轴对称图形

第五节　轴对称图形^[5]

“轴对称图形”是张维忠教授在浙江省金华市南苑中学开展的“基于数学文化的中学数学教学模式构建与实践”行动研究中的一个典型案例，原载《中学数学教学参考（初中）》2007第10期，中国人民大学复印报刊资料《中学数学教与学（初中）》2007年第12期作了全文转载。下面是吴伟英老师的上课实录。

一、教学过程简录

（一）创设情境，激发兴趣

师：今天老师带来了一首歌《唱脸谱》，让我们一起唱这首歌。

师：在Flash动画中同学们观察到了什么？

生：脸谱。

师：脸谱是指中国传统戏剧里男演员脸部的彩色化妆，这种脸部化妆主要用于净（花脸）和丑（小丑），它在形式、色彩和类型上有一定的格式。内行的观众从脸谱上就可以分辨出人物是英雄还是小人，是聪明还是愚蠢，是受人爱戴还是使人厌恶。它通过夸张和变形的图形来展示人物的性格特征。

刚才在动画中出现了很多人物的脸谱，同学们还记得哪些？

（出现Flash动画中的三个脸谱）

生：黄盖、张飞、典韦。

师：你对他们了解吗？

【评析】　从学生感兴趣的事物着手，激发学生认识新知识的愿望，并把数学教学和相关历史文化相结合，使枯燥乏味的数学教学显得形象生动。

（二）“识”对称，悟特征

1.给出轴对称图形的定义

师：如果把三个脸谱看作是平面图形，聪明的你一定能找到这些图形的共同特征。

【评析】　引导学生进行观察、比较、概括、抽象出这类平面图形的特点：对折左右两边都相同，左右两边形状是一样的，面积也是一样的，把它叠在一起，会重合。

师：像这种沿着某条直线对折后，能完全重合的图形称为轴对称图形。

（课件演示对折，出示轴对称的概念，让学生一起朗读）

2.寻找生活中的轴对称图形

师：在日常生活中，这样沿某条直线对折后能重合的图形有吗？

生：有。

师：说说我们生活中有哪些轴对称图形？

生：窗户，黑板，剪纸……

生：人体。

师：人体也是轴对称图形。用我们的身体可以摆出许多优美的姿势，比如芭蕾舞的手位，很多都可以看成轴对称图形。用你的身体摆出一个轴对称图形，看谁又快又美。

（学生摆出了各式各样的姿势，从学生兴趣着手，激发了学生学习的积极性）

师：在我们日常生活中小到一只蜜蜂，一片树叶，大到整个山川河流，无不体现了对称带来的美。今天就让我们一起走进生活，走近数学，来探讨轴对称图形的有关知识。

【评析】　通过认识生活中的轴对称现象，感受大自然对称的美妙与神奇，并进一步拓展了学生的视野，受到美的洗礼。感受数学来源于生活，在日常生活中数学无处不在。

（出示本课标题：2.1轴对称图形）

3.总结生活中的轴对称图形的判断方法

师：怎样判断它是不是轴对称图形呢？下列图片中哪些是轴对称图形？你是怎么判断的？（出示图片：蝴蝶、英国国旗、铃木汽车标志、飞机、工商银行标志）

4.归纳抽象几何图形的轴对称判别方法

师：这些是我们生活中常见的图案。其实在我们数学中有许多几何图形也是轴对称图形。判断一下下列哪些是轴对称图形？（出示线段、角、等腰三角形、长方形、正方形、圆、平行四边形）

（先让学生拿出已准备好的图形，折一折看能否重合）

【评析】　通过学生动手对折，加深了学生对轴对称图形概念的认识，也突破了平行四边形不是轴对称图形的难点。这次动手操作是让学生在原有的认识基础上，进入体会和归纳的层面，是一次体会运用的过程。而且从具体的实物图案到抽象出来的熟悉的几何图形，过渡自然。

