《商不变性质》教学的实践与思考

《商不变性质》教学的实践与思考

临安市衣锦小学　帅　莹

一、缘　起

美国数学家哈尔莫斯说：“数学究竟是什么组成的？是概念？是公理？定理？定义？公式？证明？诚然，没有这些组成部分，数学就不存在了，这些都是数学的组成部分。但是，它们中的任何一个都不是数学的核心所在。数学的核心应该是越过这些表面知识的内在问题、思想和方法，并且问题是数学的心脏，思想是数学的灵魂，方法是数学的行为。”

我以《商不变的性质》教学为例进行研究，想知道：“就这节课，课改之前和之后教师对教学目标有着怎样的不同理解？数学思想和方法又是如何渗透的？到底什么才是学生真正受益的东西？今天我们应该怎样去上这节课？”带着疑问我进行了思考与实践。

二、情景回放

1.提出问题

出示算式12÷6＝2。

改变被除数、除数，商会怎样？将这些算式分类。

师：今天我们就来研究被除数和除数怎样变化，商是不变的？

2.提出猜想

师：观察商不变的这些算式，猜想一下，被除数与除数怎样变化，商不变？

猜想一：被除数与除数同时乘以相同的数，商不变。

猜想二：被除数与除数同时除以相同的数，商不变。

3.举例验证

（1）小组合作学习。

（2）分别交流上面两种猜想。

（3）质疑：0除外。

（4）共同概括出商不变的性质。

4.运用规律进行简便计算

反思：这个设计除了传授数学知识以外，我们可以感觉到教师已经有意识或者说是很明确地想在这节课中向学生渗透猜想、验证的方法。在教师引导下，通过观察算式，学生出现了两种猜想，通过小组验证，得到了规律，然后通过质疑完善了规律。一切都显得那么顺利。其实在“貌似顺利的教学设计”背后往往隐藏着诸多不利于学生探究与发展的观念和操作，例如：被除数和除数变化时是用乘法和除法运算，学生怎么想到的呢？从教学的过程我们不难看出，学生的思路从一开始就往这方面引，往这方面诱导、暗示，无形中把学生的思路定位在乘除法运算上，把学生的思考空间一下子就框死了，限制了学生的思路，这样数学思想方法就不可能得以有效地生成和发展。

