概念教学的有效性研究

概念教学的有效性研究

王贤华

数学概念是数学思维的基本单位，是数学体系的基石，学好数学的前提是学好数学概念，因此概念教学必须得到应有的重视。那么概念教学应如何组织才能更有效呢?

我校老师们在学习和教学过程中，对数学概念的特点、类型及教学过程进行探讨，确定了概念教学有效性的标准以及原则:

一、概念教学有效的标准

1．增进理解(能揭示概念的内涵与外延，正确用符号表示，能弄清不同概念的联系与区别);

2．增进学习结果(经过学习，获得进步);

3．提高学习效率(单位时间内学习的质量得到提高);

4．强化学习体验(在概念形成过程中的积极情感体验);

二、概念教学的原则

1．参与性:学习积极参与教学活动。

2．适度性:在不同的学习阶段有不同的要求。

3．发展性:促进学生的思维发展，心智成熟。

三、概念教学的过程

四、概念的分类

1．原始概念，如:点、线、面、集合等;

2．“种类式”定义的概念，如:正棱柱、钝角等;

3．“发生式”定义的概念，如:椭圆、导数、函数等;

4．约定式定义的概念，如:指数函数等．

五、不同的概念采用不同的教学方法

案例1　复数概念教学的有效性研究

1．人类对数的认识过程的回顾。先回顾数的发展史(到实数为止)，即教材中的“为了计数的需要产生了自然数，为了测量等需要产生了分数，为了刻画具有相反意义的量产生了负数，为了解决度量正方形对角线的长的问题产生了无理数”，等等。上述介绍是按照人们对数的概念的认识过程(顺序)进行的。

在回顾数的发展史时可以对负数、无理数认知的曲折过程进行简要介绍:当人类对数的认识还处于“计数”与“度量”的阶段时，对负数难以理解是很正常的现象，如“－2条狗”究竟是什么意义呢?当数学家们还存在着“分子大于分母的数一定大于分子小于分母的数”这一在正分数范围内的性质时，就更无法理解怎么会出现“”的等式呢?甚至伟大的数学家布莱尼兹也认为这是不可能的。同样，在当人们的思维方式还处于“有限”的时空之中时，当数学家的哲学观念局限于“世间万物皆为数，所有数都是分数”时，对如之类的无理数拒绝接受也是可以理解的了。类似的情况在1545年又一次发生了:意大利数学家卡丹在其著作《大术》一书中给出了这样一个著名的问题:把10分成两个部分，使这两部分之积为40。他称这个问题“显然是不可能的”，因为它马上可导出二次方程x²－10x+40=0，如果用一元二次方程求根公式，则其解可写成的形式，这里的是没有意义的，因为“负数没有平方根”。也就是说，方程x²－10x+ 40=0没有解。提出问题:

问题1　方程x²－10x+ 40=0真的没有解吗?“方程没有解”的意义是什么呢?

问题2　已知，求的值。

以上过程是为了让学生体验到人类的认识过程是一个从简单到复杂、从低级到高级的过程，其间还存在一些为大多数人的认识所难以承受的时段(如无理数、负数等的发现)。由此让学生感受到:首先，数的概念是为了满足人们生活和生产的需要，随着社会的发展而不断发展的;其次，人们对数的了解也是随着人们认识水平的不断提高而逐步深入的;再次，在学科历史发展的特定阶段，人的认知能力可能限制了对客观事物的深刻认识，当一个学科的最高权威的认识能力达不到(或不愿意承认)同时代最先进人物的认识水平时，所谓权威的作为就可能对学科发展起阻碍作用;最后，对数学发展过程中出现的，运用理性思维进行研究探索而形成了认知冲突时，要有科学精神，要以理性精神、发展的观点认识新问题，发展新观念。

2．对方程有解的实质的分析。

提出问题1　我们不妨回顾一下关于方程解的问题:

方程2x=3，对于一个只知道整数的小学生来说一定是没有解的，它真的没有解吗?

方程x+1=0，对于一个只知道非负数的小学生来说一定是没有解的，它真的没有解吗?

