浅谈高三复习中的母题教学

时间：2023-03-09 理论教育版权反馈

【摘要】：在高考复习中，具有代表性的“某种题型，某类题目”常被人们称之为“母题”。首先母题题组教学可使学生理解和掌握基本规律更为容易。展示母题，重温和复习解决母题问题中的基本知识点和基本方法。如此看来母题教学能有效地提高学生解题的思维能力，很好地培养学生发散思维和创新思维，又能大大提高了复习效率，在我们平时的复习教学中需多关注母题教学。

浅谈高三复习中的母题教学——以“等时圆”为例

舒　英

在高中物理教学中，习题教学一直都被重视。尤其是进入高考复习阶段，面对着大量的练习，该如何使学生从茫茫题海中解脱出来，使老师教的轻松，学生做的轻松，更好地做好高考复习工作，提高复习效率呢，在此母题教学起到举足轻重的作用。

一、何为“母题”

在高考复习中，具有代表性的“某种题型，某类题目”常被人们称之为“母题”。这些“母题”往往具有共同的结果或运用相同的物理规律和解题思路，并且具有启发性和发散性。例如双星系统、板块模型、人船模型、绳子连接体、杆子连接体、“等时圆”等。

二、母题的意义

首先母题题组教学可使学生理解和掌握基本规律更为容易。因为母题题组一般能很好地有机地将若干知识点、基本概念和基本规律组合在一起，构成一个完整的体系，并且能做到以不变应万变，而万变不离其宗。

其次通过掌握母题的特点，还能使学生在分析研究新的问题时能找到一种似曾相识的感觉，并找到一个具体的东西做参考系与之比较进行分析判断，找到新问题与母题之间的联系和共同点，从而可以借鉴母题的分析方法，大大提高思维的准确度和效率。

另外母题题组教学可训练学生的发散思维，运用得当的话会起到举一反三，迁移组合知识和能力的效果。

三、母题教学程序

母题教学程序一般可分为四步。下面就以“等时圆”母题教学为例谈谈母题教学程序。

图1

图2

第一步:母题基础分析

展示母题，重温和复习解决母题问题中的基本知识点和基本方法。教师引导和帮助学生唤醒记忆。能找到求解母题的基本思路。

例:在“等时圆”母题的教学中，首先教师给学生展示母题。如图1、2所示，A、B、C、D是竖直面内圆上的四点，而AB、AC、AD是三根光滑细杆，其中AD是圆的竖直直径。当每根杆上套着一个光滑小滑环，三个同时从A点释放(图1)或分别从B、C、D处同时释放(图2)。则三个小环滑到B、C、D三点(图1)或到A点(图2)所用的时间关系如何。

此时教师引导学生回忆这个母题中涉及的是什么基本知识点，用什么物理规律和物理方法可以求解。

通过分析，小环在光滑杆上做匀加速直线运动，该题为牛顿第二定律应用的问题——已知受力求运动类型。

第二步:母题展开

对母题进行展开求解并对其中的可能出现的变型进行判别和总结。

例:“等时圆”母题展开

母题求解(以图1为例):

图1

选任一小环为研究对象，分析其受力。如图所示。设圆的半径为R，BD与竖直方向的夹角为θ，由牛顿第二定律:

mg cosθ=ma

再由几何关系可得细杆的长度为L=2R cosθ

设下滑时间为t，则

由以上三式可得

即:沿光滑弦下滑所用的时间等于沿竖直直径做自由落体运动所用的时间。

图3

母题变型:如图3，圆O₁，O₂相切于P，O₁，O₂的连线为以竖直线，过P点有两条光滑的轨道AB、CD，两个小物体由静止开始分别沿AB、CD下滑，下滑时间分别为t₁，t₂，则t₁，t₂的关系是怎样的?

解析:选物体沿AB下滑的全过程，设圆O₁的半径为r，O₂的半径为R，设AB与竖直直径的夹角为θ，由几何关系可知:AB的长度为

L= 2(R+ r)cosθ

由牛顿第二定律:

mg cosθ=ma

设下滑时间为t，则

由以上三式可得

第三步:子题题组巩固

教师选择切合学生实际的，既能给学生以成就感，又具有挑战性，具有梯度和代表性的子题组对母题进行练习巩固。

例:“等时圆”子题组

1．显性“等时圆”(题中有可以直接观察到等时圆)。

图4

子题1－1:如图4，位于竖直平面内的固定光滑圆轨道与水平面相切于M点，与竖直墙相切于点A，竖直墙上另一点B与M的连线和水平面的夹角为60°，C是圆环轨道的圆心，D是圆环上与M靠得很近的一点(DM远小于CM)。已知在同一时刻:a、b两球分别由A、B两点从静止开始沿光滑倾斜直轨道运动到M点; c球由C点自由下落到M点;d球从D点静止出发沿圆环运动到M点。则:(　　)

A．a球最先到达M点　　B．b球最先到达M点

C．c球最先到达M点　　D．d球最先到达M点

解析:设圆轨道半径为R，根据“等时圆”理论可知

而由等时圆理论B点所在的圆半径更大∴t_b＞t_a

c做自由落体运动　　

d球滚下是一个单摆模型，摆长为R，由单摆的周期公式可得

对比可知c球用时最短。C选项正确，

图5

2．隐性“等时圆”(须通过等效、类比进行自建的等时圆)。

子题2－1:如图所示，AC为竖直墙壁，BC为一斜坡，现将一块光滑板AP搁在墙与斜坡之间，且PC= AC= l．现在A点放一小物体，让它从静止开始下滑，则该物体滑到P点所用时间为(　　)

A．　　B.

C．　　D．以上均错

解析:根据题中信息PC= AC= l，可以借助“等时圆”模型解决:以C为圆心，CA为竖直半径作圆，可知，AB为圆上的弦。则从A到B的时间等于从A到D做自由落体运动的时间．而AD= 2l，所用时间为

图6

3．疑似“等时圆”。

子题3－1:如图7所示，Oa、Ob、Oc是竖直平面内三根固定的光滑细杆，O、a、b、c、d位于同一圆周上，d点为圆周的最高点，c点为最低点．每根杆上都套有一个小滑环(图中未画出)，三个滑环都从O点无初速释放，用t₁、t₂、t₃，依次表示滑环到达a、b、c所用的时间，则(　　)

A．t₁= t₂= t₃　　B．t₁＞t₂＞t₃

C．t₁＜t₂＜t₃　　D．t₃＞t₁＞t₂

解析:题目中的圆显然不是等时圆，但跟等时圆很相似，所以，可根据题意构建以O点为圆最高点的真正等时圆。为了有可比性，取Ob为弦，竖直线Oe为直径作出等时圆(如图8)，其中物体滑到f、b、c＇的时间相等，比较a和f的关系及c和c＇、的关系易知t₁＞t₂＞t₃

图7

图8

拓展:如果物体从O点静止沿轨道滑到如图9中的1、2、3、4、5、6…时，时间该如何变化?在这可以引入若干个半径不同但都是以O为最高点的等时圆(如图10)，通过圆的大小既可看出时间关系。

第四步:总结提升

教师引导学生从知识点、物理科学思维方法、常见变型进行整理、归纳该母题的特点及结论。根据对等时圆母题组的求解和分析可知，只要质点是在一竖直平面内的圆上，沿着从圆的最高点到圆上任意点的弦(或者从圆上任意点到圆的最低点)无初速无摩擦的滑下，则该质点运动到圆上的点(或最低点)所用的时间是确定的，用时为(R为该圆半径)。若是在圆上任意两点滑动，则所用时与较高点向下到较低点之间的弧长有关，弧长越长时间就越长。