等腰三角形中的分类问题

第三节　等腰三角形中的分类问题^[3]

2012年11月8日，浙江师范大学组织的浙江省“百人千场”送教下乡活动在浙江省三门县亭旁中学举行。此次活动特邀浙江省杭州市三墩中学王利庆老师执教“等腰三角形中的分类问题”（范良火主编：《数学》，浙江教育出版社，2006；八年级上册）。这是一节复习课，如何有效地梳理、应用、复习巩固等腰三角形的性质和判断，王老师在教学设计过程中，以渗透分类思想和方程思想为主线，与学生共同探究、归纳出等腰三角形中常见的三种分类情况的解决办法，从而让学生不仅能清晰地建构出了这类问题的解决策略，而且有效地实现了学生学习方式的转变。

一、教学过程简录

（一）热身练习，引出课题

师：“引言：数学思想是数学知识的灵魂，是形成数学能力、意识的桥梁。”今天我为大家作引领，一起来感受数学思想的魅力！先请同学们完成热身练习。（教师多媒体呈现，学生完成在学案纸上）

（1）已知等腰三角形的腰长为3，底边长为4，则它的周长等于_________。

（2）已知等腰三角形的两边长分别为3和4，则它的周长是_________。

（3）已知等腰三角形的两边长分别为2和4，则它的周长是_________。

生1：周长是10。

生2：周长是10或11，因为两边没有具体明确是底边还是腰长，所以要分类讨论，有3＋3＋4＝10，或4＋4＋3＝11。

生3：周长是10，因为2为腰时，2＋2＝4，不能构成三角形。

师：从这个问题的解决中，我们得到了什么结论？

生4：当等腰三角形的边不明确时，要分类讨论，分为底边和腰长，同时要考虑“三角形两边之和大于第三边”。（教师板书）

（4）已知等腰三角形的一个底角为80°，则其顶角为____________。

（5）已知等腰三角形的一个内角为80°，则其顶角为___________。

（6）已知等腰三角形的一个内角为100°，则其顶角为___________。

生5：其顶角是20°。

生6：其顶角是20°或80°，因为当这个内角是底角时，顶角为20°，当这个内角就是顶角时，是80°。

生7：顶角是100°，因为它为底角时，100°＋100°大于180°，不能构成三角形。

师：从这个问题的解决中，我们得到了什么结论？

生7：当等腰三角形的角不明确时，要分类讨论，分为底角和顶角，同时要满足“三角形内角和为180°”。（教师板书）

师：今天我们将一起继续对等腰三角形的分类问题作深入地探讨。（板书课题）

（二）师生活动，探究解法

例1　如图3-3-1所示，△ABC≌△AEF，∠ABC＝30°，∠BAE＝α，AE和BC交于点D．

图3-3-1

（1）△ABE是_________________三角形；

（2）用α表示△BDE的三个内角；

（3）当△BDE是等腰三角形时，求∠α的值。

生8：△ABE是等腰三角形。（理由略）

生9：（学生答，老师板书，理由略）

∠DEB＝（180°－α）＝90°－α；

∠EDB＝α＋30°，∠EBD＝90°－α－30°＝60°－α。

生10：∠EBD＝180°－（90°－α＋30°＋α）＝60°－α。

师：正确。现讨论（2）问，△BDE的三个内角已经找到了和α的关系，它是等腰三角形，但谁做底角不明确，所以要分类讨论，有三种情况，是哪三种呢？

生11：∠DEB＝∠EBD；∠EBD＝∠EDB；∠DEB＝∠EDB。

师：三种情况回答正确，接下来我们该如何求α呢？

生12：把用α表示的角代入，解方程即可。（解答在学案纸上，用投影机呈现）

生12：当∠DEB＝∠EBD时，即90°－α＝60°－α，所以无解，这种情况不存在。（教师结合图说明为什么不存在）

当∠EBD＝∠EDB时，即60°－α＝α＋30°，α＝20°；

当∠DEB＝∠EDB时，即90°－α＝α＋30°，α＝40°。

所以当α＝40°或α＝20°时，△BDE是等腰三角形。

师：（链接几何画板，展示结果）这位同学对分类讨论问题的书写格式写得很规范，每种情况分别求解，最后对结论进行小结。同学们今后书写时也要特别注意。

师：我们来一起回顾这个问题的解决过程，首先对角进行了分类讨论，运用了分类思想；其次，把三角形的内角用α表示，将复杂数量关系用α统一起来，这里用到了方程思想。注意分类问题的书写格式。

