从年高考看线形规划问题

从2008年高考看线形规划问题

潘威福

线形规划问题是高中数学的重要内容，是沟通代数和几何的重要桥梁。线形规划以其解决问题的直观性而“一枝独秀”，简单的线形规划问题自2000年进入高中数学课本以来，首次在2004年的江苏高考卷中出现，到2007年时，在全国卷和其他6个省高考卷中均以出现。而在2008年的高考中，除全国卷出现外另有11个省高考卷中线形规划问题都“闪亮登场”。由此可见，线形规划问题在高考题中的关注度越来越高，并且多以选择题和填空题等基础题的形式出现。

本文通过对2008年全国各地高考试卷中的线形规划知识进行分析，并归纳出几种常见的模型，为学生全面理解线形规划问题提供一些参考。

一、二元一次不等式组表示的平面区域问题

例一，(2008．湖北卷文5)在平面直角坐标系xOy中，满足不等式组的点(x，y)的集合用阴影表示为下列图中的

分析:由于二元一次不等式Ax+ By+ C＞0(或＜0)在平面直角坐标系中表示直线Ax+ By+C=0某一侧的半平面区域，而对同一半平面的所有点(x，y)，Ax+ By+ C的符号相同，所以只需在直线的某一侧取一特殊点(x₀，y₀)再判断Ax₀+ By₀+C的正负就可以决定Ax+By+C＞0(或＜0)表示哪一侧的半平面区域。即概括为“直线定界，点定域”。本题中先去掉不等式组中的绝对值或再分别作出可行域即可，另外本题作为选择题也可以用特殊点排除选项，如:点(0，1)满足不等式，故排除B和D选项，再由点(0，2)满足不等式，排除A选项。故选C。

小结:在考查二元一次不等式组对应的平面区域时，应先把不等式组中的每个不等式化为

Ax+ By+C＞0(或＜0)的形式(若含绝对值或根式应先等价变形为不含绝对值或根式的外形)，再利用“直线定界，点定域”的原则找出对应的区域。若是以选择题形式出现也可以用特殊点排除选项。

二、线形目标函数的最值问题

例二，(2008全国卷Ⅱ5)设变量x，y满足约束条件:，则z=x－3y的最小值为:

A．－2　　B．－4　　C．－6　　D．－8

分析:先作出不等式组，表示的平面区域，如图:

目标函数z= x－3y可化为即z的几何意义为直线的纵截距的3倍的相反数，即纵截距越大，z越小。由图可知直线过A(2，2)时目标函数z= x－3y的最小值为z=－2－6=－8，故选D

小结:在线形约束条件下求线形目标函数z= Ax+ By(B≠0)的最值问题(或最优解问题)可按如下几个步骤分析:(1)画出可行域(注意边界线的实虚)，(2)理解z的几何意义即z与直线的纵截距的关系。(3)根据可行域求出最优解。此类问题在2008年高考中北京，天津，湖南，辽宁，广东等省卷中都已出现，应引起重视。

三、参数问题

例三，(2008安徽卷文11)若A为不等式组表示的平面区域，则a从－2连续变化到1时动直线x+ y= a扫过A中的那部分区域的面积为(　　)

A．　　 B．1　　C．　　D．2

分析:作出不等式组表示的平面区域A为一个三角形区域(含边界)如图:

其中O(0，0)，B(0，2)，C(－2，0)，再作与直线y=－x平行的直线系y=－x+ a，a∈［－2，1］则直线y=－x+1与直线y－x=2及y轴分别交于，E(0，1)而直线y=－x－2与y－x=2交于点C(－2，0)，故当a∈［－2，1］时，动直线扫过A中的那部分区域为四边形OCDE，则其面积S= S_ΔBOC－S_ΔBDE=．故选C。

例四，(2008陕西卷理10)．已知实数x，y满足，如果目标函数z= x－y的最小值为－1，则实数m等于(　　)

A．7　　B．5　　C．4　　D．3

分析:作出可行域如图:

由于y=1与y= 2x－1的交点A(1，1)，则直线x+ y=m应在A点的右上方，得m≥2

(否则不等式组对应的平面区域不存在)，此时直线x+ y=m与直线y=2x－1及y= 1

分别交于，C(m－1，1)，而目标函数z= x－y的最小值为－1，所以直线y= x－z的纵截距有最大值为1，由图可知，z= x－y在B点取最大值，故z=－1=，得m=5

小结:当线形约束条件或目标函数中含参数时，可考虑如下两方面:(1)参数的几何意义，(2)含参数的式子与其他式子的联系，再借助于图形表示它们相对的位置关系，利用图像解题．

四、目标函数为非线形函数问题

例五，(2008福建卷理8)若实数，则的取值范围是(　　)

A．(0，1)　　B．(0，1］　　C．(1，+∞)　　D．［1，+∞)

分析:作出可行域如图

设p(x，y)为可行域内任一点，则直线po的斜率为，由数形结合得k_po＞1，故∈(1，+∞)，选C

小结:在线形约束条件下对于线形目标函数，我们常通过截距实现目标函数几何化，但是若目标函数为非线形函数时，如:在本题中由的结构特征联想到平面内两点所在直线的斜率公式实现目标函数几何化，即:可行域内的点与原点组成直线的斜率的范围问题。故若目标函数为都可以转化为，即转化为可行域的点p(x，y)与点组成直线的斜率的范围问题。

但对于目标函数为非线形函数问题，除上面涉及的斜率外还有其他几种实现目标函数几何化的常见形式，下面我们来看一类约束条件下实现目标函数几何化的几种常见形式:

例六:已知x，y满足，求(1)z= xy的最大值，(2)z=│x－2y－6│的最大值，(3)z= x²+2x+ y²的最值，(4) z= x²+ 3y²的最值，(5)若p(x，y)满足上述条件:M(0，－1)，N(3，0)，求的最值

分析:根据约束条件在平面直角坐标系中作出可行域，如图:

其中A(1，0)，B(0，1)，C(2，3)

(1)∵x≥0，y≥0∴z= xy表示以x，y为长与宽的矩形的面积。

故在C(2，3)处z有最大值为6。

(2)由于，故其几何意义为可行域内点到直线x－2y－6=0的距离的倍。由图可知在A(1，0)处z有最小值为5，在线段BC上的任意一点到直线x－2y－6=0的距离均为最大值即

(3)z= x²+ 2x+ y²=(x+1)²+ y²的几何意义为可行域的点到(－1，0)距离的平方。由图可知z的最小值为点(－1．0)到直线2x+ y－2= 0的距离的平方，即:z _min=，z的最大值为点(－1，0)到C(2．3)点的距离的平方即:z _max=(2+1)²+3²= 18

(4) z=x²+3y²可化为:表示焦点在x轴上离心率为的一组椭圆，z越大椭圆越大，z越小椭圆也越小。故当椭圆与线段AB相切时，z取最小值。

当椭圆过C点时，z取最大值即z _max=2²+ 3×3²=31，由12－z=0，再利用Δ= 0求得，此时，，又即切点再线段AB上，故

(5)的几何意义为在方向上的投影。如图:

由图可知当P点在B点时投影最小，当P点在C点时投影最大。

由此可见，斜率，面积，距离(点到点的距离，点到直线的距离)，投影都时实现非线性目标函数几何化的几种常见的途径。在我们以后的学习中，要引导学生慢慢积累一些几何意义的量，这样有利于用几何意义解决数学问题!