请在猜想与验证之间驻足

请在猜想与验证之间驻足——从“数与代数”领域中的学习探究谈起

杭州市西兴实验小学　孙剑静

小学阶段“数与代数”这一知识领域大致包括了数的认识、数的运算式与方程、常见的量以及探索规律等等。它们都是研究数量关系和变化规律的一种数学模型，可以帮助学生从数量关系的角度，更为准确清晰地认识、描述和把握我们的现实世界。课程标准理念下的“数与代数”的教学领域在它的目标、内容以及处理方式上有了很多实质性的变化，比如重视对数的意义的理解，淡化过分形式化和记忆的要求，注重让学生在具体的情境当中体验和感受知识，注重过程，提倡学生在学习过程中的一种自主的活动来提高发现、探究规律的能力等。这些改变的实施影响着学生数学学习能力的提升。

在“数与代数”领域内容的教学过程中，教师总会想方设法引领学生运用不同的方式进行探究，虽然不同于“空间与图形”的领域内容那样可以摆弄图形，通过点、线、面之间的变幻来经历学习过程，获得数学知识与技能、数学思想与方法、数学情感与态度以及数学经验与思考等方面的提升，但是，“数与代数”的内容也同样为学生的数学学习提供了另一些让思维增量的空间与途径，老师们心中在呼唤——孩子们，请在猜想与验证之间驻足！

一、驻足是为了经历枚举与反证的过程

著名美籍匈牙利数学家乔治・波利亚曾说过：“要成为一个好的数学家，你必须首先是一个好的猜想家。”当然，数学教学的终极目标不是培养数学家。但猜想本身作为一种探索性的思维活动，它能锻炼一个人的思维，也能使一个人提出新的思想和新的问题。因此，让学生学会猜想是第一步，更为重要的是让学生从猜想出发，经历寻求验证猜想的合理性、科学性的过程。

在猜想与验证之间驻足，可以充分让学生枚举，让学生反证。这份驻足探索的价值在于过程重于结论。数学猜想一旦形成，正确、清楚、行之有效的证明过程也是非常重要的，这是数学思维中最为有序、最为严谨的部分。因为猜想具有两重性，它既有引导我们走向真理的一面，也有可能把人引入歧途的一面，所以“猜想必须证明”这是教学的一个原则。而对于学生的一些不够合理的猜想，教师既要保护他们大胆猜想的积极性，充分利用验证的各种方法，又要加以正确引导；对猜想的问题进行质疑、反思，让学生知道数学中的猜想应是明智的、严肃的、负责任的。

案例1　“沈氏猜想”

人教版五下册学完《因数与倍数》单元以后，隔了一个单元之后是《分数的意义与性质》，学到“求最大公因数”的内容的一节课后，一个学生拿来了她经过整理后的草稿，她说“老师，我有这么个猜想”，全文如下：

像，两数互质；

像，18—4＝14，4÷18有小数（两数相差很大，当a÷b无法整除，且b＞a）；

像，45÷15＝3，两数成倍数关系；

像，是单数（奇数）中的合数。

以上四种情况除外。

其他分数要找分子分母的最大公因数，只要大数减小数，就是它们的最大公因数。如，8—6＝2＝它们的最大公因数；

，12—8＝4＝它们的最大公因数；

，9—6＝3＝它们的最大公因数；

……

人教版五下册新教材中，教学求两个数的最大公因数或最小公倍数，不再采用唯一的、固定的短除法分解质因数的方法，而是引导学生采用多种方法“找”最大公因数和最小公倍数。教材中还呈现了“哥德巴赫猜想”的历史，这种改变确实为学生的思维打开了一个广阔的空间。这位沈姓女生思维的缜密还是非常可贵的，后来就戏称为“沈氏猜想”了。当老师把这个猜想公布于全班甚至全年级后，要求学生举出反例来验证，但最终也还是不了了之了。因为孩子们举出的每一个例子，基本上已经被概括其中了。那么，这样的猜想算不算猜想呢？