画等腰三角形的对称轴，强调对称轴是一条直线（图3-5-1）。

【评析】　深入认识对称轴，体会“对称轴是折痕所在的直线”这一内涵，并再次感受轴对称图形的特征。

5.从轴对称到点对称

提问（图3-5-1）：（1）找出点C的对称点；（2）你从图3-5-1中还可以得到哪些结论。

生：点C的对称点是点B。

生：还可以得到BD＝CD。

生：还有AB＝AC。

生：∠ADB＝∠ADC＝90°。

生：△ADB≌△ADC。

生：直线AD是边BC的中垂线。

师：对称点与对称轴有什么样的关系呢？

生：对称轴垂直平分连接两个对称点的线段。

图3-5-1

【评析】　本题的设置从轴对称概念出发，到对称点的判断，最后归纳出轴对称图形的性质、思路清晰自然。通过已有的全等知识生成新的知识，符合了知识形成由已知到未知的一般规律；符合学生学习新知的规律。

图3-5-2

6.如何做出图形的对称轴

师：刚才我们从对折画出了图形的对称轴，如果把图形画在黑板上，将不能对折，你有什么办法画出它的对称轴吗？四人小组讨论一下，该如何作如图3-5-2所示的长方形的对称轴？有哪些方法？看哪个小组最快，方法最多。

生：画线段AD的中垂线。

师：为什么是这条线段？还可以是哪条线段？这么画的理由是什么？

生：对称轴垂直平分连接两个对称点的线段。

师：还有其他办法吗？

生：线段AD的中点。

师：过一点可以做多少条直线？怎么补充？几点可以确定一条直线？

生：找两条线段AD和BC的中点，过两个中点做直线。

师：还有吗？

生：对角线的交点，过交点做线段BC的垂线……

师：小结作对称轴常用的两种方法：

（1）找一组对称点→画对称点连线→作连线的中垂线。

（2）找两组对称点→分别取两组对称点连线的中点→过两中点做直线。

【评析】　通过学生的小组合作、自主探究，得出画对称轴的多种方法，既培养了学生积极主动的学习态度，又促进了学生观察、分析、概括、探究等能力的提高。同时让学生积累了解决数学问题的经验。

7.尝试自己做出对称图形

回到脸谱，画出其中一个脸谱的对称轴，补全一个只有半边图形的脸谱。

【评析】　从数学图形中抽象出普遍存在的数学知识，进而拓展到日常生活中，体现数学来源与生活，应用于生活。

（三）“赏”对称，扩视野

1.建筑中的对称

师：利用轴对称设计不仅美观而且提高效率，在日常生活中有广泛运用。比如在建筑物上我们就可以看到很多对称。（出现埃菲尔铁塔、泰姬陵、东方明珠、天坛、天安门、学校的逸夫教学楼，边出示图片边介绍建筑物的有关知识）

2.剪纸中的对称

师：在中国的传统文化——剪纸中也蕴含着许多的对称。（一边展示剪纸作品一边介绍剪纸的有关知识）

师：剪纸是中国最流行的民间艺术之一。自汉、唐时代起，千百年来深受人们的喜爱。因为大多是贴在窗户上的，所以也称为“窗花”。当节日来临时，家家户户都贴上窗花，不仅烘托了喜庆的节日气氛，又为人们带来了美的享受，集装饰性、欣赏性和实用性于一体。它还以其特有的概括和夸张手法将吉事祥物的美好愿望表现得淋漓尽致，将节日装点得红红火火。而许多精美的剪纸作品的制作都巧妙地利用了图形的轴对称。今天我们就一起来感受一下剪纸的美妙。