师：请同学们运用今天所学的方法，试着解决下面的问题。

生13：（我试试）等腰三角形的三边长为2x－1，x＋3，15，求它的三边长。

当2x－1＝x＋3时，x＝4，此时三边分别为7，7，15，因为7＋7＜15，所以不能构成三角形，舍去；当2x－1＝15时，x＝8，此时三边分别为15，15，11，满足；当x＋3＝15时，x＝12，此时三边分别为23，15，15，满足。（解答在学案纸上，用投影机呈现）

师：这位同学书写规范、分类完整，非常好。这个问题对边再进行分类讨论。也运用了分类讨论的思想和方程思想。老师在巡视的时候发现有的同学只求出了x的值而没计算边长，请同学们注意审题，看清题目要求。

图3-3-2

例2　如图3-3-2所示，等腰三角形一腰上的高与另一腰所成的夹角为40°，则这个等腰三角形的顶角是_______度。

生（众）：顶角是50°。

师：现在，我改变问题中的某些条件，同学们仔细观察。（操作）

变式1：等腰三角形一腰上的高与另一腰所成的夹角为40°，则这个等腰三角形的顶角是_______________度。

师：少了什么条件。

生（众）：（没图了）

师：这时候，顶角将是几度呢？没有了图，解决这个问题要分类吗？怎么分类呢？

生14：（上黑板画出图3-3-3与图3-3-4）

图3-3-3　此时顶角是50°

图3-3-4　此时顶角是130°

师：这位同学回答正确、分类全面，图形不确定时，要将等腰三角形分成等腰锐角三角形和等腰钝角三角形。（教师板书）

师：等腰直角三角形这里可能吗？

生15：不可能，因为此时腰和高的夹角是0°。

师：继续改变问题中的某些条件，把另一腰换成了另一边：（呈现问题）

变式2：等腰三角形一腰上的高与另一边所成的夹角为40°，则这个等腰三角形的顶角是_____________度。

生16：因为是另一边，所以可以是腰长或者底边，又因为图形没给定，因此要分等腰锐角三角形和等腰钝角三角形，因此除了图3-3-3、图3-3-4两种情况以外，还有以下两种。（上黑板展示图3-3-5与图3-3-6）

图3-3-5　此时顶角是80°

图3-3-6　这种情况不存在

师：这位同学回答非常全面。答题时，审题要仔细，正确分类，分类时不能漏解、重解。

师：我们已经解决了等腰三角形边、角及图形不明确时是如何分类的，现在请同学们试着解决下面的问题。

图3-3-7

（我找找）如图3-3-7所示，用尺规在直线l上找出所有的点P，使其为等腰三角形。

师：它要分类吗？已知的是一条边，是否考虑按边分类呢？请同学们以小组形式，一起讨论，找出所有的点。

生17：以A为圆心、AB为半径作圆，交直线于点P₃，P₂；以B为圆心、AB为半径作圆，交直线于点P₄；作AB的中垂线，交直线于点P₁，所以一共有4个交点。（展示学生作的图3-3-8）

师：这是一个作图题，但本质是边不确定，按边分类。这位同学的作图和思考完全正确。（板书）（用几何画板再给学生展示了一次）

图3-3-8

师：同学们和这条直线的交点问题已经解决了，现在请同学们来看坐标系下的问题。

（我运用）在直角坐标系中（图3-3-9），O为坐标原点，A（1，1），在坐标轴上确定一点P，使△AOP为等腰三角形，则符合条件的点P共有____________个。试着写出这些点的坐标。

