掌握解决问题的技巧

掌握解决问题的技巧

类型三学科

在这一章里，我将让你了解如何将赛博学习法运用到类型三学科（特别是数学）的学习中。你会了解数学难学的七个主要原因，以及相应的解决方法。数学远远不只是背诵公式那么简单。就算你已经是个数学天才，你也能够从中发现学习数学的新方法，进一步提高解决问题的能力。利用赛博学习法，你能够对任何陌生的学科进行改造，将其为己所用，把它变成你自己的知识。

下面列举的学科有一个共同的特点：都很注重数学，而数学本身也是类型三的学科之一。

●  会计学

●  金融学

●  化学

●  逻辑学

●  计算机科学

●  数学

●  经济学

●  物理学

●  工程学

这些学科最看重的，是解决问题的技巧。总的来说，比起类型一或者类型二，在这些学科的学习过程中，要求你记忆的信息要少一些，而且类型三学科所用的语言，通常不是文字，而是一些数字和符号。

正因为这些学科的本质是抽象甚至陌生的，很多学生都对这些学科存在抗拒心理。学生们往往会抱怨：“在日常生活中，我什么时候会使用二次方程？”有些学生，在拿到他们最近的考试成绩之后，总会不满意地摇摇头说：“我其他的成绩都很好，但是数学真的不行。”而且对这个事实，他们似乎还感到挺自豪。

先模仿，后理解

到目前为止，在赛博学习法的使用过程中，我们一直都在强调理解的重要性。你也知道，理解是一个渐进的过程，这个过程很可能持续几周，甚至是几个月，而对于数学来说，这个过程甚至会持续好几年。

就算你在数学上表现出色，你也会经常因为不理解某一个公式或技巧而感到沮丧。举个例子，你读了教科书里关于某个技巧的内容，如果你按照文中所提供的解决步骤，完全能够自己解决相类似的问题。但是，这个技巧到底是如何发挥作用的，对你来说是个谜。

如果你至少能理解你正在做的事，那么总有一天，你会明白为什么这个技巧或者公式可以这么用。但在上课的过程中，重要的是你能够使用这个技巧去解决相应的问题，这样你就能够在考试中获得高分。

我之所以说这些，是因为很多学生在不理解某个技巧的使用原理的时候，就会备感压力。但你要知道，数学学习，在最开始的时候，大都要先细致观察解题步骤，然后通过模仿这些步骤，去解决类似的问题。

举个例子，如果你上过几何学，你会知道，以r为半径的圆形的面积等于

πr2

圆形的周长等于

2πr

作为公式来讲，这两条公式相对来说还是很简单的；早在你上初一、初二的时候，你就已经接触过这些公式了。但是，除非你学过微积分，否则你是不会知道为什么这些公式是正确的。你需要做的，只是相信并使用这些公式，其他的，就不用考虑了。

下一次，当在听课过程中或者你的课本上出现你不是很理解的公式的时候，不要以为是你哪里做得不对，很可能你们班里压根儿就没有人真正明白这个公式，至于那些尖子生们，他们也不过只是意识到了，目前最重要的是按步骤进行解题，而理解是会慢慢形成的。

数学本身并没有那么难，让数学变难的七个原因

如果你觉得数学很难的话，很可能是因为以下七个原因。

1. 你不知道如何理解数学概念。尽管理解确实需要时间，但只阅读教科书，是远远不足以形成理解的。你要时不时地把教科书放在一边，看看自己能否重构解决问题的方法。你能够“按照”教科书的方式来解决问题，并不意味着你就能自己解决类似的问题。这就好比你观看了一场舞蹈表演，但这并不意味着你能够把它跳出来一样。

