学生数学心智水平分析的理论模型

一、学生数学心智水平分析的理论模型

(一)数学理解成长模型

S.E.B.Pirie和T.E.Kieren在1992年提出了数学理解成长模型,将数学理解由低到高分为八个水平,即初始认知(Primitive Knowing)、制造表象(Image Making)、拥有表象(Image Having)、关注性质(Property Noticing)、形式化(Formalizing)、观察(Observing)、结构化(Structuring)和发现创造(Inventising)。这八个水平的关系可以用八个嵌套式的圆来表示,每一个圆表示一个水平,随着数学理解水平增高所表示圆的半径依次增大,层层嵌套向外扩延(图6-3)^[5]。

图6-3　S.E.B.Pirie和T.E.Kieren的数学理解成长模型图

第一层水平“初始认知”,是数学理解的起始点,指学习新知或解决新问题时学生心中已有的相关想法。

第二层水平“制造表象”,指通过图像或符号等多种表征形式,让学生在头脑中存有事物的表象,它是数学思维活动的素材,也是掌握数学概念的基础。例如,将一张长方形的纸看作一个单位,那么这个单位就是一种表象,用此表象连续折出等新单位,就可以说学生达到了“制造表象”的理解水平。

第三层水平“拥有表象”,指拥有心理物件以替代具体操作性的活动,即不借助实际教具的操作就能进行数学思维活动。例如,如果学生直接用语言描述出“将一张A4纸作为一个单位,经过对折后所得到的一个区块的大小就代表分数”,那么学生就达到了“拥有表象”的理解水平。

第四层水平“关注性质”,指用某些特定的性质来检验表象,如区别、组合和联结表象;预测上述表象的区别、组合与联结是否能达成;记录上述区别、组合与联结之间的关系。例如,当给定一个分数(如)能找到一连串的等值分数(如……),那么学生就达到了“关注性质”的理解水平。

第五层水平“形式化”,指学生能有意识地思考到本质或从先前的表象中抽象出共同的特质。例如,当学生回答“一半”时,能说出“任何数除以2所得的数”,这样学生不依赖于表象而建立起相似属性的类集合,就可认为其达到了“形式化”的理解水平。

第六层水平“观察”,指学生能形式化并组织自己的观察。例如,根据连续对折5次得到,且对折次数越多分数的值会越小,如果学生能观察得出“在所有的半数中,实际上没有最小的半数”,那么学生就达到了“观察”的理解水平。

第七层水平“结构化”,指能意识到自己的基本假设和一系列的观察并能逻辑化地建立相互之间的关系。例如,分数的加法不只是分数“量”的组合,更是一个分数“类”与另一个分数“类”组合成一个新的分数“类”。如果学生能认识这种形式化等价的特质就达到了“结构化”的理解水平。

第八层水平“发现创造”,指能自由地想象,拥有完全结构的知识且能够引发新的问题,这个新问题或许可以生成全新的概念。例如,如果学生能发现是由2^{- 1}、2^{- 2}和2^{- 3}组成,就达到了“发现创造”的理解水平。

这个数学理解成长模型的特色是内层低层次理解水平内嵌于外层高层次理解水平,所以数学理解的成长是动态有机变化的过程,可被表征成上下层次之间往返的运动。当个人在任何一层理解水平遇到不易解决的问题时,有可能会先折返到内层的理解水平,通过上下折返达到更高层次的理解水平。

(二)几何思维水平理论

由于“垂直与互相垂直”属于几何概念教学范畴,所以学生数学理解和思维水平的考量也可借鉴荷兰范希尔夫妇(Pierre van Hiele ＆ Dina van Hiele)所提出的几何思维水平理论^[6]。在学生几何概念发展与学习的研究中,范希尔的几何思维水平体系是最有影响的理论之一。作为荷兰一所中学的数学教师,范希尔夫妇在1957年共同完成的博士论文中,提出了几何思维的五个水平。这个理论最初是基于高中学生提出来的,后来被广泛应用于初中和小学阶段,并且这个理论引起了全世界的广泛关注,成为20世纪80年代几何教学研究的一个热点。

