效率测算方法

2．4．1 前沿理论概述

经济学生产理论经常采用生产可能集和生产前沿面描述企业的效率状况。生产可能集是在既定的技术水平下所有可能的投入产出向量的集合，生产前沿面则是在既定技术水平下有效率的投入产出向量的集合，即投入一定投入下的产出最大值或产出一定产出下的投入最小值的集合。技术有效性的研究始于Koo Pman（1951），他给出了技术有效的定义：如果在不减少其他产出（或增加其他投入）的情况下，技术上不可能增加任何产出（或减少任何投入），则该投入产出向量是技术有效的，技术有效的所有投入产出向量的集合构成生产前沿面。而对技术效率（Technical Effi Ciency）进行系统研究则是英国剑桥大学的经济学家法瑞尔Farrell（1957），他认为：技术效率是指在生产技术和市场价格不变的条件下，按照既定的要素投入比例，生产一定量产品所需的最小成本与实际成本的百分比［60］。勒宾森（Leibenstein， 1966）从产出角度给出技术效率的定义：技术效率是指实际产出水平与在相同的投入规模、投入比例及市场价格条件下所能达到的最大产出量的百分比［61］。Lau．L．J和Yotopoulos（1971，1973）提出相对技术效率的概念：在投入一定的情况下，如果一个企业的产出比另一个企业的产出高，那么它具有较高技术效率［62］［63］。

由以上定义可知，技术效率是用来衡量在现有的技术水平下，生产者获得最大产出（或投入最小成本）的能力，表示生产者的实际生产活动接近前沿面的程度，反映了现有技术的发挥程度。由于实际值可以直接观测到，因此度量技术效率的关键是前沿面的确定，生产前沿面理论的产生与发展在技术效率理论中尤为重要。

1．基于生产前沿理论的效率测算：技术不变

如图2．1（a）所示，假设使用两种投入来生产一单位的产出，SS′是所有决策单元中投入最小的单元所组成的前沿面，Q点是OP和SS′的交点，Q′是投入品的价格约束线AA′与SS′的切点。某经济体使用一个投入组合（由P点定义）来生产一单位的产出，为了使投入最小化，在现有技术条件下，投入应该缩减到Q点，即同样的产出能通过缩减投入（即退回到Q点）来生产，因此技术效率（TE）由OQ／OP来定义。但最小成本投入组合是由Q′点反映的（该点的边际技术替代率等于投入的价格之比w2／w1），因此从资源配置的角度看，同样的产出还能进一步缩减投入，即由Q退回到Q′点来生产，因此配置效率AE由OR／OQ来定义。成本效率CE是技术效率与配置效率之积，即CE＝TE×AE＝OR／OP。

如图2．1（b）所示，假设使用一单位投入来生产两种产品，ZZ′是所有决策单元中产出最大化的单元所组成的前沿面，B点是OC和ZZ′的交点，B′是投入品的价格约束线DD′与ZZ′的切点。某经济体使用一单位的投入来生产产出组合（由C点定义），为了使产出最大化，在现有技术条件下，生产能进一步扩大到B点，因此技术效率TE0由OA／OB来定义。在产出不变的情况下，最小成本投入组合是由B′点反映的（这点的边际技术替代率等于投入的价格之比w2／w1），即由B退回到B′点来生产，技术效率与配置效率之积，即X／Y。

从资源配置的角度看，同样的产出还能进一步缩减投入，因此配置效率AE0由OB／OC来定义。总的经济效率EE0是技术效率与配置效率之积，即EE0＝TE0×AE0＝OA／OC。

图2．1 基于前沿面的效率测算

2．基于生产前沿理论的效率测算：技术进步

如图2．2所示，描述的经济效率及其分解是Farrell（1957）最早提出来的，这里有一个重要的假设：不存在技术进步，因此前沿面没有发生变化。虽然本书早就认识到技术进步能促进效率的提高，许多文献也进行了相关的实证研究，但如何利用前沿理论，从理论上解释技术进步对效率的影响，存在技术进步时如何对经济效率进行分解。

图2．2 存在技术进步时的效率测算

图2．2由图2．1演化而来，因为存在技术进步，生产前沿面由ZZ′外推到VV′，产出由A扩大到F，资源之间的相对价格没有发生变化，价格约束线由DD′平移到EE′。利用类似的方法，可得到技术效率TE1＝OF／OG，配置效率AE1＝OG／OH，经济效率EE1＝TE1×AE1＝OF／OH。

