上出有“味道”的数学课

王大旗

读了张鹤老师的《分享数学智慧的人》一书，给我留下最深刻印象的观点是：数学课要上出“味道”。“味道”这个词真是既形象又抽象。数学课是有味道的，那么什么是数学课的味道呢？教师说：“几十年重复同样的内容，味同嚼蜡。”学生说：“三年学10本书，艰涩难咽。”难怪很多学生不喜欢学数学了，因为这都不是真正的数学课的味道。要做到数学课有“数学味”，不是一种简单的技巧，它不像“泡汤”一样，只要把“数学”放到汤碗里搅拌一下，就会出现“数学”的味道。

一、怎样才能做到数学课有“数学味”？

我们要挖掘教材，关注学生思维，寻找数学味的“配方”。数学是思维的学科，让学生理解数学概念、定义、公式等，不是靠老师反复讲，不断提醒，其关键在于激发学生的思维活动，数学的教学活动就是数学的思维活动。教师上课就是要起到思维活动的主导，让学生成为思维活动的主体。

我们现在的课堂又是什么样呢？在概念课上，直接给出并板书，或者让学生看书，然后逐字解读，逐条提醒学生理解概念时要注意的几个问题，然后就是针对概念的练习题。师生之间缺乏思维的碰撞，课堂单调沉闷。这样的数学课，味道当然就是“枯燥”。

张鹤老师形象地把这样的课堂教学概括为是一种“图解知识”的教学。老师的教学目标总停留在怎样把课本的概念讲得更清楚一些，满足于让学生记住结论，会应用公式，并通过大量的练习让学生掌握。这样的课堂常常表现为对数学本质挖掘得不够深刻，对数学思维的呈现不够到位。做这样的老师的学生很少能感受到学习数学的快乐。不禁扪心自问，我的学生感受到的是学习数学的快乐或者更多的是畏惧呢？

只有做到“看书要看到底，书要看透，要看到书背面的东西”（苏步青），充分挖掘教材中的灵魂——数学内涵，用数学内涵引领我们的课堂教学，才能高屋建瓴，统领整个知识体系，进行再创造、再建构。

二、融入过程，紧凑课堂节奏，品尝数学味的“芳香”

一节课的开头5分钟，我们迅速抓住学生注意力，把学生带入到数学思维情境中，在这宝贵的5分钟，要让学生思考，明确这节课的学习任务，不知不觉地进入到这节课的思维情景中来。

反观我们大部分的课堂，节奏不够清晰，尤其是习题课，事先印好篇子，上面是我们要讲的几道例题，后面有变式，最后是过关练习。上课的重点放在给学生讲题目的具体解法上，强调解题的规范性，关注的是学生的思维与自己的思维是否一致。在教学过程中，教师的讲解与学生的练习没有有机地结合起来，老师的任务就是把篇子上的题处理完，满足于一节课讲了多少题，做了多少练习，满足于所谓的课堂容量大。张鹤老师评价这样的课堂是平淡、乏味的。思维容量的大小跟一节课讲几道题无关，即使一节课只讲一道题，如果能讲出数学的思维方法，引起学生对数学问题的深入思考，能够将研究的问题延展到一般的思维方法，就是一节有效的数学课。

著名数学家波利亚认为：“学习任何知识的最佳途径，都是由自己去发现、探究，因为这种理解最深刻，也最容易掌握其中的内在规律、性质和联系。”我们应该有效地引导学生经历知识形成的过程，让学生在观察、实验、分析、抽象、概括的过程中，积累数学活动经验，感受和理解数学内涵，促使学生对数学知识的理解达到领悟的水平，提升数学思考的能力。只有如此，学生所掌握的知识才是鲜活的，这样的学习才是充满智慧的学习。

在课堂上老师的职责是能够通过自己的教学行为，有效地组织学生一起来思考数学问题和解决数学问题。数学课堂的节奏应该是紧凑的。因为数学的思维活动是需要不断深入展开的。数学课堂节奏是应该有起伏的，因为数学的魅力使然。

