寻找典型习题导入法

三、寻找典型习题导入法

学生有问题，才会去思考，而数学习题正是训练学生思维能力的一个良好途径。寻找典型习题导入情境，特别是思维的情境，可以引发学生思维。给学生创设一定的课堂情境，更能激发学生的求知欲望，激活学生的思维。例如：

具体问题情境：一个边长为6cm的正三角形，顺次连接正三角形各边中点，构成一个新的正三角形，将新的三角形涂上阴影，并将此过程重复进行，如图5-5所示。

图5-5　正三角型的变化

问题：如果将此过程重复3次，阴影部分的面积、周长是多少？

分析　将边长为6cm的正三角形按要求反复3次，得到新的正三角形的边长为 cm，高为• cm，则阴影部分面积为：S＝×××＝（cm²），阴影部分的周长为：C＝3×（cm）。

引申1（同类问题情境）：如果正三角形的边长为a，按上面的作法重复3次，阴影部分的面积、周长是多少？

分析　将边长为a的正三角形按要求反复3次，得到新的正三角形的边长为，高为•，则阴影部分面积为：S＝×××＝，阴影部分的周长为：C＝3×。

引申2（数列、极限问题情境）：如果将此过程重复n（n→∞）次，阴影部分的面积是多少？阴影部分的周长是多少？

分析　将此过程进行n次，则得到新的正三角形的边长为 cm，高为• cm，则阴影部分面积和周长为：S＝×××＝（cm²），C＝3×，当n→∞时，S为0，C为0。

引申3（雪花曲线情境）：图5-6①为等边三角形，把三角形的每条边三等分，并在每条边三等分后的中段向外作新的等边三角形，再像图5-6②那样去掉与原三角形叠合的边；接着对每个边继续上述过程，即在每条边三等分后的中段，像图5-6③那样向外画新的凸出图形；不断重复这样的过程，便产生了雪花曲线。这样得到的图形其面积和周长将发生什么变化？

图5-6　雪花曲线情境

得到结论：（1）设原三角形面积为A₀，探求雪花曲线面积的一般公式为：S＝ A₀。

（2）观察雪花曲线，发现令人惊异的一个性质是：它具有有限的面积，但却有着无限的周长！雪花曲线的周长持续增加而没有界限，但整条曲线却可以画在一张很小的纸上，所以它的面积是有限的，其面积等于原三角形面积的倍。

问题反思：按上述规律，如果向内作正三角形，所得到的雪花曲线称为反雪花曲线，试作出类似图5-6②、③的反雪花曲线。留给有兴趣学生自己课后进一步思考。

引申4（自我创新情境）：自己能否设计一个类似的，其中部分面积按某种规律减少的几何图形？如在一个正三角形内作一个内切圆，再作内切圆的内接正三角形，如此重复得图5-7。

图5-7　自我创新情境

提出新问题：

如图5-8所示，如果原始正三角形的边长为1，对于图5-8①，再分别连接其白三角形三边中点，得到图5-8②；并按这样的方法继续下去，可得到图5-8③……

图5-8　提出新问题

试问：把图5-8②的黑三角形部分挖去，则剩下白三角形的个数是多少，它们的周长，面积各是多少？第n个图形的黑三角形个数是多少？它们的周长、面积各是多少？

分析　白三角形的个数为9个；由原始正三角形的边长为1，得到原始正三角形的面积为，因为图5-8①分割成4个小三角形全等，所以图5-8①白三角形的面积为•，同理得到图5-8②白三角形的周长为，面积为•。进一步可得各图形的黑三角形的个数、周长、面积分别如表5-1所示：

表5-1　各图形黑三角形的个数、周长、面积