可拓学的思想及理论方法

5.1.3　可拓学的思想及理论方法

1983年，蔡文教授在科学探索报上发表了一篇文章《可拓集合与不相容问题》，又在1994年由科学技术文献出版社出版了他的著作《物元模型及其应用》，标志着我国的一门原创性科学—可拓学的诞生。^{[9、14、24]}经过20多年的无数专家的不懈探索，可拓学已经应用到工业、农业、军事、经济、生物、医学等领域。可拓学用形式化的工具，从定性与定量两个角度去研究解决矛盾问题的规律和方法，其理论支柱是物元理论和可拓集合理论，逻辑细胞是物元。

1．可拓学相关的概念

可拓学主要涉及物元、可拓集合、关联函数等相关概念：

（1）物元。人们通过大量的实例发现，处理矛盾时，必须将事物、特征及相应的量值一起来考虑，才能更贴切地描述客观事物变化过程，构思出解决矛盾的方法，把解决矛盾问题的过程形式化。为此可拓学理论引入了有事物、特征和相应量值构成的三元组—物元，作为描述事物的基本元素。以给定事物的名称N，特征c和关于特征的量值v组成有序三元组作为描述事物

R=(N,c,v)

的基本元，简称物元。其中，v由N和c确定，记作

v=c(N)

一个事物有多个特征，如果事物N以n个特征c₁，c₂，…，c_n和相应的量值v₁，v₂，…，v_n描述，则表示为

要解决矛盾问题，必须对目的和条件进行改变，事物的变化称为可拓，事物变化的可能性叫做可拓性。事物的可拓性由物元的可拓性来描述。物元的可拓性包括物元的发散性、共扼性、相关性、蕴含性和可扩性。它从事物向外、向内、平行、变通和组合分解的角度提供了多条变换的可能路径，成为解决矛盾的依据。

物元的可拓性提出了解决矛盾问题的若干途径，而解决问题的技术则是物元变换。物元变换实际上就是对其事物要素、特征和量值的变换或它们的组合。物元变换主要有积、逆、与、或四种基本运算，基本变换形式有置换、分解、增删和扩缩四种情况。

物元理论的核心就是研究物元的可拓性和物元的变换及其性质，它通过物元的发散性、可扩性、共扼性、蕴含性及相关性来研究物元的可拓性，并形成基本可拓方法。物元理论对事物结构的认识主要集中在对物元共扼性的研究上，它把虚实、软硬、潜显和负正及它们的转换看成解决问题的又一途径。物元理论还研究物元的变换，包括物元变换的条件、路径和方法。通过物元变换，来寻求解决问题的方法，协调产生冲突的系统。物元理论提出，便于用形式化语言描述事物变化，使我们既能够利用这种因果关系去制定解决问题的方案，又可以利用物元变换的传导性去预防事物变化可能引起的副作用。

（2）可拓集合。集合论是描述人脑思维对客观事物分类和识别的数学方法。客观事物是复杂的，处于不断运动和变化之中，因此，人脑思维对客观事物的识别和分类并不是只有一个模式，而应该是多种形式的。所以描述这种识别和分类的集合论也不应是唯一的，也是多样的。

1983年，蔡文提出了可拓集合的概念，从而使集合论出现崭新的格局。对给定的论域U与给定的性质P，造集的过程，主要是人们对元素u∈U与性质P之间的关系的识别过程，这个识别过程根据不同的要求可以是不同的，它表现为对这个识别过程附加不同的准则，由于准则不同，也就得到不同的集合概念。经典集合用0和1两个数来描述事物具有某种性质或不具有某种性质；模糊集合用隶属度（从0到1）表示事物具有某种性质的程度；可拓集合则用取自(﹣∞，﹢∞)的实数来表示事物具有某种性质的程度，正数表示具有该性质的程度，负数表示不具有该性质的程度，零则表示事物既具有该性质又不具有该性质的性质，如一只脚在门内，一只脚在门外的人属于“门内的人”的集合的程度为零。

可拓集合是建立在下列准则的基础上的，即只允许考虑如下4个命题：元素u（u∈U）具有性质P；元素u（u∈U）不具有性质P；可使原来不具有性质P的元素变为具有性质P；元素u（u∈U）具有性质P，又不具有性质P。对每一个元素，上述4个命题中的某一个成立，在这个准则下建立起来的集合就是可拓集合。

经典集合研究事物的精确性，模糊集合研究事物的模糊性，可拓集合研究事物的可变性。可拓集合与经典集合、模糊集合的根本区别在于：①可拓域描述了元素从不具有性质P转化到具有性质P,这是质的改变。②零界元素描述了质变的临界点，零界元素既有性质P,又不具有性质P，如一只脚在门内，一只脚在门外的人既属于门内的人的集合，又属于门外的人集合。可拓集合既可描述量变，也可描述质变，不跨越零界的变化是量变，跨越零界产生质变。③当可拓集合的元素是物元时，就成为物元可拓集。它把质与量结合在一起进行研究，定量地描述事物的变化和事物具有性质P的程度的变化之间的关系。