2. 你并没有意识到，在数学领域，存在多少猜测、略估、假设、误差。教科书所呈现给你的数学，是很有逻辑、很科学的，有时候，你会因为不理解那些看上去理所当然的数学概念，而觉得自己很蠢。其实，这些数学知识，很多都是伟大数学家们毕生的结晶，从古至今，拥有这样聪明头脑的人寥寥无几。就算是那些聪明绝顶的人，也可能要花上一两代人的时间，才能够让其他优秀的数学家们“看到曙光”。所以，如果你要花上一到两个学期，才能够掌握三角学或微积分的话，你也不用太担心。数学是一门有逻辑的学科，但是对于数学的处理和理解的过程绝不仅限于此！

3. 你不喜欢数学抽象的本质。数学是通过研究一些具体现象，最终得到抽象结论的一个过程。伟大的数学家、哲学家伯特兰·罗素曾表示，数学定义可以指任何事情。比如说，

X + X = 2X

不管X代表的是雨伞、瓶盖或者是鹦鹉，这个公式都是成立的。同样地，球状物体的表面积公式是：

4πr2

不管你说的是一颗弹珠，还是一个保龄球，这个公式都适用。将数学具体化：看到一条斜线，你可以把它当作滑雪时倾斜的雪坡；看到一个立方体，你可以把它当作一台老式电视机。用你自己想出来的例子，用任何你能够想到的方式，让数学变得更加实际，更加容易处理。

4. 数学的语言让你感到不自在，或者是你对数学语言还不熟悉。要习惯由数字和符号组成的语言，需要一定的时间。举个例子，如果你在学习代数，你就要知道字母a、 b和c通常代表常量，而字母x、 y和z通常代表变量。而且字母i和e通常代表两个特定数字。为什么偏偏是这几个字母，其实并没有什么特别的理由，这些字母只不过是数学里面的记号。也可以说，在数学发展的历程中，这些字母的使用已经形成了大家所默认的“惯例”。比如， ab代表a乘以b而不是代表其他的意思。有时候，这些惯例可能不易被察觉，如三角学表达式cos2 x以及cos x2并不是一样的，同样， 2 cos x与cos 2x也是不同的。

如果不留心的话，你很可能忽略这些细微差别。对于那些老师在课堂上使用的及教科书中出现的记号或惯例，你一定要熟悉。

5. 你依赖于错误的或者是有缺陷的“规则”。有一次，我在辅导一名年纪比较小的学生，有人跟他说，正负数相加的“规则”是，用一个数去减另一个数，结果的正负，由那个“比较大”的数字的正负决定。我不知道他这个“规则”从哪里来的，不过我可以确定的是，这个“规则”不是他自己整理出来的。虽然在两个数相加的情况下，这个“规则”的确适用，但因为他很聪明，他认为他可以扩大这个“规则”的使用范围。于是，当他开始学习正负数相乘的时候，他以为可以使用同一个“规则”，也就是说结果的正负由绝对值比较大的数字决定。使用有缺陷的“规则”是数学上出现错误的首要原因。这一类的误解通常都是因为语言使用上的不严谨，有时候连老师都难免这样。

6. 你缺失了某一部分的基础内容。数学，是一门“连续”的学科，这意味着每一个新知识，都是建立在前面知识的基础上的。先掌握了算术，你才能够掌握基础代数，掌握了基础代数，你才能学几何学，然后你才能接触高级代数，之后才是三角学，最后才能学微积分。比如，现在挡在你面前的困难，很可能是你在基础算术方面的理解漏洞造成的。如果你在学习上遇到困难，只是因为缺失某些基础概念的话，你也不用因此去退课，只不过需要去重新学习相应知识而已。

7. 你没有学物理学。数学并不是凭空发展成为一门抽象学科的，数学的发展，都是为了实际问题的解决。举个例子，几何学的英文单词是geometric，这个单词的字面意思为“测量地球”。几何学的发展，正是为了帮助古希腊和古埃及的土地测量员。很多数学上的进步，都始于尝试解决各领域现实问题，特别是在天文学和物理学领域。在学完基础算术之后，你会发现，数学教科书中的很多例子都源于物理学，如果你没有学物理，可能这些例子对你来说就不那么好懂。

