数学教学模式的形成和实施需注意如下三个要素，即数学教学模式的思想性、数学教学模式的结构性和数学教学模式的实践性。
本节我们将通过数学教学的实际案例分析有关典型的数学教学模式，分析其结构、特征和操作原则，为大家如何在数学教学活动中灵活运用数学教学模式提供一些参考事例。但是任何一种数学教学模式都不可能不存在其自身的缺陷，因此在具体的教学实践中，与数学教学原则一样，我们也必须以实事求是的态度和辨证发展的眼光来看待数学教学模式，以便把我们的教学工作做得很好，适应社会发展对教育的新要求。
一、课题四：已知两边、一对角解三角形
（一）案例引入
师：上节课，我们学习了“正弦定理”，请同学们回忆一下，利用正弦定理解斜三角形时，可解决哪几类问题？
生1：可解决：①已知两角和一边，求其他的两边；②已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角。
师：上节课的课外作业中，有两道题同学们有些疑问，现在先请同学介绍一下解答的情况。其中有一题：在△ABC中，已知a=2、b=5、A=30°，求B。
生2：解：∵asinA=bsinB,∴sinB=bsinAa=5×sin30°2=54,sinB>1,这道题不能解。
师：还有一题：在△ABC中，已知a=3、b=5、A=30°，求B。
生3：解：∵asinA=bsinB,∴sinB=bsinAa=5×sin30°3=56=08333,查表得
B1=56°27′，B2=123°33′，这道题有两解。
师：解答得很好。从这两道题中可以看出，当已知两边和其中一个对角（锐角）求另一对角时，可能有解，也可能无解。这和前面的已知两边一夹角、三边、两角一边的解的情况不同了，今天我们就专门研究已知两边一对角解的情况。
［板书课题：已知两边一对角解三角形］
师：现在让我们先讨论第一个问题——当已知角是锐角时，从哪些方面可以判断求这个角是有解还是无解呢？
生4：当计算到sinB>1时无解；sinB1时有解。
生5：从a与bsinA的大小比较中也可以判定，如果absinA,则有解。
师：那么a=bsinA时，有解吗？
生5：也有的，因为这时sinB=1,可以得到B=90°。
师：以上的回答都很正确。也就是当已知角是锐角时，如果a1时无解；如果a≥bsinA,即sinB≤1时有解。
从正弦值与1的大小关系中我们的确知道了有解与无解的两种可能，但是已知条件明明都是两边和其中一边的对角，为什么一个无解，一个有解呢？同学们，大家是不是能够根据这两道题目的已知条件来画画图，看看究竟是什么道理？
师：现在先请哪一位同学讲一讲：你是怎么作出第一题所给条件的图形的？作出的图形说明了什么？
生6：按第一题的条件先作∠pAQ=30°，在AQ上截取AC=5,以点C为圆心，2为半径画弧。因为这条弧与射线Ap不相交，所以这样的三角形画不出来，因此无解。
师：对，同学们再考虑一下，bsinA能不能在图上用一条线段反映出来？
生7：bsinA是从C向Ap所引的垂线段的长。
师：很好，现在bsinA=5×12=52,故a
生8：按另一题的条件以C点为圆心，3为半径画弧，它与Ap有两个交点B和B′，我认为图中△ABC与△AB′C都符合题意，这时就产生了两解。
师：这里为什么圆弧会和Ap相交呢？请从数量关系上加以解释。
生9：因为a=3,bsinA=5×sin30°=52,得到a>bsinA,表明半径大于圆心到Ap的距离，所以相交。
师：对，因为a>bsinA,半径大于距离，这条圆弧与Ap一定相交。在这个图中有B和B′两个交点，说明有∠ABC和∠AB′C两解，它们一个是锐角，一个是钝角。大家想一想，这两个角有什么特殊关系呢？
（全体学生回答：互补。）