图3-3-9

答案：8个。分别是（，0），（－，0），（0，），（0，－），（2，0），（0，2），（0，1），（1，0）。

（三）小结全课，拓展提高

若点A在直线l上的运动（图3-3-7），满足△ABP是等腰三角形P点个数一直不变吗？如果会发生变化，请分别指出当∠BAD（∠BAD≤90°）是几度时，满足条件的P点有几个？（过程略）（答案：当∠BAD＝60°时，这样的P点有3个；当∠BAD＝90°时，这样的P点有2个；当∠BAD≠60°且∠BAD≠90°时，这样的P点有4个）

小结归纳，提升理念：（师生共同完成）

（1）等腰三角形的性质及判定；

（2）分类思想：边、角、形状（进行分类探究，注意解的个数）；

（3）方程思想：题目中的数量关系较复杂，给进一步的分析带来困难，为了更好地表示一些条件，采取设未知数列方程的方法。

师：日本著名的教育家米山国藏指出：“作为知识的数学出校门不到两年可能就忘了，唯有深深铭记在头脑中的是数学的精神、数学的思想、数学的研究方法等，这些随时随地发生作用，使人们终生受益。”

二、点评与思考

（一）复习课贵在主题明确，学生积极参与

复习课怎么上？是基础知识的简单罗列？还是例题解法的展示？这样的复习课，很难成为有效的复习课。因为知识点的简单罗列，容易给学生厌倦感，而例题的解法呈现，又易让学生无所适从，并使许多学生停留在问题解决本身的认知层面上。因此，数学复习课到底该如何上才可以有效地避免常见的上述弊端，关键在于复习主题的确定，使它既能把学过的知识综合起来，抓住知识之间的“衔接点”，从而实现学生数学知识的整合。具体针对这节课的设计，王老师以“等腰三角形中的分类问题”为主题，以分类思想和方程思想的应用为主线，对等腰三角形的边、角及形状的分类讨论等逐一展开，通过对问题解法的探究、归纳、总结、拓展，让学生归纳出了等腰三角形中分类问题的常见类型，掌握了相应类型问题的解决策略，有效地实现了数学新课程倡导的学生学习方式的转变。

（二）复习课贵在对学生进行数学思想方法的渗透

数学解题教学的经验告诉我们，学生在解题过程中可能百思不得其解，尔后又可能突然顿悟，此时的思维具有很大的直觉性，可能估计不到对自己的思维过程进行分析、整理。事实上，有效的解题方法，体现了很重要的数学思想，它对解决同类问题、拓展思路、提高解题决策能力是十分重要的。要教会学生从正确的解题思路中总结方法，提高对解题的理解，最终形成学生自身的数学思维能力。

在本节课中，王老师每探究完一种类型问题的解决方法后，都会请同学们归纳解决问题的一般方法，并板书；并对分类讨论问题的书写格式进行规范的演示，便于学生模仿、思考，养成严谨、有条理的思维习惯。这些具体教学细节，充分体现了教师对“四基”中基本思想方法教学的深刻理解，注重对学生进行“四基”的训练，有效地提升了学生的数学素养。

（三）复习课贵在把“说”的机会充分地还给学生

数学新课程倡导学生的数学学习活动应当是一个生动活泼的、主动的和富有个性的过程，在这一学习过程中，既要使学生成为学习的真正主人，又要有效地发挥教师的主导作用。在本节课的教学过程中，王老师围绕等腰三角形中的分类问题解法，师生共同展开探究。在整个教学过程中，更多的是学生生动活泼的自主思考、探索和展示，学生能自己独立解决的、能表达的、能展示的内容，教师给学生平台，把“说”的机会充分地还给学生。事实上，对于复习课，特别是对初中数学习题课的教学过程中，由于知识点都是学生已知的内容，学生能自主探求的空间更广，学生能“说”的内容也就更多。而教师的主导作用，则体现在“与时俱进”地诱导、点拨和小结。教师的“说”，要说到了关键之处：解题过程中，学生有疑惑之处，及时启发；解题之后，及时和学生一起反思，对问题的条件、问题的结论、解题方法进行了深入地剖析和小结，并及时板演、呈现。这样的教学才能使课堂既是师生教与学的共同场所，更是师生和文本之间对话、交流的生态园地；才能切实提高学生的数学思维水平，发展学生的数学思维能力。