从图2．2不难发现

由式（2．1）可知，两个因素扩大了产出，进而使生产率得到提高：一是技术进步使前沿面外移，可用OG／OB来衡量，二是技术效率的相对变化即，如果技术效率没有进步，即OF／OG＝OA／OB，则生产率的提高是完全由技术进步推动的；如果技术效率也得到提高，即OF／OG＞OA／OB，则生产率的提高由两者共同推动。特别要指出的是，如果技术效率TE1和配置效率AE1没有提高，即OF／OG≤OA／OB，OG／OH≤OB／OC，则总的经济效率也没有提高，即EE1≤EE0，这种错觉完全忽视了技术进步的推动作用，实证研究中要引起注意。

3．存在技术进步和规模效率时全要素生产率的分解

利用图2．2测算效率时虽然引进了技术进步，但没有考虑规模报酬。如果同时引进技术进步和规模报酬，效率的提高是由哪些因素引起的，下面利用图2．3对全要素生产率的增长进行分解。生产函数由Y＝F（X）变为Y＝G（X），说明技术在进步；生产函数构成一个前沿面，在既定技术的前提下，前沿面上的点，比如F，H的效率为1；射线OD，OE上的点表示规模报酬不变；投入由OU增加到OV，产出由UB增加到VG。

图2．3 全要素生产率的分解

很明显， ，因此，产出由UB增加到VD是要素投入增加引起的。在初始投入OU时，产出由B向C移动，即向前沿面逼近时，这是由于技术效率提高所引起的；而UC／UB＝VE／VD，因此产出从VD增加到VE，同样是技术效率提高的结果。而产出从VE增加到VF，是由于规模报酬递增即规模效率提高；产出从VF增加到VG，则是由于前沿面的移动即技术进步所引起的。

综上所述， ，生产率的提高由4个因素引起：要素投入增加即，技术效率提高即，规模报酬递增即，技术进步即。

Farrell随后将简单的双因素成本分析扩展到多因素成本比较，其原始模型是生产前沿面理论的基础，而生产前沿面理论是效率测算和分解的基础，因此，如何确定前沿面是效率测算和分解的关键。在此后的几十年间，确定生产前沿面的研究方法层出不穷，但主要有两大类：非参数方法（Non Parametric Estimation Method）和参数方法（Parametric Estimation Method）。

2．4．2 随机前沿法（SFA）

参数方法包括随机前沿方法（Stoehastic Frontier Approach，SFA）、自由分布方法（Distribution Free Approach，DFA）和厚前沿方法（Thiek Frontier Approach，TFA）。其中，随机前沿方法（SFA）是最基本、最重要的参数方法。随机前沿生产模型最初由Aigner，Lover，Sehmidt［64］（1977）以及Meeusen，Van den Broeck［65］（1977）提出，很快成为计量经济学中一个引人注目的分支。随机前沿生产模型假定，企业由于各种组织、管理及制度等非价格性因素导致生产过程中效率的损耗，而达不到最佳的前沿技术水平。Nishinizu和Page （1982）首次提出将全要素生产率（TFP）的增长分解成前沿技术变化和相对前沿技术效率的变化［66］。此后，许多研究都沿用他们的方法分析全要素生产率的增长。由于多数文献在利用随机前沿法时，以测算效率规模效率、范围效率和X效率为主，而忽视了技术进步、配置效率的测算，为弥补这一缺陷，本书在Kunbhakar（2000）［67］研究的基础上，利用随机超越对数函数模型，将图2．2和图2．3所提到的全要素生产率的增长分解为4个方面：①前沿技术进步；②相对前沿技术效率的变化；③资源配置效率的改善；④规模经济性的改善。

根据Kumbhakar（2000）的分析，全要素生产率增长的分解涉及6个概念：全要素生产率（Tota1Factor Productivity）、前沿技术进步（Frontier Tech-nology Progress）、相对前沿的技术效率（Technical Efficiency Relativetothe Frontier）、相对前沿技术效率的变化率、资源配置效率（Allocative Efficieney）和规模经济性（Scale Economy）。

实际产出、前沿产出和相对前沿技术效率三者之间的关系为：yit＝f（xit） exp（－uit），yit是公司i（i＝1，2，…，N）在第t期的实际产出（t＝1，2，…，T）， Xi，是投入要素向量，f（xit）是随机前沿生产函数中的确定性前沿产出部分，t是测量技术变化的时间趋势变量，uit≥0，是技术非效率指数，衡量相对前沿的技术效率水平。

