数学说题比赛的过程及其评价标准

第三节　数学说题比赛的过程及其评价标准^[3]

2010年11月，浙江省数学青年教师技能大赛在浙江师范大学附属中学举行，比赛分三个阶段，第一阶段的笔试与第二阶段的现场上课较为常见。其中第二阶段采用“说题”的方式进行，这种比赛方式在浙江省属于首次，没有先前做法参照，参赛者对于说题的展示方式各异，评委对于评价标准也很难统一。本节以本次比赛中的一道函数题为载体，将讨论数学说题比赛的过程及其评价标准。

一、数学说题比赛的过程

（一）说题的含义以及和解题的区别

波利亚在《数学的发现》中认为数学解题“就是在原先是隔开的事物或想法之间去找出联系……这种联系就像一座桥……像是一条由一系列结论组成的链。”数学解题就是单纯地解决数学问题，具体数学教学过程中的解题就是板演出解题的步骤。

说题则是把审题、分析、解答和回顾的思维过程按一定规律一定顺序说出来，要求说题者暴露面对题目的思维过程，即“说数学思维”。一般地对于说题有两种理解：一种是学生说题，注重的是学生对题目的理解，另一种是教师说题，注重的是数学问题的解决，这需要对问题的“来源背景、延伸拓展、怎样解题”和“为什么这样解题”等进行阐述，并对于题目的拓展和一题多解，一题多变等进行说明。

解题注重的是题目或源于数学的问题的求解过程，即展示的重点是题目求解的结论，基本不考虑解题的前奏和后续。而教师说题注重的恰是数学题求解的前奏和后续，即展示的重点是说明题目的背景和思路以及对于题目的变式和意义等方面的延伸，但是对于展示过程中某些具体的求解（仅仅是计算）倒是可以忽略。

（二）说题比赛中题目的选取

由于教师说题的场合不同，说题题目的选取也不尽相同。笔者将其分成三类：（1）教材中的例题、习题。这类题目比较适合新教师选拔时的面试题，或者教研组对于新教师的考察题目。（2）高考模拟试题。这类题目比较适合在校级或县级的高三复习研讨会上，某教师的“课例展示”。（3）高考、竞赛试题或据此改编的题目。这类题目比较适合在地区级和省级比赛。这次浙江省数学青年教师技能大赛说题选取的题目都是由浙江省高中数学教研员自己编写或根据以前的题目改编，难度和计算量比较大，但每道题目又不失为好题，比较适合此次比赛。

（三）说题的程序

（1）说题目的大致意思，尤其要说明题目的已知条件和难点的位置、程度和成因，特别要注意挖掘题中的隐含条件；

（2）说题目背景，即题目的出处、涉及的知识点以及选择此题的目的；

（3）说题目的解答，即解题的步骤和结论；

（4）说解题的数学思想方法、策略和规律；

（5）说题目的变化，即解法的优化、变化和结论的一般变式、推广、拓展等。

二、数学说题比赛的评价标准

（一）说题比赛题目之一与参考答案

比赛题目：已知函数f（x）＝，g（x）＝x³－2a²x＋a³－4，若存在实数a，使得任意给定x₁∈［0，t］，都有x₂∈［0，2］，使得f（x₂）＝g（x₁），求t的最大正实数。

该题的解法并不多，下面给出该题的一种解法，并基于此解法进行说题展示、评价。

解：由题可知，要满足题意，只要g（x）的值域是f（x）值域的子集，记函数f（x）的值域为F，函数g（x）的值域是G。

因为0≤x≤2，所以－3≤x－3≤－1，因为－4≤f（x）≤－3即F＝[－4，－3]，g（x）＝x³－2a²x＋a³－4。所以g′（x）＝3x²－2a²＝3（x－）（x＋）。