数学大师波利亚极力主张，“在数学的教学中必须有猜想的地位，教学必须为发明做准备，或至少给一点发明的尝试”。数学猜想一般来自于严密的论证推理完全不同的推理方法——合情推理。合情推理用来为猜想提供依据。波利亚告诉我们，数学思维不是纯“形式”的，它所涉及的不仅有公理、定理、定义及严格的证明，而且还有许许多多其他方面：推广、归纳、类推以及从具体情况中辨认出或者说抽取出某个数学概念等。其实，在日常生活中，合情推理无处不在，比如，平时我们说，“它可能是……”（猜测），“做出来看一看”（实验），“由上所述可得……”（归纳），“可以想象”（联想）等，都属于合情推理，所以说在严格的数学中还是必须要学会使用“不严格”的类比、推广、特殊化、实验等合情推理的方法。

让学生从合情推理开始，通过列举、反证的思想与方法，驻足于猜想与验证之间，充分享受数学猜想的积极价值，作为教师要充分了解学生，要充分估计学生的经验与困难，认真考虑怎样去启发、引导学生猜想，怎样验证或推翻猜想，使我们的学生也像数学家那样学会猜想，尽情领略数学学习的魅力。

二、驻足是为了提升操作与说理的锻炼

数学猜想具有积极的推动作用，它作为一项探究性的思维活动，对数学这场思维的体操是极其贴切的运动。但是对于猜想，教师还要清楚几个问题：学生要形成怎样的猜想？学生的猜想是建立在什么样的学习经验上？对猜想形成的必要性如何？探索的过程与结论孰重孰轻？探索的价值在哪里？这些问题的条分缕析，意味着在教学前需要整体考虑细节设计，尽可能让学生在“猜想—验证”之中学数学，让多种感官参与学习活动，既可以丰富学生的感性认识，又可以在教师的指导下，逐步进行抽象概括，掌握知识，并且进一步加深对知识的理解，促使他们更积极主动地学习，获得独特的情感体验。

案例2　“分数与除法的关系”

浙教版“新思维数学”读本四下册《分数与除法的关系》的教学目标之一就是要求通过学生的自主探究活动，发现并证明分数与除法之间的关系，理解并掌握这个关系的本质属性。其中在展开环节的教学片段如下：

出示：2张纸平均分给3人，每人得几张？

（1）列式计算。

（2）尝试证明：为什么可以用张来表示计算结果？

①把1平均分成3份，取其中的2份。

②把2平均分成3份，取其中的1份。

我们需要求证：①＝②。教师引导学生用2张纸一起来动手操作。

（3）学生反馈。

①把2张纸看成一个整体单位“1”，平均分成3份，取2份，就是1个

②把2张纸叠起来，平均分成3份，取1份，就是2个

发现：1个与2个就是同一部分的纸张，是相等的。

因此，①＝②，也就是证明了2÷3这个除法与这个分数的关系，分数可以表示两数相除的商。

这个环节的教学看似简单，但从深层次去分析，是非常有价值的一个过程。教师从学生列出的算式入手，从似乎不容置疑的等式，去发现或提出问题，进行猜测，引起学生对新课学习内容的关注，同时激发学生研究的兴趣。但如何解释就需要对其进行验证。学生通过操作，发现两次不同方式的均分居然验证获得了同一部分的纸张，因此学生能够感悟到这个结论：“2÷3这个除法与这个分数的关系，分数可以表示两数相除的商”。不仅拓展了教学的严谨性和知识的可靠性，还可以引导学生通过这样的操作体验，把分数与除法的关系用口头或书面的文字表达出来。说理建筑于操作，操作夯实了说理，学生的思维品质在优化，加深了学生对这两者关系的理解，让学生在猜想与验证之间驻足片刻，以操作和说理的方式经历了整个过程。

数学学习不应该仅仅是要获得新认知，更重要的是让学生在学习的过程中获得数学思维力的增量，如学会观察、学会分类、学会比较、学会提炼等。东北师范大学校长史中宁教授认为演绎推理表现为一种知识，归纳推理表现为一种智慧。“知识本质上是一种结果，可能是经验的结果，也可能是思考的结果。”单纯追求知识的教育是一种结果的教育。智慧并不表现在结果上，而是“表现在经验的过程中，表现在思考的过程中”。归纳能力是建立在实践的基础上，更多地依赖于过程，依赖于经验的积累。要促进学生的发展，培养学生的创新意识，必须注重过程。

因此，学生在“数与代数”领域中的学习探究过程中，我们提出“请在猜想与验证之间驻足”，让经历过程的脚步放慢一些，学生将会获得身心长足的发展。