师：对，说明在有两解的情况下，∠B与∠B′是互补的。下面请同学们继续想一想，如果a=52,那将出现怎样的情况？
生10：这时a=bsinA,半径与圆心到射线Ap的距离相等，所以所画的弧与Ap一定相切（见图38）。如果切点是B,那么此时有一解：∠B=90°
师：根据上面的分析，我们可以从两个方面去判断它有解或无解：（1）从计算所得的正弦值即sinB与1的大小关系去判断；（2）从图形中看，a与bsinA（即C点到Ap的距离）的长短来比较：a
师：接着我们讨论第二个问题——根据前面的分析，当已知角是锐角，所求角的正弦小于1,即sinB1时，一定有解，但是否都有两解呢？请大家动笔练习一题：已知a=62、b=1、A=60°，求B。
师：好，请同学们讲一讲解题的过程。
生11：∵asinA=bsinB,∴sinB=bsinAa=1×3262=22,∴B1=45°，B2=135°，这道题有两解。
生12：我通过画图，以C为圆心，a=62为半径画弧与射线Ap只有一个交点，所以只有一解，B2=135°应该舍去。
师：大家想一想，哪个结论正确？B2=135°究竟该不该舍去？有哪些理由可以说明你的看法？大家讨论一下。
生13：如果B2=135°，A=60°，这两个角之和已超过180°，根据三角形和定理，这不可能的，所以应舍去。
师：很好！在一般情况下，当sinB1时，B应有一锐角、一钝角（它们互为补角）的两种情况。但当这个钝角与已知角的和大于或等于180°时，这个钝角应舍去，那么它就只有一解。
生14：我这么思考，由于62>1，也就是a>b,现在A=60°，假定B2=135°，则A
师：说得很好，只要已知角的对边不小于所求角的对边，即a≥b,那么所求的角只能是锐角，结论是：一解。如果已知角的对边小于所求角的对边，即a
生15：当sinB>1时无解；sinB=1时只有一解，这时B=90°；当sinB1时，a≥b,有一解，a
师：对。当sinB1时，只要从a、b两边的大小关系就可以判断它有一解还是两解。
师：最后，我们讨论第三个问题——当已知角是锐角时，它的解的情况我们已经明确了。那么当已知角是直角或钝角时，求另一边的对角的解又是怎样的情况呢？
请大家再画画图，思考一下，可根据什么条件来判断它的解的情况？是不是也一定要通过计算正弦值来确定？
生16：只要比较a、b的大小就可确定。当a>b时，有一解；当a≤b时，无解。
师：为什么不可能有两解呢？
生16：因为已知角已经是直角或钝角了，如果再求出一个钝角的话，就违反三角形内角和定理了。
师：对的，如果所求的B角有解，由已知角A已经是钝角或直角，根据三角形内角和定理，角B只能是锐角，因此只能有一解。那么当a≤b时，你为什么立即说它无解呢？
生16：当a≤b时，如果B有解，那么在这个三角形中，钝角（或直角）的对边a不是最大边了，这是不可能的。因此，当a≤b时无解。
师：回答得很好。根据同学们的分析，我们知道，当已知角是直角或钝角时，不必去计算正弦值就可了解它的解的情况。下面有一题，请大家判断一下：已知a=18,b=20,A=150°，求B。
生17：∵A=150°，∴a应是最大边，但a
师：这节课我们一起研究了在三角形中已知两边和一对角，求另一对角时，它的解的情况。
根据以上的分析讨论，我们可以归结出解决此类问题的顺序：先看已知角是锐角，还是直角或钝角。如果已知角是直角或钝角，那只需要由已知两边的大小关系来判断它无解或有解，这时不存在两解的可能；如果已知角是锐角，一般先计算所求角的正弦值，根据它是否大于1来判断它无解还是有解；在有解的情况下再结合已知两边的大小关系还可判断有一解还是两解。
今天的课外作业（略）
（二）案例分析
针对上述案例作如下说明：
1相关问题的思考
①上述数学教学的实际课例采用了什么样的数学教学模式？