数学就是一门我们从不知道自己在说什么，也不知道这些内容是真是假的学科。

——伯特兰·罗素

学着探索数学概念：专业问题

虽然，要消化数学概念需要一定时间，但还是有那么一些办法能够帮你加快这个过程。你解决的问题越多，你对相应内容的理解也就越透彻。但是一遍遍地解决问题，并不是建立理解的有效方式，这跟对文章的理解一样。

必须说明的是，下面这些问题能够引导你去解决问题，而不是手把手地教你如何在考试中解答实际的问题。至于考试中实际问题的解答，你可以应用另外一套不同的专业问题来解决。

当你在解决问题，或者是在学习一个新的数学概念时，以下这些专业问题是你需要思考的：

我们将利用以上问题，来学习下面这两篇文章，这两篇文章都是从教科书中节选出来的，一篇是代数学，而另一篇是几何学。首先，请你按照你惯常的方式，将这两篇文章读一遍：

数学的学习往往是在失望中开始的。

——阿尔弗雷德·诺尔司·怀特海

如果是我，我猜想的答案会是什么

在面对数学问题的时候，大部分学生都会尝试用有逻辑的方式去获得结果，但任何问题的解答，都应该从猜测结果开始。按照常识，这个答案应该是怎样的？你能够做出怎样的估计？

之前在说到阅读的时候，我说过，你可以在阅读作者提供的答案之前，试着自己去回答你提出的问题，这跟我们现在所说的这一步很相似。可惜的是，猜想这种行为在学校里并没有获得认可。猜想其实是一种非常复杂的艺术，人们都以为猜想是为了逃避思考，但事实恰恰相反。所有的思考都是为了得到更好的猜想。

接下来，让我们来看看代数中第二个例子，一起来猜想一下结果。如果布伦达独自一人完成任务需要3个小时，那么我们就可以猜想到，当比尔与布伦达一起工作的时候，所需要的时间一定少于3个小时。现在，让我们假设有两个布伦达一起工作的话，工作效率会比一个人工作快一倍，要完成任务，所需要的时间也就是原来的一半：1.5个小时。因为比尔工作效率比布伦达慢，所以答案应该比1.5个小时长一些；同理，如果两个比尔一起工作的话，他们所需要的时间是3个小时，所以答案也应该比3个小时短。

通过猜想，你可以检查自己的答案是否合理。有一些学生会利用一个“规则”来“解答”这类问题，根据那个“规则”，布伦达和比尔两个人各自单独完成工作所需要时间的平均数（即4.5小时），就是问题的答案。如果他们在盲目相信这个“规则”之前，能够进行一定的猜想的话，他们就可以发现自己的答案远远偏离了正确的答案。

敏锐的猜想、丰富的假设、向实验结论勇敢地跨越——这些是工作中思考者最有价值的资产。

——杰罗姆·西摩·布鲁纳

解答方式中每一个步骤的意义

哪怕你实在想不明白某个步骤在解答过程中出现的原因，你也要按照步骤进行解答，这很重要。让我们再回到代数的第二个例子，你会注意到以下的步骤：

1. 算出每一个人完成任务所需时间的倒数；

2. 将相应的两个倒数相加；

3. 算出上一步得到的和的倒数。

在你按步骤作答的时候，大声将每一步读出来会对你有帮助——这会是一个很好的方式。目前这个阶段，如果你能够说明每一步具体是在做什么的话，就已经足够了。

这里的模式是什么

在你思考其他问题的同时，你要把这个背景问题始终记在心里。模式其实就是我们之前说过的记忆点之一，更重要的是，数学的目的之一，就是要找出相应的模式。模式通常意味着联系，而且往往能提供公式的线索。

如果这里改变的话，有什么是需要跟着改变的

“如果……”这种问题是我们的老朋友了，让我们带着这个问题一起来看看勾股定理。根据勾股定理，任何直角三角形，以斜边为边长的正方形的面积等于以另外两条直角边为边长的两个正方形面积的和。如果我们把直角变成锐角或者是钝角的话，相对应的正方形面积的关系会是怎样的呢？