1．前沿技术进步（FTP）

将对数形式的前沿生产函数f（xit）对时间趋势t求导数，得到：

式（2．2）右边第一项为前沿技术进步（FTP），表示在投入要素保持不变的条件下产出随时间的变化率。第二项衡量了投入要素增长所导致的前沿生产函数产出的变化。运用要素j的产出弹性表达式，第二项可以表达为是xj的变化率，即，式（2．2）变为：

2．技术效率（TE）及其变化率

技术效率（TE）是指在某一技术水平下，某一组要素投入得到的实际产出水平与相应要素投入下的前沿技术产出水平之间的比例，TE反映了一个企业在特定技术和要素投入规模下实际产出与最大可能产出间的差距。前沿生产函数是衡量技术效率的基准，因此，技术效率也称为相对前沿的技术效率。

定义产出增长率为：。对yit＝f（xit）exp（－uit）两边同取自然对数，然后对时间趋势t进行全微分，将产出增长率分解为前沿技术进步、投入要素增长对产出增长的贡献及相对前沿的技术效率的提高：

定义相对前沿的技术效率的变化率为：

3．全要素生产率增长的分解

按照增长核算法，全要素生产率的增长为：

Sj是要素j在要素总成本中的份额，且有。在利润最大化条件下，要素的产出弹性值应该等于要素的费用份额，这就是使用增长核算方法计算全要素生产率增长的理论依据。实际中，产出弹性和要素的费用份额可能不相等，这就是资源配置效率问题。

4．配置效率（AE）以及规模经济性（SE）

将式（2．4）代入式（2．5），经过适当的变换得到：

其中，，是前沿生产函数中要素j投入的相对产出弹性，有。这样转换的目的是使相对产出弹性λj与相对费用份额Sj具有可比性以衡量资源配置效率。，表示规模总报酬的大小。式（2．6）右边的最后两项衡量了要素对生产率增长的两大效应：配置效率（AE）即要素投入结构的变化对生产率增长的贡献和规模经济性（SE）即要素的规模报酬对生产率增长的贡献：

总之，式（2．7）中TFP的增长可以分解为前沿技术进步、相对前沿的技术效率提高、要素资源的配置效率和规模经济性4个部分。

2．4．3 随机前沿法与数据包络法的比较

非参数估计法主要有数据包络分析方法（Data Envelopment Analysis， DEA）和无界分析方法（Free Disposal Hull，FDH）。非参数估计法无须定义函数形式，也无须估计前沿函数的参数，而且不需要限定效率前沿面的形状，因此，这种方法被广泛应用于效率的研究。

数据包络分析方法（DEA）是一种用于测度投入、产出和性质都相同的生产决策单位的相对有效性的一种非参数方法，它直接使用DMU（Decision Making Unit，决策单位）的投入产出数据，利用线性规划方法，以各项投入产出的权重优化变量，找出可以包含所有DMU数据的效率前沿面，再计算每个DMU观测值与效率前沿面的距离，然后分别求出各个DMU的效率水平，除位于前沿面上的DMU以外，其他DMU都分布在前沿面内侧，由于所有的样本点都包围在前沿面之上或之内，因此被称为数据包络分析。

随机前沿分析方法（SFA）和数据包络分析方法（DEA）是效率度量技术中最常用的参数方法和非参数方法，它们都属于前沿分析方法，但它们在构造生产前沿的方法、计算结果的稳定性等方面有很大的不同。

对于SFA和DEA的比较，李双杰等（2009）曾经作过非常详细的研究［68］。两者的相同点在于，SFA与DEA都是前沿度量方法，它们的共同基础是距离函数。SFA与DEA都是在通过构造生产前沿的基础上度量技术效率，它们度量出的技术效率是相对效率，其效率值在样本内部具有很强的可比性，但在不同样本间计算出的效率值可比性不强。

而两者的不同点主要在于，从SFA与DEA构造生产前沿的方法来看， SFA的基本思想是利用生产函数和随机因素构造出随机生产前沿，DEA是根据每个决策单元的投入产出数据，选出一个或几个决策单元作为技术有效点，进而构造出生产前沿。对于面板数据，SFA是根据所有周期的数据仅构造出一个统一的生产前沿，而DEA是每个周期各构造一个生产前沿。SFA是通过极大似然法估计出各个参数值，然后用技术无效率项的条件期望作为技术效率值，其结果一般不会有效率值为1的决策单元，而DEA是通过线性规划计算出效率值，其结果至少有一个效率值为1的决策单元。SFA可对结果作相应的统计检验或者求相应的置信区间，而DEA则不行。此外，若样本容量很大，这些样本可能会因不满足线性规划的一些基本假设而最终导致DEA的计算失败，而SFA中使用的极大似然估计法估计出的参数具有大样本的相合性，因此，SFA更适合大样本计算。