三、渗透思想，遵循数学思维，汲取数学的“营养”

数学课堂上以题目作为载体是很正常的，但是如果只是在一节课中讲了若干道题，而这些题目之间逻辑关系不清，主题不清，要说明什么问题不清，就会出现学生听明白了但自己做题还是不会的现象。而这些现象不正在我们的课堂上发生着吗？讲了很多遍的题学生一做还是错，我们不是一直埋怨学生，不好好听，不好好整理吗？这是我们课堂教学的问题，我们没有将具体的数学题目转换成一个个数学问题，在提出问题，研究问题，解决问题的过程中提高学生的思维水平和能力。

受到张鹤老师的启发，我在每一章每一单元的数学教学之前，先思考： 这部分内容的教学意义是什么呢？它包含着什么样的数学思想方法？我在数学课堂上，总是提醒自己，努力上出数学课的味道。

最近我在讲“曲线的方程”这节内容，这是解析几何的入门课，要通过这节课的教学让学生深刻体会到用代数的方法研究几何问题的思维过程。而在以往的教学中，往往认为这节课不重要，都是一带而过，然后急于讲“椭圆、双曲线、抛物线”，继而大量地练题。可学生还是不会，到高考，也是按照老师教的套路：联立，判别式，韦达定理，然后能写到哪步就写到哪步，仿佛解析几何的学习已是穷途末路。

我做了反思，是我们在开始的教学中就没有让学生建立解析几何的观点，“曲线与方程”的观点，我们根本没重视，它不以某一道题的形式来呈现，它是观念性的东西，是贯穿在每一道解析几何题的思维过程中。因此在这节课的教学中，我给它重新定位，通过这节课，一定要教给学生审题的思维过程，要引导学生归纳概括出思考解析几何题的一般思维方法。

在课堂上，我出了这样一道题目：

例：过定点M（4,2）任作互相垂直的直线m、n，分别与x轴 y轴交于A、B两点。求线段AB中点P的轨迹方程。

学生给出了三种解法：①从“过定点M（4,2）任作互相垂直的直线m、n ”这一条件入手进行代数化，利用斜率的乘积等于-1，列方程；②利用垂直，分别设出m、n的方程，然后联立，利用中点坐标公式表示出点P坐标，再用消参法消去参数k,得到点P轨迹方程；③根据垂直，利用直角三角形的斜边中线等于AB的一半求解。

我首先让学生分析了他们的思维过程，并给予了肯定。

从学生做的情况看，都知道把垂直的几何条件进行代数化，但是方法都不太简单，对题目的几何条件分析不够到位，上述做法都没有注意到角AOB是直角这一非常重要的几何特征。从解析几何的思维方法出发，我又提出了问题：都是垂直的条件，这三种做法列的方程一样吗？哪一个更简单？为什么？还能不能再简单？最终引导学生通过审题得到两个几何特征：

①直角三角形AOB和直角三角形AMB具有共同的斜边；

②这两个直角三角形斜边上的中线PO、PM相等。

这样就可以进一步得出几何特征：点P的轨迹是线段OM的中垂线。

对比以上做法可以看出，对几何对象的几何特征分析得越透彻，代数化的方法就越简单。

这一节课我只解决了这一道题，但我真正感受到了学生逐渐活跃起来的数学思维，在一个个问题的引领下，不断地将讨论的问题延伸，“先研究几何特征再代数化”，这一解析几何的基本思维方法，在师生思维的交织中逐步形成。学生的学习兴趣非常浓厚，数学思维的魅力展露无遗。

这不正是一个数学教师的责任吗？只要我们教给学生真正的数学，把每一节课上出数学课的“味道”，就能做到激发学生的学习兴趣，让学生喜欢数学。因为数学本身有这个魅力。

作者简介：王大旗，河北省唐山市丰润区车轴山中学数学教师，中学数学特级教师，河北省名师。