（3）关联函数。了解关联函数前先介绍一下距和位值的概念。

把传统的经典数学中点与点之间的距离扩展到点与区间的距离就是距，以作为把定性描述扩大到定量描述的基础。规定实轴上点x，x∈(﹣∞，﹢∞)与区间X₀=〈a，b〉之距为：

当x在X₀=〈a，b〉之外时，ρ(x₀,X₀)与经典数学中的点与区间的距离d的概念相同，即ρ(x₀,X₀)=d，d是离x最近的区间端点与x的距离；当x在X₀=〈a，b〉之内时，经典数学认为点与区间的距离d=0，而可拓学中，点x与区间X₀=〈a，b〉之间的距为负值，负值的大小不同表示点在区间内位置的不同。

在可拓学中除了考虑点与一个区间之间的关系，还要考虑点与两个区间的关系。点与两个区间之间的关系用位置值来描述，称为位值。设X₀=〈a，b〉，X=〈c，d〉，且X₀∈X，则点x关于X₀，X的位值为：

可见，若X₀∈X，且无公共端点，则D(x，X₀，X)＜0，若X₀与X有公共端点，则D(x，X₀，X)≤0。

在上述两个概念的基础上，可拓学建立了关联函数的概念，即在条件X₀=〈a，b〉，X=〈c，d〉，且X₀∈X下，关联函数为：

关联函数把论域中的元素映射到实轴上，当关联函数大于零，表示该元素具有此性质；当关联函数小于零，表示该元素不具有该性质；当关联函数等于零，表示该元素既具有该性质，又不具有该性质，为零界元素。通过关联函数，可以定量地描述任意元素关于正域和负域的程度，而且对同一域的元素，也可以通过关联函数的大小区分出不同的层次。

2．可拓学的应用

可拓诊断方法，是利用新学科可拓学的特有方法—可拓方法进行系统诊断的一种有效方法。应用该方法，首先进行系统现状问题分析，可使人们透彻了解系统，发现系统中的意外情况和薄弱环节，定性与定量相结合地评价各种故障发生的程度，使人们按一定的程序或规律去诊断问题的成因及发生问题及不足的程度。它提供给人们一种基于客观真实的手段去剖析系统的设计，判断系统的变化，以准确地进行系统诊断的方法，这种方法比一般统计方法查找差距要更为准确、更为可靠。本论文试图将可拓诊断方法应用到网球技、战术水平诊断中，结合定性与定量分析方法，从中寻求突破手段，真正将先进的网球训练理论和方法手段融入到女子双打训练中。可拓学思想在解决现实问题中有其本身的特色，使得它的应用更能切合实际，更能得到可行的方案。可拓学的应用通过以下路径实现：

（1）物元模型化的抽象方法。可拓学方法引入物元概念，它是由事物、特征以及事物关于各个特征的量值三者所组成的三元组，用于反映质与量之间的关系。该概念可以更贴切地描述客观事物变化的过程，其中蕴涵着低级到高级、从简单到复杂的可能性，从而为解决矛盾问题的形式化提供可行工具。虽然数学模型在当代科学技术各个领域中都发挥着越来越大的作用，但也应当看到，数学建模的抽象过程，只考虑数量关系和空间形式，尤其难以顾及现实问题中的中介状态和质变过程，使得不少实际问题经过数学抽象后，只能用矛盾问题和矛盾不等式来描述，难以进一步求解。但是实际上，这些问题是可以求解的，而是因为不恰当的模型造成的。可拓学中的物元模型是将现实问题给以物元表述的物元关系式，并采用特定的形式化工具和可操作的推理方法，制定开拓方案和评价方案，最终可以求解。本文在研究中试图将我国优秀网球女双选手的现状以及国际优秀选手的水平用物元概念进行描述，以便更贴切的对我国选手的成长变化过程进行分析。可以说，从物元模型的角度看，大量矛盾问题都是伪矛盾问题。

（2）定性与定量方法相结合。在利用物元模型解决矛盾问题的过程中，既可以利用物元的可拓性定性地确定解决问题的方向与途径，又可以利用可拓集合论，通过关联函数进行定量计算。可拓方法能使定性与定量得到较好的综合形式。例如可拓集合中，可拓域描述了元素从是转化为非，或从非转化为是，这是质的改变。而零界元素描述的则是质变的临界点，跨越零界产生质变，不跨越零界则是量变。关联函数能表示事物具有某性质的程度及其变化。

（3）思维过程的开放性。可拓学虽然采取了形式化方法和一定的推理过程来解决问题，但是并不像经典数学方法那样僵硬，要求推理贯彻到底，以确保整个过程的严密性，它在有些地方，保留了一定的开放环节，以便人脑充分发挥创造性思维潜力，它也可以随时注意吸取经验成分，以修正不合理的模型，使问题获得更切实的解决。同时，可拓方法具有开放性（或非封闭性），它可以也必然和其他的专业方法兼容并用，取长补短，相得益彰。