通常在计算出技术效率后会进一步分析影响效率的因素，SFA与DEA分析影响效率因素的方法不同。对于SFA，只需将技术无效率项表示成影响因素的线性形式后在原有模型中即可完成对影响因素各个参数的估计；对于DEA，通常需要分为两个阶段：第一阶段是计算其技术效率；第二阶段是以技术效率为因变量，以影响因素为自变量，通过二元离散选择模型进行分析。因此，在分析影响效率因素上，SFA更为方便。基于以上考虑，本书采用SFA作为主要的效率测量方法。

2．4．4 效率测度模型中投入与产出变量的界定

在对效率评价中，无论采用参数法还是非参数法均需事先确定投入产出指标，合理地定义投入产出是正确分析效率的关键。通过梳理效率评价测度模型中投入与产出变量的界定，为评价高等学校教育效率提供理论支撑。

在现有的文献研究中，高等教育投入产出指标的确定没有一致的标准。许多文献，尤其是国外文献侧重于衡量诸如班级规模、课程设置等方面，注重生产过程；国内研究中更多地考虑生产结果。表2．2列出了相关文献里效率测度模型的投入与产出变量，为下文的研究提供参考。

表2．2 各类投入产出变量

续表

续表

1．高等学校的投入

高校是一个特殊的投入产出系统，因为其自身生产的特殊性，它的投入是与高校人才培养、科学研究与社会服务的职能相匹配的人力、财力和物力，高校产出的主要形式是知识、人才以及部分经济收益或社会效益。和企业类似，可以按照资源性质的不同将各种投入资源归类为人力、财力、物力3个方面。

（1）人力资源的投入

人力资源的投入主要是指在高等教育系统范围内的所有工作人员，一般包括高校的专任教师、教学辅助人员、行政办公人员、后勤服务工作人员、著名的专家和学者、科研机构研究人员以及高校其他现有附属单位的工作人员。相比较而言，专任教师的工作内容和工作成果比较难量化，有的学者将专任教师的投入又分为教学投入和科研投入。另外，有的研究文献中用到了“生师比”这个投入指标，生师比即在校生数与教师总数的比值，它反映了每个教师对应的学生的平均数，从数量角度说明了高校师资的配备情况。

（2）财力资源的投入

财力资源的投入是指高等教育院校所获得的各种经费投入，一般有国家财政性拨款、学生的学费收入、企业对高等教育院校的投资、社会团体、校友等对高等院校的捐赠和高等院校自筹经费等。财力资源的投入是学校生存与发展的重要基础。从我国高等教育的投资发展历史来看，经过了单纯靠政府财政拨款和以财政拨款为主的阶段，目前是以高等教育办学机构自筹和社会筹资为主，财政拨款为辅。学校的财力资源投入主要包括事业经费投入、基建经费投入、科研经费投入和其他经费投入等。

（3）物力资源的投入

高校和企业一样，产出必须建立在一定的物质基础之上。物力资源的投入主要是指具有长期使用价值的存量资产，也就是高校的硬件设施水平，它直接关系到高校的科研、教学及社会服务水平。一般来说，高校的物力资源包含土地、校舍、设备、图书4个方面。目前比较通用的物力资源投入指标有固定资产总值、图书馆藏书量、教学、实验设备总值等。

2．高等学校的产出

对于高校来讲，投入人力、财力、物力后，也会带来相应产出。但教育具有超前和滞后的双重特性，以及高校的“产品”主要表现为科研成果和人才培养，都是无形资产的增值，因此，对高校的产出进行评价是一个比较复杂的问题。从以往的研究文献来看，高校的产出一般包括人才培养产出、科研产出、社会服务产出。

（1）人才培养产出

高校的人才培养产出可以从数量和质量两方面来评价。从相关文献看，高校培养的人才质量可以通过高校培养的专科、本科、研究生等不同层次学历的学生数量来反映，如硕士、博士总人数以及就业率等。高校培养的人才数量可以从办学规模来估量，最常用的是在校学生数。