范希尔理论的五个几何思维水平由低到高及其特征分别为:

水平0——视觉(visuality):指学生能通过整体轮廓辨认图形并能操作其几何构图元素;能画图或仿画图形,使用标准或不标准名称描述几何图形;能根据对形状的操作解决几何问题,但无法对图形作出概括的论述。例如,学生可能会说出某个图形是三角形,因为它看起来像一个三明治。

水平1——分析(analysis):学生能分析图形的组成要素及特征并依此建立图形的特性,利用这些特性解决几何问题,但无法解释性质间的关系,也无法了解图形的定义;能利用某一性质作图形分类,但无法解释图形某些性质之间的关联,也无法导出公式和使用正式的定义。例如,学生知道三角形有三条边和三个角,但不能理解“如果内角越大,那么对边越长”这一性质。

水平2——非形式化的演绎(informal deduction):能提出非形式化的推论,了解建构图形的要素,进一步探求图形的内在属性及其包含关系,使用公式和定义及发现的性质作演绎推论,但不能了解证明和定理的重要性,不能作系统性的证明,不能建立定理网络之间的内在关系。例如,学生了解了等腰三角形的性质后,他们会推出等腰直角三角形同时也是直角三角形的一种,因为等腰直角三角形较直角三角形多了一些性质上的限制。因此,学生能作一些非正式的说明,但还不能作系统性的说明。

水平3——形式的演绎(formal deduction):学生能了解证明的重要性和“公理”“定理”的意义,理解解决几何问题必须具备充分或必要条件;能猜测并尝试用演绎的方式证实其猜测,能以逻辑推理解释几何中的公理、定义、定理等,也能推理出新的定理,建立定理间的关系网络,能比较一个定理的不同证明方式;能理解证明中的充分或必要条件;能写出一个定理的逆定理;等等。例如,学生理解“至少有一条边对应相等或至少一个角对应相等,是证明两个三角形全等的必要条件,两角及夹边对应相等则是两个三角形全等的充分条件”。又如,当学生被告知“平行四边形的对角线互相平分”这一定理时,能写出它的逆定理是“对角线互相平分的四边形是平行四边形”。这样,学生就具备了“形式的演绎”几何思维水平。

水平4——严密性(rigior):能在不同的公理系统下严谨地建立定理,以分析和比较不同的几何系统。例如,对殴氏几何与非殴氏几何进行系统的比较。

不同学者对范希尔几何思维水平发展模式的特性有不同的描述,比较普遍地认为,范希尔几何思维水平具有以下六个特性:①次序性,即学生几何思维水平的发展是循序渐进的,要在特定的水平顺利发展,必须掌握前一个水平的各个概念和策略。没有前一个层次的思维水平,就无法到达后一个层次的思维水平。②进阶性,即学生几何思维水平的提升不是随年龄成长或心理成熟自然而然就有的,而是经由教学获得的,也并非一蹴而就的,没有一种教学方法能让学生跳过某一个水平而进入下一步水平。③内隐性及外显性,即某一个水平的内隐性质会成为下一个水平的外显性质,如某一个水平上的个人化的模糊概念在下一个水平上通过外显的表征工具(如符号)而得到澄清。④语言性,即每一个水平都有专属的阶段性语言符号,在某一水平使用的语言符号,可能到了另一水平就必须调整为另一种语言符号。⑤不适配性,即如若学生的思维处于一个水平,而教师的教学处于另一个水平,那么就不可能取得预期的教学效果。尤其是当教师的教材内容、教具选择及词汇使用都属于较高水平时,学生将无法理解和思考其过程与结果。⑥不连续性,即从一个水平向另一个水平的过渡不是平缓的,而是一个跳跃的过程。