函数概念教学例说

函数概念教学例说

浙江传媒学院实验中学　余　勇

一、概念的核心与教学的焦点

数学概念是数学思维的细胞，是数学学科的灵魂和精髓。掌握好数学概念是学生学好数学的基础，是提高解题能力的关键，是培养数学思想的重要途径。高中数学概念教学是课堂教学的重点和难点，是“双基”教学的核心，在整个数学教学中有着非常重要的地位。高中数学课程标准指出：教学中应加强对基本概念和基本思想的理解和掌握，对一些核心概念和基本思想要贯穿高中数学教学的始终，帮助学生逐步加深理解。如何指导学生进行概念学习，如何进行概念教学？这是摆在教师和教育研究者面前的重要问题。

美国在2006年9月公布了《数学课程焦点》，这是全美数学教师联合会为了改变美国中小学数学课程泛而不精的问题，在2000年4月公布的《美国学校数学教育的原则和标准》的基础上，经过长期争论形成的补充文件，其中设置了K—8各年级数学的一组完整的“课程焦点”，描绘了整个数学课程的轮廓。实际上，“课程焦点”就是各年级的重要数学课题，在中小学数学课程中处于中心地带，是打好数学基础的核心结构，是组织教学内容、建立内容间联系的强有力纽带。

“课程焦点”解决了课程的核心问题，但只是解决“教什么”，不解决“怎么教”。在实际教学中，特别是在概念的课堂教学中，相对于“课程焦点”，“课堂焦点”又是什么呢？

新一轮课程改革已实施多年，义务教育阶段的课标教材已在全国范围使用；高中课标教材实验也在迅速推进，2004年在海南、山东、宁夏、广东开始实验。2006年使用高中课标教材的省市达到15个。浙江省从2006年9月实施新课程。这次课程改革在教育观念、教学思想、教学内容和教学方式方法上，比起以往都有着巨大的变化。高中数学教学正进行着新一轮实验与检验。

必须看到，与课改迅速推进形成鲜明对照的是，课堂教学改革严重滞后，新的教学观念仍然难以到位。随着课程改革的深入，虽然教师重解题、轻概念的观念有所改善，但在教学实践中，大量数学教师在课堂上并没有抓住数学概念的核心进行教学，教学中没有前后一致、贯穿始终的数学思想主线，学生经常在没有对数学概念和思想方法有基本了解的情况下盲目进行大运动量解题操练，导致教学缺乏必要的根基，教学活动不得要领，在一些无关大局的细枝末节上耗费学生的宝贵时间，数学课堂中效益、质量“双低下”。

章建跃先生在组织“中学数学核心概念、思想方法及其教学设计研究”课题时提出：相对于“课程焦点”，概念的核心及其教学便是课堂的焦点。因此，在概念的课堂教学中，围绕“课堂焦点”，抓住概念的核心进行教学设计与教学，使学生真正领会和把握数学概念的核心，领悟概念所反映的数学思想方法的真谛，学会数学地思维，这样才能形成功能强大的数学认知结构，切实发展数学能力，提高数学素养。

众所周知，函数是中学数学的核心内容。函数思想方法贯穿高中数学课程的始终。理解函数概念及由其反映的数学思想方法，学会用函数的观点和方法解决问题，是高中阶段最重要的数学学习任务之一。同时，函数概念因其高度抽象性而成为教师最难教、学生最难学的数学概念之一。

函数与函数概念的教学是大家最关注的，也是最熟知的。但本文是从如何抓住概念的核心，如何瞄准“课堂焦点”进行教学设计与教学为例来说明如何进行概念教学。

二、抓住概念的核心进行教学设计与教学

（一）认清函数的前提

必须看到，函数概念的本质是两个变量（数集）之间的关系。本节教学的核心任务是建立一般意义的函数概念。

正如函数的奇偶性的前提是在整个定义域上考虑问题、函数的单调性的前提是在某个区间上考虑问题一样，函数概念的前提是在两个变量（数集）的关系上考虑问题。

函数所反映的是两个变量（数集）之间的关系，所以讲函数的前提是提出两变量。若不是变量（数集）间的关系，则不能视为函数关系。这里我们有必要弄清楚何为变量，变量即变化的量，变化的数。数学认为：万物皆数。其实是万物皆可用数去刻画。现实中许多人不能区分其间的关系，把可用函数刻画的实际问题完全等同于函数问题。

本节教学的核心任务是建立一般意义的函数概念。作者认为最好去掉具体的函数关系，直接探寻两变量的关系，这就抓住了函数概念的核心，且背景清楚明白，问题指向性强。这不是说不强调函数的背景、函数的应用，而是说对这节课而言，直接探寻两变量的关系即瞄准了概念教学的“课堂焦点”。

（二）瞄准函数概念教学的“课堂焦点”

讲函数概念时，最好直接提出两个变量，让学生去发现并揭示两变量间存在关系，指出这种关系即为函数（关系）。再进一步揭示成为函数关系的内在条件。由此得到函数的本质。在此基础上，对函数进行定义就显得较为容易了。在函数概念的课堂教学中，本人设计了以下几个问题。