（2）科研产出

科研是高校的重要职责之一，通过科研成果，高校可以为企业和社会的发展进步提供重要的支持。高校科研项目的数量和科研项目的大小，直接反映了高校科研工作量的情况。高校科研成果一般体现在以下几种方式：在各类学术期刊上发表的论文、出版的专著、发明的专利、进行的学术交流和学术报告、获得的各级别的科研成果奖等。从相关文献看，科研产出不仅体现在科研成果的数量上，更体现在质量上，例如发表论文的刊物级别、国际影响力、获奖成果的级别等。

（3）社会服务产出

社会服务是指在进行正常的人才培养任务情况下，高校依靠其自身优势为社会提供服务，以促进经济和社会发展的活动。一般来说，可以把高校的服务分成经济方面的服务和文化方面的服务。经济方面的服务是指高校发明专利的出售、技术转让以及产学研联合体和为企业提供咨询、技术服务、提供培训等为社会经济带来的贡献。文化方面的服务是指高校为社会提供的短期培训和函授班等以知识为载体的服务，来满足社会对新增知识、技术问题解决、短期人才培养、人才社会参与意识培养和信息的需求。从目前的文献看，社会服务产出指标一般包括鉴定成果数；技术转让当年实际收入；专利申请授予数、人均科技服务课题数量、人均科技服务收入教学等。

2．4．5 知识生产函数与效率

知识生产函数作为一个经济学概念是最近一二十年的事情。知识生产过程性质的确定是以有效地测量知识生产过程中的投入和产出为前提，因此，首先要对知识投入与产出的衡量指标作说明。在知识投入方面，文献中往往以R＆D支出或R＆D人数来衡量。在知识产出方面，理论上来说，产出的形式很多，如降低生产成本的工艺创新、产品设计和质量的改善、新方法和新产品的创新等诸多方面。由于数据的限制，文献中通常用授权专利数、新产品销售收入或统计的创新数量来代表创新产出。投入可能仅仅衡量了有正式R＆D预算和正式研发机构的企业中的创新投入，而在大量的小企业中还存在着很多非正式的研发活动。专利统计可能存在着以下缺陷：专利获得者和专利发明者可能并不一致；获得专利的发明创造的质量存在着很大的差别；一些重要的发明并不注册为专利等。Comanorand Scherer（1969）发现，在美国由于影响专利的法律因素以及注册专利的难度和费用，导致专利申请有下降的趋势，他们还发现专利并不能真实反映创新的质量。新产品的生产可能不仅来自于企业的自主研发活动，而且可能来源于技术模仿等［69］。Jefferson等（2006）对中国大中型制造企业的研究表明，新产品销售收入大约占R＆D投资回报率的12％，更多的R＆D投资回报来自于工艺创新和对旧产品的改进［70］。但由于数据的限制，实证文献只能依靠以上的衡量指标来研究知识生产函数及其性质。

知识生产过程中的首要问题是R＆D投入与产出间存在着怎样的关系。绝大多数研究均表明，R＆D投入产出间存在着直接的正相关关系。Scherer （1965）运用美国500强企业的数据进行回归分析，发现1955年R＆D人数与1959年的专利授予数量之间接近线性关系［71］。Scherer（1967）发现， 1870—1950年，科学家和工程师的数量与专利数量有相同的变化趋势；他还发现，1953年的18个主要工业产业中专利数量与R＆D支出间有密切的联系，R＆D支出上的差异能够解释85％的不同产业间在专利数量上的差异［72］。Mueller（1966）运用1958—1960年6个产业的企业数据进行相关系数分析，发现专利数量与衡量R＆D投入的各指标（基础研究、应用研究、试验发展、R＆D总支出及R＆D人数）之间均存在着高度的相关性。以专利数量为被解释变量对R＆D总支出的回归分析表明，R＆D支出对专利数量有显著的正影响［73］。Comanorand Scherer（1969）运用1955—1960年57个医药企业的数据对新产品销售收入、专利数量与R＆D人数这3个衡量创新活动的指标进行了比较。总体而言，新产品销售收入与R＆D人数之间、专利数量与R＆D人数之间的相关系数均在0．8左右［74］。Pavittand Wald（1971）发现在13个美国产业中R＆D强度（R＆D支出／销售收入）与技术创新率（年度新产品引入比率）之间具有高度的相关性［75］。Mc Leanand Round（1978）运用1971—1972年澳大利亚13个制造产业共980个企业的数据进行了分析，相关系数分析表明，新产品销售收入份额与衡量R＆D强度的3个指标（R＆D支出占销售收入的比重、R＆D人数占总人数的比重、专业技术人员占总人数的比重）之间均有显著的正相关关系。回归分析表明，在R＆D投入与产出之间最普遍的关系形式是线性关系［76］。Pakesand Griliches（1980）运用美国157个大型制造企业的数据［77］，Griliches（1989）利用美国1953—1987年的全国数据［78］，都发现R＆D支出对专利数量有显著正影响。Acs and Audretsch［79］（1988）、Koeller［80］（1995）运用美国小企业委员会调查的1982年4位数产业的创新数据，以重要的创新数量为被解释变量，研究表明R＆D支出对创新数量有显著正影响。另外也有一些研究表明知识生产过程中存在着非线性关系。Comanor（1964）运用1955—1960年57个医药企业的数据，以新产品销售收入占总销售收入的比重表示R＆D产出，以R＆D人数及其平方项表示R＆D投入［81］。回归结果表明，R＆D人数的系数是负的（有时并不显著），R＆D人数的平方项是正的且高度显著，这表明，R＆D投入与产出之间呈现非线性关系。Mc Leanand Round［76］的研究表明，新产品销售收入份额与R＆D强度之间在某些产业中表现为非线性关系而不是线性关系。

