，让类比思想贯穿始终。同时通过类比将等式的知识很好地正迁移到不等式，对有可能造成干扰的负迁移，也通过学生间的合作探究、相互交流、析误比较及不同层次的练习加以纠正和强化，既强化了类比思想，又促成了知识的正迁移，并通过类比、概括、比较，将新知识很好地纳入原有认知结构中去。

（二）教学设计匠心独具

综观整个教学设计，可谓设计紧凑，层层深入。引入部分，以学生的争论开始，既把握住数学本质，又深深地吸引住学生；不等式的每个性质的得出又通过等式性质的类比展开；练习的选择又是以学生的知识生长为依据，层次分明，层层深入，让不同的学生都有收获；合作探究部分设计较为精致，先让学生猜测，再让学生验证、探究、思考、交流，而且问题设计得较为合理，既能让学生很容易上手，又会让学生产生强烈的认知冲突；而“触类旁通”和“请你出题”环节既使本节课有很大的开放性，又为以后新知的学习打下伏笔。整个过程贯穿“类比思想”、“数形结合思想”的渗透，同时也非常注重“数学生活化”思想。

（三）现代教学媒体和数学教学的有机整合

整堂课中，现代媒体的教学辅助功能得到了很好的体现。无论是引入部分学生争论的音频播放及对话文字的同步播出，还是现实生活中不等式传递性例子的图片展示，特别是贯穿始终的等式与不等式性质的列表对比，更是体现了多媒体无可替代的大容量和直观性。而“合作探究”又通过合作题的纸质发放，能让学生进行独立思考，使传统的教学方式也有用武之地。当然，最出彩部分是“请你出题”，教师先进行观察，选择有代表性的答案进行投影，再投影事先准备好的几种情况，让学生进行辨析；特别是不等式性质的混合应用，经过教师提示后，学生还未能完成时，教师又能以事先准备好的答案放入，确保学生知识生成的更为全面，使教学效果更好，实现了课堂中教学预设和生成的有机整合。