②其教学设计采用的数学教学模式具有什么特点，其基本结构是什么？
③通过上述的案例分析，你认为这一数学教学模式的运用需要注意一些什么问题？
2对前面问题的分析
（1）上述数学教学的实际课例采用的数学教学模式为“诱导—尝试—归纳—回授—调节”教学模式，是顾玲源先生在20世纪80年代初在上海青浦县所进行的数学教学改革的实践成果。其名称中的十个字大致概括了这一教学模式的基本结构。这一教学模式曾对我国数学教育改革的尝试带来广泛的影响，得到数学教育界的普遍关注并在数学教学中被大面积地推广。
（2）其教学设计采用的数学教学模式具有什么特点，其基本结构是什么？
此数学教学模式一般是由教师将教材组织成一定的尝试层次，学生在教师的指导下，通过尝试来进行学习，同时，教师十分注意回授的学习效果，以强化所获得的知识和技能的教学策略，从而在传授基本知识和基本技能的同时，培养学生获得和运用知识的能力。
此教学模式对大面积提高教学质量，效果特别明显。
其基本结构一般由六个环节组成，我们可以对照实际案例加以分析，具体如下：
①启发诱导，创设问题情境：以问题作为教学过程的出发点，引发认知冲突，激发学生的学习动机。
②探究知识的尝试：进入问题情境后，应充分发挥学生学习的主动性，组织学生阅读、实验、观察、讨论，引导学生试着找出解决问题的策略。
③归纳结论，纳入知识系统：探究尝试结束后，组织学生根据尝试所得，归纳出一般结论，然后通过必要的讲解，使之纳入教材的知识系统中去。
④变式训练的尝试：以培养学生灵活转换的方法、独立思考能力为目标，精心设计一组由简到繁、由易到难的变式练习题，好比搭台阶，一级一级地把学生的思维逐渐引向新的高度。
⑤回授尝试效果，组织质疑和讲解：随时收集与评定学生尝试学习的效果，调节教学的进度和方法。尽早批改作业，及时了解学生掌握知识技能的情况，尽快通过补授，帮助学生克服学习障碍，避免学生问题积累、拉开距离。
⑥单元教学结果的回授调节：在一个单元或一个章节教学结束后，则根据教学目标的分类细目，通过测试进行教学效果反馈，采取补授措施。
（3）通过上述的案例分析，你认为这一数学教学模式的运用需要注意一些什么问题？
①这一教学模式不太适合对拔尖生学习的指导；
②对于其中的六个步骤，应该有所侧重，不能把它作为课堂教学的固定程序；
③六步骤中，尝试学习是中心环节，它包括探究知识和变式练习两方面；
④重视课内课外教学相结合，课内“面向多数，兼顾两头”，课外开展适当活动，必要时，还要进行个别辅导。
二、课题五：分式的意义
（一）教学目标
①理解并能说出分式的意义。
②理解并能求出分式有意义的条件。
③理解“数式通性”的思想方法，利用分数的意义推广到公式中应用。
（二）教学的重点和难点
必须在分式有意义的前提下，才能讨论分式的值。所以，在分式中，必须具备两方面的条件，即当分子的值等于零且分母不等于零时，分式的值才是零。有些学生往往只看到分子的值等于零时，就认为分式的值是零，而忽略了分母的值不等于零这个条件。
（三）课前预习
课前要求学生自学课本后，先解决下列尝试题（都是课本中的）：
（1）课本中3个例题各说明了什么数学知识？
（2）试一试，下列各式中哪些是分式？
1a,x+a2,a2+b23x,x2+3y28
（3）当x取什么值时，分式x+12x—5有意义？
（四）教学过程
1导入新课
甲、乙两人做某种机器零件。已知甲每小时比乙多做6个，甲做90个所用的时间与乙做60个所用的时间相等。求甲乙每小时各做多少个？
设甲每小时做x个零件，根据题意，列出方程90x=60x—6
我们暂时还不能解这个方程，因为90x、60x—6都不是整式，运用我们已经学过的整式以及方程知识，不能解决问题。为了解决上述问题，以及类似问题，就必须学习新的知识：第十五章分式。
