平行四边形的面积与长方形的长有什么关系？

合作探究　动手实践——“平行四边形的面积”教学案例

邹文倩

数学教学是数学活动的教学，是师生之间、学生之间交往互动与共同发展的过程。建构主义提倡在教师指导下的、以学习者为中心的学习。如何指导学生进行有效的课堂探究活动，如何最大限度地拓宽学生探究的空间，如何组织好学生的数学学习活动，是我一直以来重点思考的问题。

案例背景：

教学内容是九年制义务教育第十册的“平行四边形的面积”。课前，学生只学了长方形、正方形面积计算，而平行四边形在他们的头脑中还是个直观模型，有关平行四边形特征等知识一无所知。鉴于上述情况，我对教学进行必要的知识铺垫，以利于这次探索活动有效地开展，并在教学设计中尽量为学生创设“合作交流，自主探索”的空间。

平行四边形面积的计算，是在学生掌握了长方形和正方形的面积计算，对平行四边形有了初步的认识，清楚了其特征及底和高的概念的基础上进行教学的。若想使学生理解掌握好平行四边形面积公式，必须以长方形的面积和平行四边形的底和高为基础，运用迁移和同化理论，使平行四边形面积的计算公式这一新知识，纳入到原有的认知结构之中。另外，掌握平行四边形面积公式的推导方法，对后面学习其他图形的面积计算会起到积极的迁移作用。

以前教“平行四边形的面积”，我重点借助剪、拼的方法，利用形变积不变的道理，把平行四边形转化为长方形，从而推导出平行四边形的计算公式。以往教学时，我让学生动手剪、拼，把平行四边形拼成了长方形之后，我就开始下面的启发式提问：①平行四边形的底与长方形的长有什么关系？②平行四边形的高与长方形的宽有什么关系？③转化前后两图形之间什么没有变？启发学生讨论，回答。这样组织教学，学生一般都能得出正确结论，课堂教学进程是一帆风顺的，“效果”是好的。可是我发现在这种看似良好的效果背后，却潜伏着不小的危机：在这样的课堂中，问题由教师提出，思维的路线由教师操纵，学生究竟有多少自主学习的成分呢？若长此以往，学生只能成为解决问题的高手，而不是发现问题、提出问题的高手。我们知道，创造源自问题，这样的教育培养出的学生还有创造性吗？

教学实录（一）：

在此次教学时，我设计了这样一个情景：公园准备在一块平行四边形的空地上铺草坪，如何计算这块空地的面积？这样安排的目的是让学生面对一个新的问题，主动思考如何去解决，从而使学生感到学习新知识的必要性。在随后的面积计算的讨论中，学生根据自身知识基础提出两种解决的方案：一种是通过数格子的方法，数出这个平行四边形的面积，一种是通过剪与拼的活动，将平行四边形转化为长方形，然后计算出面积，并且在讨论剪拼方法时出现了以下师生互动，生生互动的教学场面：

师：你们是怎么想的？

生1：把多的一块剪下来拼过去，正好是一个长方形，面积是24平方厘米。

生2：在图形中间划出一个长方形，面积是18平方厘米，再把两边的三角形拼在一起，面积是6平方厘米，一共是24平方厘米。

生3：把左边的小三角形剪下来补在右边也正好是个长方形，面积是24平方厘米。

PPT出示学生的想法。

并问：比较一下，平行四边形的面积与长方形面积大小如何？

生1：我用数方格的方法：长方形有8×3＝24个小方格，而平行四边形里有18整格，加上边上合起来的6格，也是24个方格，平行四边形面积和长方形面积同样大。

生2：我把平行四边形左边割下的一个三角形，补到右边，就得到一个长方形，得到的长方形面积是24个方格，所以，平行四边形的面积也是24个方格，两个图形的面积大小相同。

师：把平行四边形割补成长方形，图形的什么变了，什么没有变？

生：图形的形状变了，面积大小没有变。

师：说得好！我们把割下的一块没有扔掉，而补在这里，正好得到一个长方形，图形的形状变了，但面积没有变。所以，原来的平行四边形的面积是24个小方格。两个图形的面积一样大。