在对知识生产函数的研究中，另一个重要的问题是知识生产过程的性质，对这种性质的研究在于考察R＆D投入与产出之间是否存在规模经济性。Comanor（1964）的研究表明，当企业销售收入分别为0．1亿、1亿、5亿美元时，R＆D的产出弹性分别为1．39，0．61，0．54，也即在规模较小的企业中，R＆D投入与产出间表现为规模报酬递增；而在规模较大的企业中，R＆D投入与产出间表现为规模报酬递减［81］。Scherer（1965）发现，随着R＆D强度（每美元销售收入中的R＆D人数）的增加，专利强度（每10亿美元销售收入中所含有的专利数）以递减的速度增加［72］。Mansfield（1969）的研究表明，当企业规模一定时，在化学产业中R＆D投入的增加导致了超比例的创新产出的增加，而在石油和钢铁产业中并没有发现这种关系［82］。Pakesand Grili-ches（1980）发现专利数量对R＆D支出的弹性为0．61。Acsand Audretsch （1988）发现创新数量对R＆D总支出（公司R＆D与政府R＆D之和）和公司R＆D支出的弹性分别为0．36和0．41，将样本划分为大企业和小企业两个组别后，R＆D的产出弹性则下降为0．3左右［79］。Koeller（1995）在考虑了市场结构的内生性等变量后，发现总体样本中创新数量对R＆D强度的弹性约为0．5，将样本划分为大小企业两个组别后，大企业和小企业中R＆D强度的产出弹性则分别为0．5和1。这些研究均表明在知识生产中存在着规模报酬递减或不变的性质［80］。

在实证文献中，对R＆D投入产出关系的研究通常采用的是线性或非线性多项式模型（Comanor，1965；Scherer，1965；Schmooker，1966；Mueller，1966；Vernonand Gusen，1974；Grabowski，Vernonand Thomas，1978；Mc Leanand Round，1978；Wiggins，1981；Pakesand Griliches，1980，1984；Hausman，Hall and Griliches，1984，1986；Jensen，1987；Acsand Audretsch，1988；Griliches， 1989；Koeller，1995；Cincer，1997；Jefferson等，2004）。这种普遍使用的模型可表示为：

Y＝f（R）＋Xλ＋ε（2．8）

Y表示R＆D产出（专利数量、创新数量或新产品销售收入），R表示R＆D投入（R＆D支出或R＆D人数），X表示其他的控制变量向量，ε为随机误差项，λ为待估计参数。在上述文献中，f（R）往往表示为R的多项式。在不考虑R＆D投入与产出之间的时滞结构的文献中，f往往取R的一项式、二项式或三项式；在考虑了R＆D投入与产出的滞后结构的文献中，f往往取R的当期值及其滞后值。可能由于受到数据的限制，上述研究仅仅把R＆D支出或R＆D人数作为R＆D投入来研究单一生产要素对R＆D产出的影响。例如，Jefferson等［70］（2006）运用中国大中型制造企业数据构建的知识生产函数模型中，R＆D产出为新产品销售收入份额，R＆D投入为滞后一期的R＆D强度（R＆D支出／销售收入）。