三、亲身实践

在查找资料、归类、反思的前提下，我们对这节课的教学目标的定位，数学思想方法的渗透渐渐地在头脑中清晰起来。于是有了第一次设计与实践：

把理解和掌握商不变性质并进行运用定为本节课的知识目标和能力目标；把渗透“猜想——验证”定为本节课的数学思想方法目标。设想如下：

1.复习旧知，诱发猜想

计算一组有规律的乘法算式题，说说你发现了什么规律。

18×20＝360

（18÷2）×（20×2）＝

（18÷3）×（20×3）＝

（18×2）×（20÷2）＝

（18×4）×（20÷4）＝

小结：这就是我们在乘法中学到的规律：积不变规律。运用这一规律，能使一些计算更简便。

师：那么在除法里，会不会也有这样的规律呢？这个规律会叫什么规律呢？

预计：有的学生说“没有”；有的学生说“有”，叫“商不变规律”。

2.验证猜想，揭示性质

（1）鼓励学生大胆猜想，在什么条件下商不变？

预计：会出现以下猜想：

猜想1：被除数乘以一个数，除数除以相同的数，商不变。

猜想2：被除数除以一个数，除数乘以相同的数，商不变。

猜想3：被除数加上一个数，除数减去相同的数，商不变。

猜想4：被除数减去一个数，除数加上相同的数，商不变。

猜想5：被除数和除数都乘以相同的数，商不变。

猜想6：被除数和除数都除以相同的数，商不变。

猜想7：被除数和除数都加上相同的数，商不变。

猜想8：被除数和除数都减去相同的数，商不变。

（2）学生选择其中一种猜想，以16÷8＝2这个除法算式为例，举例验证。

提供验证报告：

验证对象：16÷8＝2

汇报：我验证__________，举了这样的两个算式，从结果来看，说明商__________（变了、不变），这种猜想是__________（对、不对）的。

（3）小组汇报，全班交流，对前面的猜想进行否定或肯定。

（4）小结：被除数与除数怎样变化，商是不变的？合起来说一说。

（5）质疑：相同的数可以是任意数吗？（0除外）完善性质。

3.明理内化，巩固练习

安排不同层次、形式各异的习题，进行巩固和提高。

【首次试教】：两度惊喜三度遗憾

惊喜一：著名科学家牛顿有句名言：“没有大胆的猜想，就不可能有伟大的发现和发明”，猜想是一种难度较大跳跃式的创造性思维。设计中我们通过复习积不变规律，诱发学生对商不变性质的猜想，从课堂生成来看，也取得了良好的效果，学生竟然出现了8种猜想，远远地超出了我的预计（3～4种），说明只要提供适当的情境，是能够诱发学生大胆猜想的。

惊喜二：在小组汇报各自验证结果时，出现了特例“0”，（16＋0）÷（8＋0）＝2，我心中一阵惊喜，原来我们设计中是把“0除外”这一点放在初步得出商不变性质之后，让学生质疑，再师生完善商不变性质。由此可见，我们可以把“特例”的教学与验证这一环节结合在一起，让学生真正理解为什么要“0除外”。

遗憾一：小组验证，教师巡视时，发现很多学生根本不会验证。出现了各种情况，如：①无从下手；②凑得数，如：（16＋4）÷（8＋2）＝2；③计算错误或不计算（16×4）÷（8÷4）＝2；④结果与验证不一致：验证是不对的，后面却说猜想是正确的。学生的表现出乎我们的意料之外，整节课就在这里“搁浅”了。事后回想，原因有二：一是教师布置任务，讲解要求时，没有出示作业纸，而是口头说说，很多学生没有明白怎样验证，拿起作业纸不会填；二是作业纸设计中等号后面没有计算过程，导致学生算也不算，就写2。

遗憾二：汇报交流时，发现有3种猜想根本没有小组选择进行验证。无奈之下，老师和学生草草举了几个反例进行验证。在大部分同学迷迷糊糊之中，教师引导学生进行了总结，概括出了商不变的性质。反思一下：问题出在教师让各小组自由选择其中一种猜想进行验证，全班没有进行统筹安排，整节课总体感觉验证不够充分。

遗憾三：教不完。当我们不再局限于传授知识时，当我们把探究的主动权还给学生的时候，一堂课究竟应该怎样展开，已经远远不是我们备课时就能全部预料到的，它需要我们循着学生认知的曲线，思维的张弛和情感的波澜，机智灵活地开展教学。在本节课中，学生自主探究的学习过程长达30分钟，出现了课堂时间不够用的情况，学生没有多余的时间巩固新知，还需一节课来解决学生存在的问题，再巩固商不变的性质。反思一下：一是学生不会验证，浪费了大量的时间；二是要让学生通过验证各种猜想，得出商不变性质，确实需要很多时间，再安排“巩固应用”环节，内容确实多了点。

【流程跟进】：

受三个遗憾的提醒，笔者对预设流程进行微调。（1）舍去“巩固应用”这一环节，本节课力求让学生在大胆猜想的基础上进行充分的验证，得出商不变性质，让学生探究“过瘾”。（2）验证时，要求小组对提出了各种猜想进行逐条验证，因为验证出猜想错误与验证出猜想正确是同样重要的。（3）对作业纸的表格设计进行改良，迫使学生进行计算得出结果变还是不变。并在验证前讲解要求时出示作业纸，给学生质疑的机会。（4）在以16÷8＝2这个算式为例进行验证的基础上，让学生再自己举一个除法算式为例，进行验证，体会不完全归纳法。（5）增加“反思”环节，在师生交流，提炼中帮助学生领悟“猜想——验证”这种数学思想方法。