方程x²=2，对于一个只知道有理数的初中一年级的学生而言一定是没有解的，它真的没有解吗?

提出问题2　对实数集进行扩充，使得像x(10－x)= 40之类的方程在新的数集中有解，有这个必要吗?

通过上述问题的研究，让学生感受到，对一个方程是否有解，关键是看相对于怎样的数集。可以通过对数集的扩充，使得在原来集合中没有解的方程，在扩充后的集合中可以有解，从而对“方程是否有解”这一问题的本质得到深刻认识，在此基础上产生可以对实数集进行扩充从而使形如x(10－x)= 40的方程有解的初步意识。

3．虚数产生的历史的简要回顾。再回到数学文化背景之下:1572年出版的意大利工程师邦别利(Rafael Bombelli)的著作《代数学》一书中，邦别利运用卡丹(Girolamo Cardano)的三次方程的求根公式(史称卡丹公式)求方程x³= 15x+ 4的解时，求得了它的两个根，而另外一个根写成了这样的形式:

也即，

邦别利发现，这个三次方程显然有一个解x= 4，这说明应该有

而且他试着将也看成一个数，它的平方为－1，再通过非常巧妙的方法探索后发现:

是一个数吗?如果不是数，怎样看待这个“非接受不可”的“事实”呢?这说明:实数集还可以，也很有必要进行扩充的!

提出问题3　怎样对数集进行扩充呢?

4．数学学习中对数的扩展过程的回顾。回顾数学学科中数的扩充过程:

在0和正数组成的集合中增加数－1，并使新增加的负数及原来的数进行加法和乘法运算，这样就使得减法运算不总能施行(小数不能减大数)的问题得到解决。

在有理数集中增加无理数，并使新增加的数及原来的数进行加法和乘法运算，这样就解决了在正有理数集中开平方运算不总能施行的问题。

以从有理数集扩充到无理数集为例作详细回顾:

首先，因为正方形对角线的度量问题，先添加了数，请问:增加了后，这个数集中会增加哪些新的数?

由学生想出增加了、、等数，进而明确扩充数集的基本方法与原则:

(1)每一次数的概念的发展，新的数集都是在原来的数集的基础上“添加”了一种新的数得来的;

(2)在新的数集中，原有的加法与乘法运算律仍然成立。

上述过程的目的是让学生感受到每一次对数集进行扩充，都解决了在原有数集中难以解决的矛盾和问题，并对数集扩充的方式、应遵循的基本原则有所了解。最后提出:

问题4　怎样对实数集进行扩充，能够使得形如x²=－1的方程有解(也即负数可以开平方)呢?

5．实数集的扩充。根据以往的经验，扩充实数集首先要引进新的数，且使得“负数不能开平方”的问题得以解决，所以，我们就先引入一个数，使得它就是－1的平方根!

从上面的过程可以知道，在新的数集中，至少增加了一个不是实数的数，这个数我们记为i，这个数的平方就是－1。

问题5　那么，根据数集扩充的规范，在新数集中还应该有怎样的数呢?请写出几个这样的数。

——引进2i、1+ 2i等形式的数，……

问题6　这些数具有怎样的共同特征?

得到复数的一般形式，并给出准确概念。

引进一个新数i，叫做虚数单位，并规定:

(1)i²=－1;

(2)实数可以和i进行四则运算，进行四则运算时，原有的加法、乘法运算律仍然成立。

根据(1)(2)两个法则，我们可以得到形如a+ bi(a、b为实数)的数，我们将这样的数称作复数，其中a叫做复数的实部，b叫做复数的虚部。

练习1:试写出下列复数的实部和虚部:

－3+ i，2－4i，－6i，－4，3+ 2i，0，－8+ 5i，6

在对实数集进行扩充后，还有一个值得考虑的问题:

问题7　新数集中包含所有的实数吗?

学生思考，并得到:

①当b=0时，复数a+ bi为实数;

②R＞C。

问题8　复数集中除了实数外，还增加了哪些数?

