探究让课堂充满活力

探究让课堂充满活力

电白县第一中学　邵广明

培养创造性思维是素质教育的主要任务之一,突破旧的教学模式,精心设计教学环节,多给学生以创新的条件、机遇和氛围,突出知识的发生、形成、探索过程,寓创新意识于课堂教学之中,是教学设计的主旋律。本文就椭圆的简单几何性质一课如何培养学生的探究意识作案例探讨,具体过程如下:

1.以问题为中心,注重过程教学

首先,设计如下情境,提出反常规的问题。

设M(x,y)是椭圆上任意一点,焦点F₁和F₂的坐标分别是(-c,0),(c,0)。由椭圆的定义,可得

图1

问题1　为什么将③式作为椭圆的标准方程？

对于这一问题学生首先会感到奇怪,似乎③式作为标准方程是顺理成章的,进而会展开热烈的讨论,这时总结一下大致有以下几点理由:

(1)③式简捷,具有对称的美感。

(2)③式为我们提供了求椭圆轨迹的标准方程,方便用待定系数法求解轨迹的方程。

(3)根据解析几何用曲线的方程研究曲线的几何性质这一特点,③式方便研究椭圆的几何性质。

针对上述理由(3),组织学生就如何利用③式从整体上把握椭圆的曲线的形状展开讨论。这样便自然引出:范围、对称性、顶点、离心率等内容。若要进一步研究椭圆的曲线,自然需要列表、描点、连线等常用手段,于是课本中的例4便自然出来了。

2.以探究为热点,培养创新意识

我们讨论了③式作为椭圆标准方程的诸多优点,自然我们会有:

问题2　将③式作为椭圆的标准方程有什么缺点？

对于这一问题学生感到有些困难,教师可以和学生一起比较圆的标准方程的优缺点后,发现③式无法揭示椭圆上的动点到两定点的距离之和等于定长2a这一本质属性,相比之下①式恰好具有这一优点。于是师生可以一起讨论①式的优缺点,具体可得:

(1)①式充分揭示了椭圆的定义。

(2)①式难以讨论椭圆的其他几何性质,如范围、对称性、顶点等。

通过以上讨论,自然产生了问题3。

问题3　是否存在一个方程,同时体现椭圆的第一定义和椭圆的几何性质？自然将目光转向②式,将②式变形,得

⑤、⑥两式将椭圆上点到焦点的距离转化为只和焦点的横坐标有关的一维算式,充分体现了数学降维思想。而⑦式正好揭示了椭圆的第二定义,正是书本上例6的意图(图2)。

图2

如此处理教材,自然流畅,既能完成教学任务,又充分揭示了知识的发展过程,通过被人们所遗弃的②式,挖掘出如此宝贵的教学成果,这会让学生兴奋不已。在品尝创新成果的同时也培养了学生的创新能力。

3.以反思为主调,奏响创新旋律

反思是创新的源泉。通过前面的探索,获得一系列创新成果以后,及时引导学生养成良好的反思习惯,打破思维定势,争取更大的突破。

总结上面的讨论,我们发现对①式的每一次变形,都会收到一系列令人激动的科学成果,那么自然会有问题4。

问题4　①式还有其他变形吗？如果有又能得到什么收获呢？

此时,学生的思维已被激活,讨论特别的活跃,热情空前的高涨,通过讨论可获得一系列成果如下:

成果一:将①式两边平方,整理,可得

⑧式揭示了椭圆的又一本质属性:

即椭圆上动点到两焦点的距离之积,和它到椭圆中心距离的平方之和等于常数(图3)。

图3

成果二:将⑤、⑥式代入⑧式,可得

若将动点到中心和长度称为椭圆的半径,那么⑨式给出了椭圆半径的计算方法,它只和该点的横坐标有关,同样起到降维的作用。

成果三:若将①式的两边乘以,整理可得

⑩式给出了椭圆的又一本质属性:椭圆上动点到两焦点的距离之差与该点到椭圆的一条对称轴(垂直于焦点所在直线)的距离之比是一个常数。

成果四:在△F1MF2中(图1),设∠F1MF2=α,则由余弦定理可得

212式给出了椭圆半径与动点到两焦点连线所成角的关系。

应该指出:本节课的创新讨论是无止境的,关键在于培养学生的创新意识。当然由于学生的程度不同,得到的成果也不同,无论如何,教师都应给予充分的肯定。

从对①式作变形看,自然也可考虑对其他式子变形,如将③式变形成,于是可得,椭圆上动点到两顶点A(-a,0),B(a,0)的连线的斜率之积等于常数等等。

现在,新课程理念就是倡导我们教师培养学生探索、创新能力。因而我们在教学中就必须深入钻研教材,充分挖掘教材潜能,做到既源于课本,又高于课本,活于课本,以培养学生的创造性的思维能力和解决实际问题的能力。