这节课先学“分式的意义”（板书）。
2尝试学习新课
检查课前自学尝试情况，分析讨论尝试题。
第一，课本中3个例题各说明了什么数学知识？
①两个整式相除，可写成分式。
②在分式中，只有分母的值等于零时，分式没有意义，此外，分式都有意义。
③在分式中，当分子的值等于零，且分母的值不等于零时，分式的值是零。
（要求学生学会看课本，弄清每道例题所说明的数学知识，能够抓住本质。）
讨论课前尝试题2和3。
第二，理解分式的意义。
辨别哪些是分式，哪些不是分式，并说出根据。课本练习1、2题作口答，并讨论以下各式是否为分式：
5a—b,mn,10π，2xπ+2
第三，讨论分式是否有意义。
课本练习第3题：1x,2xx+2,x+12x—5
第四，讨论分式的值是零。
课本练习第4题：5xx—1,x—42x—3,3x+74x—1
3再次尝试，深化认识
采用抢答，分组竞赛的方法。
第一，判断题（并说出理由）。
①一个分式的分子为零时，分式的值一定为零。……（1）
②分式3x—yx+3也可以写成3x—y÷x+3。……（2）
③AB为两个整式，式子AB叫做分式。……（3）
④当x=5时，2x—10x—5的值为零。……（4）
第二，思考题。
①当x取什么值时，下列分式无意义，当x取什么值时，下列分式的值为零？
x+1x+5
②当x取什么值时，下列分式的值为零？
x2—4x—2
4全课总结
这堂课学到了什么？你觉得哪些知识有困难，容易出差错？
5布置下节课尝试题
（1）什么是整指数幂。
（2）把下列各式写成只含有正整指数幂的式子：—2y—3,（x+2y）—3
（3）利用负整指数幂把下列各式化成不含分母的式子：—xy2,2x（a+b）2
针对上述案例作如下说明：
（五）案例说明
1.关问题的思考
①上述数学教学的实际课例采用了什么样的数学教学模式？
②其教学设计采用的数学教学模式具有什么特点，其基本结构是什么？
③通过上述的案例分析，你认为这一数学教学模式的运用需要注意一些什么问题？
2对前面的问题的分析
（1）本教学课例采用的数学教学模式为“尝试法”教学模式，是邱学华先生经过20多年反复的实践、研究，再实践、再研究的不断探索与升华而形成的一种在我国数学教学领域内影响很广的数学教学模式。这一教学模式的灵魂是“先试后导、先练后讲”，其中的“先试”就是“先让学生试一试”，这是尝试教学理论的基本精神。
（2）其教学设计采用的数学教学模式具有什么特点，其基本结构是什么？
其主要特点是让学生在尝试中学习，在尝试中成功。一般由教师提出问题，学生在旧知识的基础上，自学课本和互相讨论，依靠自己的努力，通过尝试练习去初步解决问题，然后教师根据学生尝试练习中的难点和教材的重点，有针对性地进行讲解。从而把教师的主导作用和学生的主体作用有机地结合起来，使学生的尝试活动取得成功。概括地说就是“学生能尝试，尝试能成功，成功能创新”。
对照实际案例分析其基本结构如下：
①准备练习。这一步是学生尝试活动的准备阶段。对解决尝试问题所需的基础知识先进行准备练习，然后采用“以旧引新”的办法，从准备题过渡到尝试题，发挥旧知识的迁移作用，为学生解决尝试题铺路架桥。
②出示尝试题。这一步是提出问题，也就为学生尝试活动提出任务，让学生进入问题的情境之中。尝试题出示后，必须激发学生尝试的兴趣，激活学生的思维：“老师还没有教，谁会做这道题目？”“看谁能动脑筋，自己来解决这个问题。”先让学生思考一番，同桌的学生可以互相议论一下，如何解决尝试问题。
③自学课本。这一步是为学生尝试活动中自己解决问题提供信息。出示尝试题后，学生产生了好奇心，同时产生解决问题的愿望。这时引导学生自学课本就成为学生切身的需要。“这道题你们还不会做吧，请翻开课本看看例题是怎样做的，再想想这道题应该怎样做。”