师：用你灵巧的双手剪出一个轴对称图形，看谁又快又美。（让学生动手剪，并展示剪纸作品）

师：请同学们把作品贴在黑板上，然后写上一句诙谐的话，表示所要表达的意愿。

【评析】　如果说上次的动手操作是体会运用所学的知识，那么这一次的动手操作就是让学生体会运用我们所学的知识来进行创造——自己制作出美丽的轴对称图形。

3.思考如何寻找对称点

师：如何在剪纸上找一已知点A的对称点？

生：过点A作对称轴的垂线，垂足为O，然后在垂线上取一点B，使OA＝OB。

师：非常棒。依据是什么呢？

生：对称轴垂直平分连接两个对称点连接的线段。

师：那如果就在平面上的一点C要做关于直线L的对称点，你能做吗？这个问题我们留到下节课再来探讨。（为下节课的学习埋下了伏笔）

4.广泛存在的对称

师：其实轴对称的知识不仅在生活中应用广泛，在我们学习中也是广泛存在的。如文学中的对仗，物理学中的“宇称不守恒”定理……

（四）知识回顾

（1）这节课——

我学会了……

我发现了生活中……

使我感触最深的是……

我感到最困难的是……

……

（2）如果世界没有对称会怎样？

我想我将……

……

二、点评

数学新课程将数学教学目标分为三个维度：知识与技能、过程与方法、情感态度与价值观。过去数学教学对知识与技能关注较多，也注意到了过程与方法，但大多忽略了对学生情感态度与价值观的培养。本课例中教师在充分落实知识与技能这一目标的前提下，注意到了过程与方法，并特别关注了对学生数学情感态度与价值观的培养。如教师对于初一年级的学生仍介于小学生与中学生的过渡阶段这一特点把握得较好，用不断设问的方式以及展示众多相关图片激发学生的学习兴趣和参与热情，从而打开了学生思维的闸门，将学生的视野从具体的图形对称抽象到了几何中的轴对称，最终又回归到生活中来让学生搜寻对称的实例，在这个从具体到抽象又最终应用于具体的过程中，学生对图形对称性的认识逐步完善。

这节课还充分展现了数学与历史文化之间的联系，使枯燥乏味的数学教学显得生动形象，同时也让学生了解到了许多中国传统艺术，如脸谱、剪纸等，感受到了中国传统文化的博大精深。事实上，教师从课堂引入初始就用一段《唱脸谱》的音乐，将学生带进一个轴对称的教学情境中去，一下子就集中了学生的注意力，并调动了学生主动参与的积极性；继而再融入了剪纸这一传统民间文化瑰宝。用脸谱、剪纸这两个中国传统文化的标志性元素来激发学生兴趣，这一设计颇具匠心：它一方面培养了学生的学习兴趣，另一方面又激发了学生对祖国的热爱之情。

事实上，学生对生活中的对称现象早就有了一定的认识。但作为轴对称图形的教学，更重要的是让学生能在认识、欣赏和制作轴对称图形的过程中，感受到物体或图形的对称美，激发学生对数学学习的情感。为此，教师充分利用多媒体技术，制作了大量相关课件，给学生以生动直观，主动向学生质疑，促使学生思考与发现，培养学生独立获取知识与方法的能力；同时，借助多媒体技术，给学生创设了宽松的学习氛围，学生课堂发言十分踊跃，学生在数学学习中始终保持兴奋、愉悦、渴求思索的心理状态。这些都有利于学生数学学习主体性的发挥以及数学创新能力的培养。

这一课例还有一个突出特点是强调了学生数学学习过程中的动手操作与合作交流。学生通过从生活中感知、在操作中学习与研究、在相互合作中感悟，让学生动手操作（动手剪纸），逐步体验轴对称图形的基本特征。同时在教学中注意引导学生在操作的基础上讨论交流，在小组合作中进一步理解轴对称图形的特征，继而将轴对称图形与实际生活相融合，进一步拓宽了学生的视野，使学生领略了大自然的美妙与对称世界的神奇，激发了学生的数学审美情趣。

参考文献

［1］教育部．全日制义务教育数学课程标准（实验稿）［S］．北京：北京师范大学出版，2001．

［2］张维忠．文化视野中的数学与数学教育［M］．北京：人民教育出版社，2005．