对江西2010年高考压轴题的几点思考
扶呈现
2010年普通高等学校招生全国统一考试江西卷第22题是
证明以下命题:
①对任一正整数a,都存在正整数b,c(b<c),使得a2,b2,c2成等差数列;
②存在无穷多个互不相似的三角形△n,其边长an,bn,cn为正整数且成等差数列。
作为压轴题,本题有很大的难度或技巧,几乎所有的成绩好的考生都认为不知从何下手,就是很多学生和老师看到标准答案都觉得技巧性太强,拼凑性强,答案来得很突然,仿佛在云雾之中。
证明:(试题标准答案)
(1)易知12,52,72成等差数列,则a2,(5a)2,(7a)2也成等差数列,所以对任一正整数a,都存在正整数b= 5a,c= 7a,(b<c),使得a2,b2,c2成等差数列;
(2)若,成等差数列,则有
__
=
__
选取关于n的一个多项式,例如4n(n2-1),使得它可以按两种方式分解因式,由于4n(n2-1)=(2n-2)(2n2+2n)=(2n+ 2)(2n2-2n)
因此令
易验证an,bn,cn满足①,因此成等差数列,
当n≥4时,有an bn cn,且an+ bn-cn= n2-4n+ 1>0
因此以an,bn,cn为边长可以构成三角形,将此三角形记为△n(n》4)其次,任取正整数m,n(m,n≥4,且m≠n),假若三角形△m与△n相似,则有:
。据比例性质有:
所以,由此可得m= n,与假设m≠n矛盾。
即任两个三角形△m与△n互不相似。所以存在无穷多个互不相似的三角形△n,其边长an,bn,cn为正整数,成等差数列。
这种证法留给我们两个问题:
第一,“易知12,52,72成等差数列”,是不易知的。学生的感觉是验证容易发现难,没有头绪。本题解答忽略了一个关键性的问题,你是怎么发现该数组的?还有没有其他的数组?
第二,第2问中“选取一个多项式,例如4n(n2-1),使得它可按两种方式分解因式,——”不太好理解,特别是“令”的两式必须求出的bn是一致的,有很强的拼凑感,不具有推广性。
实际上,由a2,b2,c2成等差数列,设a=1,则有2b2=1+ c2,得c2=2b2-1,故c2为奇数,c为奇数,设c= 2k+1(k∈N+),→b2=2k2+2k+1= k2+(k+ 1)2,
问题转化成求满足该式的一组毕达哥拉斯数(或称勾股数组),取k= 3→b2= 32+ 42=52→b= 5,c=7。故有12,52,72成等差数列。
这当然不是唯一的数组,此问题更深的研究要用到数论的一个性质,
定理一:若m,n互素且m>n,(k∈N+),设x= kmn,,则x,y,z构成毕达哥拉斯数。(即满足x2+ y2= z2的所有正整数解)证明略。
由该定理当k= 1时得到的一些勾股数组如下表:(列出一部分)
考虑到x,y为连续自然数,故x=20,y= 21,z= 29,为满足题意的勾股数组,即可得: b2=202+212=292,→b=29,c= 2×20+1=41。这就得到第二个成等差数列的数组:12,292,412成等差数列。
再继续,可用下面的定理:
定理二:在定理一中,设,则x,y为连续正整数的一个必要条件为:2<t<1+
,或
。
限于篇幅,证明略。
由定理2可使寻找连续数组的过程简化,并得到第三组数:12,1692,2392成等差数列。第四组数:12,9852,13932.成等差数列等。
对于第2问,可由成等差数列,则
,可设
an= An2-Bn+C,cn= An2+ Bn+C(A,B,C∈Z),则:
则只需[A2 n4+(2AC+ B2)n2+C2]为完全平均数,即△= 0→B2+ 4AC= 0,此时bn= An2-C。
令A= 1,C=-1,→B=2,→可得标准答案中的an,bn,cn。
若令A=1,C=-4,B=4,则可得另一组an,bn,cn。事实上可以得到无数组。以下证法相同。
通过上面的研究,我们揭开了题目的面纱,弄清了问题的本质,我们也得到了更一般或更易理解的解法和结论。但我们的研究不能就此为止,事实上在第1问中,我们给出了四组数组,那么是否有无穷多组呢?这是一个新问题,我们可以进一步去探讨。
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