自学课本前，教师有时可提一些思考问题作指导。自学课本中，学生遇到困难可提问，同桌学生也可互相商量。通过自学课本大部分学生对解答尝试题有了办法，都跃跃欲试，时机已经成熟就转入下一步。
④尝试练习。这一步是学生尝试活动的主体。尝试练习根据学科特点有多种形式。教师要巡视，以便及时掌握学生尝试练习的反馈信息，找准学生的困难在哪里，这就为后面教师讲解提供信息，以便对后进生进行个别辅导。学生尝试中遇到困难，可以继续阅读课本，同桌学生之间也可互相帮助。尝试练习结束后，转入下一步。
⑤学生讨论。尝试练习中会出现不同答案，学生会产生疑问，这时引导学生讨论。谁做对了，谁做错了，不同看法也可以争论。其实，在对尝试题评议讨论的过程中，学生已经在尝试讲道理了。学生互相讨论后，学生迫切需要知道自己尝试的结果是否正确，这时听教师讲解已成为他们的迫切要求。教师讲解火候已到，就转入下一步。
⑥教师讲解。这一步是确保学生系统掌握知识。有些学生会做尝试题，可能是按照例题依样画葫芦，并没有真正懂得道理。因此，在学生尝试练习以后，教师还要进行讲解。
这里的教师讲解同过去的方法不同，不要什么都从头讲起。因为现在学生的起点不同，他们已经通过自学课本，并亲自做了尝试题，对这堂课的教学内容已经有了初步的认识。教师只要针对学生感到困难的地方、教材关键的地方重点进行讲解。教师要讲在点子上，讲在学生还模糊的地方。讲解时要注意运用直观教学手段，如多媒体教学手段。
⑦第二次尝试练习。这一步是给学生“再射一箭”的机会。在第一次尝试练习中，有的学生可能会做错，有的学生虽然做对了但没有弄懂道理。经过学生讨论和教师讲解后，得到了反馈矫正，其中大部分人会有所领悟。为了再试探一下学生掌握新知识的情况以及把学生的认识水平再提高一步，应该进行第二次尝试练习，再一次进行信息反馈。这一步对中、差生特别有利。
第二次尝试题不能同第一次相似，否则就失去了意义。它一般同例题稍有变化或采用题组形式。第二次尝试练习后，教师可进行补充讲解。
（3）通过上述的案例分析，你认为这一数学教学模式的运用需要注意一些什么问题？
①这一教学模式的基本操作模式并不是凝固不变的，应该根据不同教学内容、不同的学生情况以及教学条件的变化而灵活应用。
②应用尝试教学操作模式，学生要有一定的自学能力。因此要注意学生对象的具体情况，如年龄、基础等。
③对于初步概念的引入课，一般不适合于应用“尝试法”教学模式。一般来说，前后有密切联系的教材，作为后继教材内容，应用尝试教学效果较好，这一点需教师在处理具体教材时予以把握。
④实践性较强的教材内容不适合于应用。有些实践性较强的教材内容强调学生进行动手操作，直接尝试似有强人所难之嫌，因此应用起来有一定的困难。
三、课题六：平面平行判定定理
（一）案例引入
师：观察教师天花板与地面所在的两个平面，它们有怎样的位置关系？
生：平行。
师：你能说出为什么平行的道理吗？
生：……
师：以前见过类似这样的问题吗？
生：在“用定义证明直线与平面平行”中见过。
师：那时，用“直线与平面平行的定义”证明直线与平面的平行，而不易证时，我们是怎样处理这个问题的？
生：寻找便于证明的判定定理，即寻找判定“线面平行”的条件。
师：照这样分析，我们现在要探寻的是“面面平行”的判定条件，那么条件又是什么呢？
生：……（一时想不起）
师：还要像探寻“线面平行判定的条件”那样，从实际问题中去提炼吗？
生：……（还是拿不准）
师：从实际问题中去提炼是一种方法，但现在我们已有“线面平行的判定定理”作基础，我们能否从分析“线面平行判定定理”的条件与结论入手，去获得有益的启示呢？
生1：“线面平行判定定理”的条件是“线线平行”，结论是“线面平行”。