学生思考:虚部b≠0的数。

对复数进行分类，并让学生对复数集、实数集、虚数集及纯虚数集的包含关系进行研究。

练习2:练习1中哪些数是实数?哪些数是虚数?哪些数是纯虚数?

练习3:当实数m为何值时，复数m(m－1)+(m－1)i是:

(1)实数;　　(2)虚数;　　(3)纯虚数?

解决后再问:当m为何值时，这个复数是0，6+ 2i?由此做出两个复数相等的条件这一规定。

练习4:当实数x、y取何值时，(x+ y)+(x－2y)i=(2x－5)+(3x+ y)i．

6．回顾反思。

(1)数集扩充的过程;

(2)复数的有关概念;

(3)复数相等的条件。

7．承前启后。我们已经建立了新的数系:复数系。事实上，当年邦别利在承认负数可以开平方的前提下，得到了和(2－i)³，从而证实了的事实。邦别利在说明这一事实的过程中运用了复数的一些运算法则，这就是我们下节课将要研究的课题:复数的四则运算法则。

8．布置作业。书面作业略。课后再给出下面的阅读材料帮助学生理解虚数i的意义及价值:

如果将数的乘法运算作为一种变换(从几何的角度看，这是合理的)，那么，1的意义即为将向量按逆时针方向旋转360°，其平方根有1和－1，其中平方根1的意义是1²= 1，也即进行两次“将向量按逆时针方向旋转360°”的变换，仍然还原为向量;－1的意义是(－1)²= 1，－1表示的变换为将向量按逆时针方向旋转180°，而(－1)²=(－1)×(－1)即表示将向量按逆时针方向旋转180°，再旋转180°，于是向量也回到原来位置。

至此，我们就了解了1的平方根的几何意义:能经过两次相同变换后，使向量回到原来位置。

于是，－1的平方根的几何意义就应该是:经过两次相同的变换后，使向量变成其相反向量，故而可以发现i的几何意义为:将向量旋转90°!

虚数的这种具有旋转意义的几何意义将在数学与应用中发挥巨大的作用!

点评:复数是一个约定式定义的概念。在教学过程中要让学生在学习过程中，在认知冲突中体验到由实数推广到复数是必要的、是合理的。

根据复数的特点，从数学发展史引入新课是有效的。让学生体验到人类的认识过程是一个从简单到复杂、从低级到高级的过程。首先，数的概念是为了满足人们生产和生活的需要，随着社会发展而逐步提高对数的认识，权威的作为对科学的发展有时起阻碍作用，这就要求出现认识冲突时，要用科学精神、发展的观点认识新问题。我们认识到此类概念应让学生体验到，约定应合理必须是有效概念教学的前提条件。

如何揭示复数概念的内涵和外延，让学生能够举一反三，正确理解复数概念以及概念巩固提高，是有效教学的又一重要环节，我们通过“问题串”的方法，设置问题，层层递进，优化课堂结构，提高课堂效率，培养学生的思维品质。

本课通过数的扩充，将虚数的学习基于“逻辑”的探究，思维过程中在学生的认同心理下进行有效学习。这样的探究应在老师的引领下进行，学生自己的建构是十分困难的。

有效的概念教学应抓好教学的几个重要环节，如此课的概念形成中设计“问题串”是一种很好的策略，老师们在教学过程中注意到“问题串”的设置要满足四个条件:(1)符合知识间的内在联系，注意层次性;(2)符合学生自主建构，注意问题的合理性;(3)指向一个目标;(4)要在最近发展区设置问题。

案例2　二次函数的图像和性质有效性研究

1．创设情景，引入课题。播放投篮及跳水视频，让学生意识到生活当中处处存在抛物线。

［设计意图］:通过学生熟悉的实际生活问题引入课题，为新课的学习创设意境，拉近数学与现实的距离，激发学生求知欲，调动学生主动参与的积极性。

2．提出问题，分析问题，解决问题，得出结论

Q1．在同一平面直角坐标系中画出y= x²和y= 2x²的图像，并指出它们图像之间的关系。

引导学生分析:(先列表)要得到2x²的值，只要把相应的x²的值扩大为原来的2倍就可以了。所以y=2x²的图像可由y= x²的图像上各点的纵坐标变为原来的2倍得到。