问题1：怎样学函数？什么是函数？

问题2：设有两个变量x，y满足：

问x＝8，x＝16时y的值。

问题3：这儿有两个变量，为什么仅仅根据x的值就能求出y的值？

前3问组成一个问题串，瞄准了概念教学的“课堂焦点”，直指函数概念的核心：两个变量间存在某种关系。这是一种用打仗的方法，迅速占领制高点，再向四面扩大战果，快速有效。

笔者对不同的学生做过多次实验，无论是初学函数概念还是进入高三复习阶段的学生，对问题1或多或少都能说出自己的一些认识，但也存在问题。一方面，函数概念自初中就开始接受，另一方面，函数概念仍然是高中学习的难点。在学生说出函数的各种说法后，（肯定学生）提出问题2。

问题2材料简洁，问题明了，思维起点比较低，使大多数学生能开始有效的思考。答案易猜想但不唯一。为探求两个变量x，y之间更高层次的关系提供了条件。多数学生能较快给出答案，如按x＋y＝6或周期变化等得到；还有的学生不能找出，可提示x＝6时，x＝7时y的值，学生得出答案并给予肯定。有一共同点：在被问及能否找出y的值时，都确信能。

问题3好似学生弄懂了，老师却还不明白，引导学生反思。一般地，两个变量，是否知道其中一个的值就能确定另一个的值吗？这说明了什么？学生得出：变量x，y之间有函数关系。

（三）辨明概念的内涵

问题4：我们把这两个变量间的关系叫函数关系，（直接点明主题）一般地，变量间什么样的关系叫函数关系？函数关系的条件是什么？（此问题可延迟回答）下列x与y的关系中，哪些y能成为x的函数？为什么？

（5）

此处问题的设计可根据学生程度的不同加以变化，如对一个学习较好的同学，他对上述问题都能得到准确的判断，笔者特意加了一个问，结果未能做出正确判断。而此题势必提高他对函数的认识。

问题4突出函数概念的条件：对任意的变量x都有唯一的变量y与之对应，即变量x到变量y满足1对1或多对1。

研究表明：高中生对函数概念的理解多种多样，在判断一个对象是否为函数时有的学生是根据定义，更多的学生是根据函数概念在头脑中的表象。问题3在突出函数概念条件的同时，注意运用函数概念表示的多样性，用图像、表格、对应、解析式等方法表示。

（四）函数概念初高中的不同定义及转换

初中阶段的函数变量关系说定义还需发展为高中阶段的集合定义。可设计问题5。

问题5：是否为同一函数？

函数所反映的是两个变量之间的关系，这种关系还包含了变量的取值范围。在初中的定义中，我们强调自变量在一定范围取值，在高中，我们学习了集合，现代数学是建立在集合的基础上的。用集合的观点来看函数，把所有的自变量集中起来组成一个集合，把所有的因变量集中起来组成一个集合，两个变量之间的关系则演变为两个集合（数集）之间的关系。这就是高中函数的定义。

这样，不仅解决了定义2的问题，也解决了为什么的问题。

函数两种定义方式可总结为：其中关系f满足1—1或多—1。

（五）认清函数的外延

问题6：天上一颗流星飞过，你对流星许了一个愿望，流星是否是愿望的函数？

至此，本节函数概念的学习可算基本完成。由于时间的原因，此问题的解答可以在后面的学习中进行。另外，对对应关系f的认识，作者认为它不是该节课课堂的焦点，可在完成函数概念教学后再学习，或在教师指导下学生自学。

在以后的学习中我们知道，在对函数概念定义后，还必须掌握函数概念的外延，需学习函数的上位概念——映射，得到函数是特殊的映射，得到函数是“含数”的两个集合间的映射，是从定义域到值域的映射。建立函数概念系统，函数有三要素（定义域、值域、对应法则），三性（奇偶性、单调性、周期性），图像。函数即关系，函数按其关系可分为函数，其中基本初等函数包括一次函数、二次函数、三角函数、幂函数、指函数、对数函数等。从而全面研究函数概念。

本节“课堂焦点”：（1）紧紧抓住函数所反映的对象，两个变量（数集）及其关系。（2）抓住函数关系的条件。（3）努力实现函数由初中定义到高中定义的转变。本人多次的实践结果来看：抓住“概念的核心”，让“概念的核心”及其教学成为“课堂焦点”的做法是成功的，就本节而言，学生对函数两种定义方式：其中关系f满足1—1或多—1及函数即“含数”的映射，都有较深的印象，对函数概念的判断迅速准确。对函数概念的本质有较好的认识，为函数的后续学习奠定了良好的基础。

从认清函数的前提，辨明函数的内涵，完成函数初高中的定义及转换和认清函数的外延几个角度，瞄准“课堂焦点”、抓住概念的核心进行概念的教学设计与教学，以便发挥数学课堂效益，提高质量。