生2：我明白了，“线面平行”的条件是“线线平行”，即证明“线面平行”的问题转化为证明“线线平行”的问题。照这样，判定“面面平行”的问题可以转化为判定“线面平行”的问题。
生3：按照这种想法，我认为，判定“面面平行”的问题也可转化为判定“线线平行”的问题。
师：大家的分析都很有道理，并且集中揭示了解立体几何问题的一个重要的思想方法，这个思想方法是什么？
生（齐）：高维向低维转化。
师：究竟这两位同学的想法是否正确，下面我们一起来逐个验证。
师：根据以上分析，“面面平行”的判定条件是“线面平行”，那么“线面平行”的含义如何？
生1：一平面内一直线与另一平面平行。
生2：一平面内两平行直线与另一平面平行。
师：上述假说是否正确，我们来逐一检验，下面请同学们观察思考下列问题：
①已知a∥α，则过a的平面是否一定与α平行？
②已知a∥α，b∥α，且a∥b,则过a、b的平面是否一定与α平行？为什么？
③已知a∥α，a∩b,则过a、b的平面是否一定与α平行？为什么？
④经过怎样的两相交直线的平面才能与α平行呢？
师：上述命题是否正确，请同学们自己画出图形，写出已知、求证。
师：欲证β∥α实质是证明什么？
生：β与α没有公共点。
师：能否说得更具体一点呢？
生：即证α上的任意点，都不在β上。
师：对于处理“任意点都不在β上”的证明问题，以前见过吗？
师：用什么方法？
生：用反证法，假设α与β不平行。
师：下面请同学们自己用反证法写出上述命题的证明。（学生证后，师生共同讲评，并引出“面面平行的判定定理”，学生口述，教师板书）
生：（不满足地）本题可用直接法证（其余同学为之诧异）。
师：请把你的直接证法说给大家听听看。
生：任取点A∈β，点A对于α的位置关系只有两种，A∈α或Aα，若A∈α，则α与β相交于过A点的一条直线，设为c,余同前述证法。
师：说得好！请同学们仔细想想看，这种证法的实质是什么？
生：以反证法为基础。
师：前面曾提到，面面平行判定定理的条件可以是“线线平行”，那么“线线平行”的含义又是什么呢？
生：一平面内一直线平行于另一平面内一直线……
师：好！下面请同学们自己逐一分析研究这些条件，为此，观察、思考下列问题：
①已知aα，a′β，a∥a′，a与β是否一定平行？（教师演示模型，学生观察回答，下同）
②已知a、bα，a′、b′β，且a∥a′，b∥b′，a与β是否一定平行？
③α内的两直线a、b与β内的两直线a′、b′，应满足怎样的条件才能使α与β平行呢？
师：“面面平行”判定的条件一定要从线线或线面平行的位置关系中去寻找吗？能否从线面的其他位置关系中探寻出“面面平行”的判定条件呢？
生：线面的其他位置关系只能是相交。
师：对！要从线面相交的位置关系中，探寻出“面面平行”的判定条件，一般的认知方法是什么？
生1：从特殊情形出发。
生2:线面相交的特殊情形是线面垂直，照此说法，应先考虑直线和两平面都有垂直的情形。
生3：（受“线面平行”判定定理形成的启发）从考察教室的内部结构出发可知：四条墙脚线垂直于上下底面，则上下底面平行。
生4：因为四条墙角线是平行的，其中一条垂直于上下底面，其余三条必垂直于上下底面，因此，如果生2的假说成立，那么面面平行判定的条件可以是“一直线同垂直于两平面”。
师：根据上面的分析，请同学们概括出这个命题。
生：（命题2）如果两平面同垂直于一条直线，那么这两个平面平行。
师：在命题2中，将“与两平面垂直的直线”改为“不垂直”，命题还成立吗？（教师演示模型，学生观察）
生：不成立。
师：能否再加一些条件使命题2成立呢？请同学们自己演示模型，观察分析得出结论。
生1：平面与平面间的两平行线段相等，则α∥β。
生2：不对！这只能保证平面β内的一直线与平面α内的一直线平行，我觉得条件应该是平面α内不在一条直线上的三点到平面β间的平行线段相等。