(教师课件演示、验证)

引导学生归纳出结论1:

二次函数y= ax²(a≠0)的图像可由y= x²的图像上各点的纵坐标变为原来的a倍得到;

当a越大(a＞0)抛物线的开口越小，开口方向向上

［思维拓展］:函数y= f(x)图像横坐标不变，纵坐标变为原来的A倍即可得到y= Af(x)(A＞0)的图像。

Q2．在同一平面直角坐标系中画出y=2x²和y= 2(x+1)²+ 3的图像，并指出它们图像之间的关系。

(先让学生自己动手画函数图像，找出图像之间的关系，然后教师课件演示)

引导学生归纳出结论2:

二次函数y= a(x+ h)²+ k(a≠0)，a决定二次函数的开口大小和方向;h决定二次函数的左右平移，而且“h正左移，h负右移”;k决定二次函数的上下平移，而且“k正上移，k负下移”。

［思维拓展］:y= f(x)……y= f(x+ h)

①当h＞0，图像向左平移h个单位

②当h＜0，图像向右平移|h|个单位

y= f(x)……y= f(x)+ k

①当k＞0，图像向左平移k个单位

③当k＜0，图像向右平移|k|个单位

Q3．在同一平面直角坐标系中画出y= 2x²和y= 2x²+ 4x－1的图像，并指出它们图像之间的关系。

引导学生先将y= 2x²+4x－1进行配方，然后运用Q2的方法画出函数图像。

结论3:一般的，二次函数y= ax²+ bx+ c(a≠0)通过配方可以得到它的横等形式y= a(x+ h)²+ k，从而知道，由y= ax²的图像如何平移就得到它y= ax²+ bx+ c(a≠0)的图像。

3．例题讲解。

例1:(书上例题)

4．小结。

5．课后反思。在同一平面直角坐标系中画出和的图像，并指出它们之间的关系。

［设计意图］:让学生通过具体的函数来进一步理解思维拓展中抽象函数的平移问题。

点评:

案例3　“几何概型”教学有效性的研究

图1

图2

1．复习旧知引入新课。

问题1　一个靶子如图1所示，飞镖手随机地掷一个飞镖扎在靶子上(不含脱靶)，假设飞镖既不会落在靶心，也不会落在两个区域之间。求飞镖落在4号区域的概率。

归纳出几何概型的特征:①进行一次试验相当于向一个几何体G中取一点;

②对G内任意子集，事件“点取自g”的概率与g的测度(长度、面积或体积)成正比，而与g在G中的位置、形状无关。

问题2　你能列举一个看似几何概型，但是实际上不是几何概型的反例吗?

归纳出几何概型的计算公式:

问题3　课本例题1为什么不用面积比而用长度比?

问题4　假设你家订了一份报纸，送报人可能在早上6∶30～7∶30之间把报纸送到你家，你父亲离开家去工作的时间在早上7∶00～8∶00之间。问你父亲离开家前能得到报纸(称为事件A)的概率是多少?

问题5　甲、乙、丙三人定于6～7点之间在某地约会，已知他们三人都不会违背约定，但是他们到达会面地点的具体时间不确定，求甲第一个到，丙第三个到的概率?

点评:本案例利用以旧引新的方法，让学生在认知冲突中引入新课，通过观察、分析、归纳得到几何概型的特征，进而得出计算公式，使学生对知识的发生、发展过程有切身的感受和清晰的理解。同时提高了教学效果，培养了学生的创新能力和实践能力，学生的才智和各种潜能也得到充分的展示。

问题的设置合情合理、循序渐进，逐步加强认识。有效概率教学的重要环节之一是引入新课，老师们在教学中总结出概念引入的几种常见方法:

(1)设置情景引入;

(2)复习旧知引入;

(3)故事引入;

(4)实验引入。