下面对a分类讨论

①当a_＝0时，g′（x）＝3x²≥0，所以g（x）在定义域内单调递增，即G＝[－4，t³－4]，因为G⊆F，所以t³－4≤－3⇒－1≤t≤1，t的最大值是1。

②当a≠0时，g（x）的草图可以表示成图4-3-1。

又因为－≤0≤，所以－4≤g（0）＝a³－4≤－3。

所以0≤a≤1，所以g（x）的草图可以表示成图4-3-2。

图4-3-1

图4-3-2

当时t＞，g（x）的最小值在a处取到

g（a）＝（a）³－2a²（a）³＋a³－4＝（1－）a³－4＜－4（舍去）

当时t≤，g（x）的最小值在t处取到，必须g（t）＝t³－2a²t＋a³－4≥－4，即（t－a）（t²＋at－a²）≥0，即（t－a）（t－a）（t－a）≥0。

结合取值范围的t最大值是

综上所述t最大值是1。

（二）本题的说题参考及评价标准

以总分100分为例，分别把参赛老师记为1号，2号，3号。

1.说题目大致意思（15分）

本题是一个函数的问题，题目中f（x）是一个分式形式的函数（这里当时参赛老师们都有口误说成_“分式函数”），g（x）是_含有参数a的三次函数，若存在实数a，使得任意的x₁∈[0，t]，都有x₂∈[0，2]，使得f（x₂）＝g（x₁）成立，求最大的正实数t？已知条件中，比较难理解的就是“x₁∈[0，t]，都有x₂∈[0，2]，使得f（x₂）＝g（x₁）成立”的这句话。如果我们能正确理解这句话，将其翻译成“g（x）在[0]，t的值域G，是f（x）在[0，2]的值域F的子集”，那么题目的思路就比较清楚了，即必须先求出f（x）在[0，2]的值域F和g（x）在[0，t]的值域G。（此过程几位参赛老师都详细地说出了此题的关键点，所以均应予以15分）

2.说题目的背景（10分）

本题是2009年浙江高考理科22题的第二小题的改编题，我们有些教师也将它称为双参数函数问题，涉及的知识点有函数的定义域、值域；函数的导函数和极值、单调性的关系等，是属于高考中的热点，常在最后的压轴题中出现，也充分说明函数内容在整个高中数学中的显著地位。（此过程中几位参赛老师都介绍了涉及的知识点，但是只有3号参赛老师说到过此题的来源，分别给三位选手8分，8分，10分）

3.说题目的解答（40分）

此过程主要参见上面的参考答案，但有两个原则：最后的答案必须正确；解题中的几个重要式子需要保留。至于有些具体的复杂的计算倒是可以忽略。（此过程中三位参赛老师采取的方法几乎一致，但是相对的，1号老师的板书清晰，讲解到位，给38分，2号老师的讲解到位，但是展示的板书过于凌乱，给36分，最后3号选手，由于没有算出那个最复杂的关于含参数a的三次方程求解的答案，并且最后的几步不可忽略的步骤忽略了，给34分）

4.说题目的思想方法（5分）

这道题目是一定一动型的双参数函数，f（x）是定的，g（x）是动的，用集合的思想可以找到相互的关系，并用函数的思想将以解决，而求g（x）值域过程中，求导后涉及分类讨论这一重要的数学思想方法。（此过程几位参赛老师都在最后做了点评和总结，均予以5分）

5.说题目的变化（10分）

本题可以进行一些改动和变化也会有不同的收获。例如改成“……都有唯一的x₂……”；“将a变成具体的数值，例如1/4”；“将题目中的求解改成求t的最小值”；“将x₁和x₂的位置互换”……虽然我们不可能现在进行一一解答，有的情况甚至可能无解或无意义，但是这也是我们对解了一道题后的一个再思考再创造。（很遗憾，只有2号老师选手做了这个环节，其他两位并未做任何的涉及。所以三位分别给4分，8分和4分）

6.教态、语言（10分）

说题时，教师应当讲究教态自然，普通话标准，行为举止大方等。（根据当时现场情况，1号老师显得从容自信，给人亲和感，教态自然给9分，2号老师比较注重自己的解题过程，但是缺少和大家的交流，比较拘谨给5分，3号老师教态也比较自然，但是过程中由于未能求解出最后的答案，显得比较紧张，给7分）

7.时间掌握（10分）

按比赛要求是给了15分钟时间。在10分钟以下和15分钟以上的应该予以扣分（具体可以由赛事组织者协商），笔者认为扣2分比较合理。（根据当时情况，分别给8分，10分，10分）

参考文献

［1］波利亚．数学的发现［M］．欧阳绛译．北京：科学出版社，1982．

［2］马锐雄，周之夫．说题——数学课堂素质教育的重要活动［J］．数学通讯，2001（9）