在极端条件下，会发生什么

试着尽可能地将某一个改变的程度调整到最大（或者最小），看看有什么情况发生。之前在讨论例2的时候，我试着去想两个布伦达（或两个比尔）一起工作的情况，这就是将改变最大（小）化。两个布伦达一起工作所需要的时间，会是最短的时间，而两个比尔一起工作所需要的时间则是最长的。这些极值假设能够帮你确定答案范围，快速估算答案。

这个结论是否能进一步推广

扩大一个概念或者一个技巧的使用范围，是指看看这个概念或技巧在更大的范围内是否同样适用。例如，当我们需要计算一个长方形的对角线长度的时候，勾股定理同样适用:

长方形是二维平面的，既然如此，勾股定理是否也同样适用于三维立体图形呢？当然，我们可以用勾股定理来计算一个长方体的对角线：

有哪些“特例”

在你学习一个概念或技巧的时候，你经常会遇到一些特殊例子。比如，正方形就是一个特殊的长方形，等边三角形就是一个特殊的等腰三角形。我们例文中勾股定理那部分就提到了几个这样的特殊例子。这些特殊的例子往往值得你单独记忆。

这个问题可以换个问法吗

不要只懂得解答教科书里所提的问题。想想看，相同问题是否能够用其他的问法来问？你的老师在考试中肯定会换个问法来问同一个问题！

在我们例文中，代数部分的例2也可以用以下的方式来问：

例：如果布伦达能够用3个小时单独完成一个任务，如果她与比尔一起工作的话，要完成相同任务只需要2个小时，那么，如果比尔要单独完成这个任务，需要多少个小时？

答：每6个小时，布伦达能够单独完成两个相同的任务，如果与比尔一起，他们在每6个小时里，两人能够完成三个相同的任务。所以，每6个小时里，比尔能够完成一个任务。

如果你在学习过程中，没有练习过换个问法，你可能都看不出上面这个例子，其实与教科书里的例子是一样的。

下面是一个更加复杂的版本：

例：布伦达能够用3个小时完成某一个任务，而比尔需要6个小时。如果布伦达在工作一个小时之后，比尔加入与布伦达一起工作，他们要完成剩下的工作，还需要多长时间？

答：在第一个小时中，布伦达完成了整个任务的三分之一，所以剩下的任务量是原来的三分之二。因为我们知道，当比尔与布伦达一起工作的时候，完成整个任务一共需要2个小时的时间，所以，他们两人要完成剩下的任务，所需要的时间是2个小时的三分之二，也就是1 1/3小时。

这个问题的本质特征是什么

不管问题披着什么样的外衣，你都要能看出其本质。例如我们上面提到过的工程问题，通常涉及在某一个确定的时间段内完成某一个任务。至于这个任务是否由人来完成，这并不是这个问题的本质特征。下面是一个相似的问题（数学中称为同构）。

例：一个水池有两个排水口，单独打开大的排水口，水池里面的水能够在10分钟内排空，而单独打开小的排水口，要排空水池里面的水则需要15分钟。如果同时打开两个排水口的话，排空水池里的水需要多长时间？

答：每分钟，大排水口能够排出水池1/10的水，而小排水口能够排出1/15的水，两个排水口同时打开，每分钟能够排出1/10+1/15=1/6的水。按照这个速度，同时打开两个排水口，要排空水池里的水需要6分钟。

这个问题让我联想到了哪些其他类型的问题和技巧

“这个问题让我联想到……”这种问题也是我们的老朋友了。例文中的勾股定理可能会让你想起其他关于三角形边长的定理，比如，任何一个三角形，其任意两边之和一定大于第三边。

我能够用几种不同的方式来解答这个问题

在你解决了一个问题之后，不要马上跳到下一个问题去。看看你是否能用另一种方式来解答这个问题。下面是解答例2的另一种方式：

答：如果布伦达能够在3个小时内完成这个任务，那么他6个小时就能完成两个相同任务，所以当布伦达与比尔一起工作的时候， 6个小时里他们一共能完成三个相同任务，也就是说完成一个任务需要2个小时。