【再次生成】：

……

师：谁来大胆猜想一下，在什么条件下商不变？

……

师：那我们怎么知道这些猜想对，还是不对？

生：验证，算一算。

……

师：通过验证，谁来说一说在什么条件下，商是不变的？

生1：我们小组通过验证，第1种猜想是正确的，我们举的例子是：（16×2）÷（8×2）＝32÷16＝2（其他小组没有不同意见）

生2：我们小组通过验证，第3种猜想也是正确的，我们举的例子是：（16—0）÷（8—0）＝16÷8＝2。

生3：我们小组有不同意见，（16—4）÷（8—4）＝12÷4＝3，商变了，所以这种猜想是不正确的。

生4：我认为第1种猜想也是不正确的，（16×0）÷（8×0）＝0÷0，可是0不能做除数。

……

“商不变的性质”在学生探究、交流、争辩中渐渐清晰起来，完善起来；“猜想—验证”的方法在学生的运用中渐渐熟练起来，灵活起来。

四、体会与思考

1.传授数学知识与渗透数学思想方法并不矛盾

数学学科教的不仅仅是知识，还有思想方法。从本课的实践来看，这两者是相互依存，相互促进的。本节课是渗透“猜想—验证”这种思想方法的很好的一个载体，因此把重点放在使学生学会“猜想—验证”的思考问题的方法，进一步促进学生对商不变性质的理解和掌握。

2.教师要提高渗透数学思想方法的自觉性

数学概念、法则、公式、性质等知识都明显地写在教材中，是有“形”的，而数学思想方法却隐含在数学知识体系里，是无“形”的，并且不成体系地散见于教材各章节中。教师常常因教学时间紧而将它作为一个“软任务”挤掉。因此，作为教师首先要更新观念，从思想上不断提高对渗透数学思想方法重要性的认识，把掌握数学知识和渗透数学思想方法同时纳入教学目标，把数学思想方法教学的要求融入备课环节。

3.让学生在主动探究中暴露思维是渗透数学思想方法的关键

数学思想方法是在启发学生思维过程中逐步积累和形成的。数学学习过程充满着观察、实验、模拟、判断、推理等探索性和挑战性的活动，要促进学生自主学习，必须要给学生充分的自我思考时间和空间。有了充分的思考时间和空间，学生的学习过程才能得以充分展示出来，学生的思维和问题才能充分的暴露出来。在实践中，我们可以欣喜地看到，如“经过大家的讨论，我们的猜想不完全对，应该这样说，要使商不变，被除数和除数应该同时乘以相同的数”等一个个富有创意的精彩回答。学生的发言踊跃，思维活跃，课堂因为学生丰富多彩的答案和激烈的辩论而变得精彩纷呈。

4.注重反思，让学生领悟数学思想方法

数学思想方法的获得，一方面是课中有意的渗透，但更多的是靠学生在反思过程中领悟，教师要引导学生自觉地反思自己是怎样发现和解决问题的，运用了哪些基本的思考方法、技能和技巧，走过哪些弯路，有哪些容易发生的错误，原因何在，该记住哪些经验教训等等。只有这样，才能对数学思想方法有所认识，对数学的理解会由量的联系发展到质的飞跃。比如在概括出商不变性质后，让学生回忆这节课我们学了什么知识？是用什么方法得到的？在这一过程中，你有哪些经验和教训？学生个体反思后进行全班交流，促使学生进一步领悟“猜想与验证”的思想方法。

5.渗透数学思想方法是一个长期的过程

在实践中，我们深刻地体会到帮助学生掌握一种思想方法比帮助学生掌握数学知识更困难。如：本节课的教学中，有些同学提不出猜想，部分同学在教师提供验证表格的情况下还是不会验证，不懂什么叫“反例”，如果教师不提供验证表格，相信很多同学束手无策。因此，在数学教学中向学生渗透数学思想方法是一个长期的过程，数学思想方法必须经过循序渐进和反复训练，才能使学生真正地有所领悟。

总之，数学思想的培养应是我们数学教学的终极目标，只有用数学思想武装起来的知识，在学生解决问题时才更具有远见和洞察力。要使学生真正具备个性化的数学思想方法，并不是通过几堂课就能达到，但是只要我们在教学中大胆实践，持之以恒，寓数学思想方法于平时的教学中，学生对数学思想方法的认识就会日趋成熟。