生3：这些条件还不够，因为若α与β相交，也能在α上找到不共线的三点，它们与平面β间的平行线段相等。
师：同学们讨论得很好，谁来概括出这一命题呢？
生1：（命题3）平面α上，不共线的三点（在β同侧）到平面β间的平行线段相等，则α∥β。
生2：若命题3成立，那么命题3的特殊情形也成立，即有：命题4：平面α内不在一直线上三点（在β同侧）到平面β的距离相等，则α∥β。
师：还能够演变出另外的命题来吗？（延迟）比如，保持α不动，让β逆时针方向旋转呢？（教师演示图形）
生：（命题5）α与β间不共面的三线段AA′、BB′、CC′交于一点O,且AO=A′O,BO=B′O,CO=C′O,则α∥β。
师：你们探索到的命题3到命题5都是正确的，有兴趣的同学课后去验证。在“面面平行”判定定理的学习中，我们应掌握哪些知识和方法呢？请同学们在示意图下方写出相应的定理和命题，标出这些定理或命题间的思维联系，并提炼出应用这些定理或命题解题的思想观点。
（二）案例分析
针对上述案例作如下说明：
1.关问题的思考
①上述数学教学的实际课例采用了什么样的数学教学模式？
②其教学设计采用的数学教学模式具有什么特点，其基本结构是什么？
③通过上述的案例分析，你认为这一数学教学模式的运用需要注意一些什么问题？
2.前面的问题的分析
（1）本教学课例采用的数学教学模式为“质疑法”教学模式。
“质疑法”教学模式就是通过创新的教学思想、新颖的教学方法、人性化的教学设计，来落实素质教育目标的数学教学模式，从其原始形态来看，类似于以布鲁纳为代表的发现学习的教学模式。
（2）其教学设计采用的数学教学模式具有什么特点，其基本结构是什么？
质疑法教学的主要特点是，在教学中不断提出问题（既可以是教师提出，也可以是学生生疑），组织课堂讨论，以此来完善教师的教学方式和学生的学习方式，使学生的学习过程变成学生发现问题、提出问题、分析问题和解决问题的过程，以培养学生的创新精神和实践能力，更好地完成教学任务，全面提高学生的素质。
对照实际案例分析其基本结构：
①设疑。采用多种手段与方法，巧设新奇的悬念、问题和情境，促使学生产生对某问题的不相信、疑惑，但一时又无法断定、不能解决，进而引起猜度、期待解决的情绪状态。
这一环节是学生质疑心理情感的酝酿阶段，是质疑法教学的关键步骤，应予以足够的重视。既要适时把握学生的心理，也要在选取手段和使用技巧上下工夫。我们称之为质疑的“酝酿阶段”。
②激疑。教师根据事先设计的教学目标、计划程序，进一步地提出中心问题的“边缘”问题，有效地刺激学习者，使学习者产生强烈的、富有情感的认知冲突，激化学习者内在的一种强烈的平息这一冲突的心理期待，从而使学习者进入最佳的学习状态。这一步骤被称为质疑的“激化阶段”。
③启发。充分把握学生对数学问题的兴趣爱好，紧紧抓住学生的原认知结构的状态特征，进行恰当的启发诱导，适时地点拨引领，或举例或比较，或猜想或比喻，使学生内在的心理冲突疑虑能够顺利地转化为平息冲突、填补空缺的外在的自觉行动。激发学习者的数学思维，开拓他们的数学想象，使学习者进入一种广泛迁移、主动发现和积极探究的数学活动状态。我们称这一阶段为质疑的“启发阶段”。
④析疑。提出问题是为了解决问题，质疑是为了析疑。在上述“激化阶段”和“启发阶段”的准备酝酿下，对学生提出的解决问题的想法和思路进行共同的分析（既可以是学生与学生之间的共同分析，也可以是教师参与学生中间进行讨论分析），从多个角度、多个层面、正向逆向、全方位地进行辨析和争论，使生生之间、师生之间的思维产生碰撞与交汇，从而达到化解疑问的目的。这一步骤可称为质疑的“辩驳析疑”阶段。