同一个问题，你有越多种不同的解答方式，意味着你对这个概念的理解越透彻，你在考试中被这一类问题难住的概率也就越低。

我是否知道这个公式是怎么来的

并不是所有老师都要求学生能够自己推导出相应的公式，但是知道那些公式是怎么来的，能够很大程度上提高你对这个公式的理解。下图中，我们将一个小正方形放在一个大正方形内，通过这样一个简单的几何推导，就可以证明勾股定理是正确的。

我如何让这个概念更具体一些

虽然你看到的数学概念通常都是一些抽象的概念，但要记住，这些概念从数学家们的头脑中诞生的时候，都是以一种很好处理的方式呈现的。

以勾股定理为例，与其去考虑三角形的斜边与两条夹角边，不如想象一下，将一片田地沿对角线切成两半，这样，就可以得到三角形，你不妨用你自己的方式试试看。

其他十一个赛博学习问题

到目前为止，你应该已经很了解赛博学习法的十二个问题了，我也不需要再一一解释。除了专业问题外，在将赛博学习法运用到类型三学科中时，只有少数几个比较重要的变化：

除了上面提到的这几点，你在前面章节里所学到的其他关于赛博学习问题的内容，在学习数学的时候同样适用。

如何读一本数学教科书：基本要点

为了帮助你更好地利用教科书，下面还有一些其他的小建议：

解答数学问题

解答数学问题其实没有什么秘诀。我们生来就具有解决问题的能力；大脑就是专门为此而进化的——我们天生就会解决问题。数学虽然是一门抽象的学科，但是解答数学问题的基本原则，与其他问题是一样的。

第一步是观察一下问题。“这个问题让我想到什么？”这个专业问题，能够为你指明正确的方向。然后，问一下自己，“你已经知道些什么内容？”将所有信息和任何明显的等式写下来。“我如何用图表来说明这些内容？”要求你通过画图的方式，将信息呈现出来。

如果你正在考试，不要浪费太多的时间去试着用“正确的方式”解答问题。有些学生会紧紧盯着一个数学问题，就好像答案会自己蹦出来一样。想象一下，你手里抓着几把钥匙，正试着要去打开一把锁。你一定不会光盯着那把锁，你会直接选一把钥匙，然后试一下能不能打开，如果不行的话，你会接着试另一把钥匙，不断重复这个过程，直到你把锁打开——直到你找到解决方式。记住：所有的思考都是为了得到更好的猜想。

类型三学科的课堂

在包括数学在内的类型三学科中，课堂与教科书的联系往往是非常紧密的。课前，一定要阅读你的教科书，而且要把那些你不能解决的问题列出来。如果你完成了作业，但还是不明白老师所讲的内容，很可能你的老师在解答问题的过程中，无意中跳过了一些步骤。这时候，你需要向老师提问，请他更详细地解释每一个步骤。

总 结

相较于其他学科，数学并不是大部分学生所喜欢的，学生们对数学总是有各种各样的抱怨：跟不上，看着代数符号就无法思考，在现实生活中永远用不上。如果你认为自己数学不好，可能只是用错了学习方法而已。跟其他学科一样，你可以用赛博学习法来征服数学。

在数学的课堂上，迈向成功的第一步，便是要越过那些让数学变难的障碍。在这一章里，我针对七个这样的障碍进行了说明，这七个障碍中，肯定有一些是你曾经遇到过的。尽管对付起来并不容易，但还是可以克服的。

接下来的关键就是要问对专业问题：这里的模式是什么？在极端条件下，会发生什么？这个结果能不能进一步推广？我能推导出这个公式吗？等等。记住，在类型三学科的学习中，你是在学习解题技巧，而不是在收集和整理信息。只要回答这些专业问题并进行大量的练习，你就能够学到相应的技巧。