最后，让学生观察平行四边形与长方形的关系，从中推导出计算平行四边形面积的公式。在探索活动中，使学生发现并理解平行四边形面积的计算方法，体现了学习的“真谛”。

反思：

现代建构主义认为，知识并不能简单地由教师或其他人传授给学生而只能由每个学生依据自身已有的知识和经验主动地加以建构。所谓对新的学习材料的“理解”，就是学习者依据自身的已有知识和经验去解释新材料，使新材料与主体的已有知识、经验之间建立起实质性的、非任意的联系。在上述教学场面中，我对学生用割补的方法给予肯定，为的是让学生在探究平行四边形的面积计算方法时能产生学习的正迁移。让学生比较两个图形面积的大小，学生很快就能用数小方格的方法和“割补”法，为下面推导出平行四边形的面积公式奠定了关键性的一步。但我觉得这节课在引导学生推导平行四边形面积公式时铺垫、暗示还是多了点，如果抽掉那些铺垫，直接让学生把一个平行四边形剪拼成长方形，这时课堂上又会是怎样的情景呢？我期待着又一次的教学实践。

教学实录（二）：

经过思考，第二天在另一个班上这一内容时，我决定给学生更多的自主探索的空间。请看下面的教学场面：

师：刚才同学们用“割补”法将平行四边形转化成长方形，比出了两个图形面积的大小，是不是所有的平行四边形都能用割补的方法转化成长方形呢？请同学们拿出各自的平行四边形纸片，动手剪剪拼拼，看看行不行？

学生进行操作实践，加以验证。

师：你们手中的平行四边形能不能转化成长方形？谁愿意上讲台演示给大家看？

学生争着前来演示，沿着平行四边形的高剪开，拼成长方形。

学生演示时，教师追问学生：是沿着哪一条线剪的？

生：沿着平行四边形的高剪开的。

师：为什么要沿着高剪？

生：因为长方形的四个角都是直角，不沿着高剪，就拼不成一个长方形。

师：由此看来，对于任何一个平行四边形都可以转化成一个长方形，长方形的面积你们已经会计算了，现在，你们能算出手中的平行四边形面积吗？

有的学生在量着，有的则愣着，有的忍不住抱怨着：它没有告诉什么呀，怎么算？我悄悄地走过去，小声地问：你希望告诉你什么，你就能算了，你有办法自己去知道需要的条件吗？得到启发，该生也拿尺量了起来。

全班交流自己的结果。

生：我量得我手中的平行四边形的底是6cm，高是4cm，所以面积是6×4＝24（平方厘米）。

师：你能不能告诉大家，计算平行四边形的面积为什么用平行四边形的底乘高？

生：因为用割补的方法把平行四边形转化成长方形，面积不变。我发现长方形的长相当于平行四边形的底，宽相当于平行四边形的高，所以平行四边形的面积是底乘高。

结合学生的回答，板书：

长方形面积＝长×宽

平行四边形面积＝底×高

……

反思：

对于如何概括出求平行四边形面积的公式，我没有像以前那样由教师提出一个个小问题，然后学生回答，从而得出公式，而是直接先让学生计算手中的平行四边形的面积。如何计算平行四边形的面积呢？这一问题对学生来说具有极大的挑战性。学生居然算出来了，这说明学生的潜力是巨大的。课堂上一定要让学生积极地独立思考，自主探究。如果教师牵着学生走，铺垫太多，会妨碍学生独立思考，不利于学生的发展。平行四边形的面积学生既然求出来了，归纳求平行四边形面积的公式也就水到渠成了。

整节课，我以活动为主线，以学生为主体，形成了学生自悟加教师引导的教学相长的学习氛围，学生的自主探究活动始终贯穿于整个课堂。通过活动，学生“学数学、做数学、用数学”，学生的能力在活动中得到了发展，知识体系的建构也就顺理成章，水到渠成，教学自然能取得较好的效果。这也正是我所追求的。