⑤评价。事实上，解决问题也不是数学活动的最终目标，而应该是通过展示质疑的全过程来发现和掌握数学方法，形成数学思想，通过归纳概括而提高数学理论水平，使学生在今后的学习或其他思考领域中能够有意识地把已掌握的数学理论思想方法加以运用，形成一定的数学能力，尽最大可能地体现数学的教育功能作用。我们称这一阶段为质疑的“评价归纳”阶段。
（3）通过上述的案例分析，你认为这一数学教学模式的运用需要注意一些什么问题？
①“质疑法”教学模式并不适合所有的教学内容，对一些数学概念的初次引入，往往需要教师举例分析、解释验证，故不宜用这种教学模式。对于具体的数学教学内容，应该具体对待，不能滥用、套用教学模式。
②运用“质疑法”教学模式的前提是学生学习的兴趣和热情以及积极主动的学习状态，否则学生就不可能积极参与教学活动，质疑教学将会落空，也就谈不上数学创造性思维的培养。
③运用“质疑法”教学模式的一个重要目的是培养学生的质疑能力，形成善于质疑的品质，养成勇于质疑的习惯，而不仅仅是课堂数学教学内容本身的学习和掌握。
④“质疑法”教学模式旨在培养学生善于学习、善于运用的能力，因而在整个教学过程中，尽量让学生独立生疑、探疑和释疑至关重要，切忌教师事事替代，而使这一教学法流于形式。
四、课题七：排列与组合复习课
（一）案例引入
师：今天这节课的内容是“排列组合复习”，要求同学们开动脑筋，积极思索我所提出的每一个问题。
①排列组合数计算公式；②组合数性质；③解排列组合题的一般方法；④解排列组合题应注意的问题。
生：①公式：pmn=n（n—1）…（n—m+1）=n!（n—m）！
Cmn=n（n—1）…（n—m+1）m!=n!m!（n—m）！
②性质：Cmn=Cn—mn
Cmn+Cm—1n=Cmn+1
C0n+C1n+…+Cmn=2n
C0n+C2n+…=C1n+C3n+…
③方法：分类法、位置法、排除法等。
④注意：防止“重复”与“遗漏”。
师：不错！对解排列组合题的方法，我补充两点：
①一般方法的选择：问题分成互斥各类，根据加法原理，可用分类法；问题考虑先后次序，根据乘法原理，可用位置法；问题的反面简单明了，根据减法原理，可用排除法。
②特殊方法的运用：①复杂排列用转化法，先取后排，转化为组合问题，利用转化公式pmn=Cmnpmm；②某些元素必须在一起的紧密排列用“黏合法”，紧密结合的黏成小组，组内外分别排列；③某些元素必须不在一起的分离排列用间隔法，无需分离的在空位上进行排列。
师：有了上述准备，掌握了解决排列组合问题的一般及特殊方法，接下来我们来解几个范例。
例36求不同分法的种数：
（1）6人平分为甲、乙、丙3组；
（2）6人平分为3组；
（3）6本不同书分给甲、乙、丙3人，甲1本，乙2本，丙3本；
（4）6本不同书分给甲、乙、丙3人，1人1本，1人2本，1人3本。
师：请同学回答。
生：（1）、（2）都是C26C24C22；（3）、（4）都是C16C25C33。
师：从这个解答中，说明他对位置法是能掌握的，但要请大家注意：（2）、（4）是否分别与（1）、（3）一样？是否产生了“重复”、“遗漏”错误？
生：（自动举手要求解答）（2）与（1）不一样，（4）与（3）也不一样，（2）、（4）答案都不对，分别产生“重复”、“遗漏”错误。
师：说得对！继续说下去，作具体分析。
生：对第（2）小题，6人平分为3组，组别指明甲、乙、丙时，分法种数为C26C24C22,现未指明组别，这样一来，甲乙丙、甲丙乙、乙甲丙、乙丙甲、丙甲乙、丙乙甲这列种分法实际上是同一种，需做除法才能防止“重复”错误的产生。故分法种数为N2=C26C24C22/p33=15（种）；对第（4）小题，3人分书。甲1本，乙2本，丙3本时，分法种数为C16C25C33,现未指明谁1本，谁2本，谁3本，因此甲、乙、丙的顺序（p33种）还可以变化，需做乘法才能防止“遗漏”错误的产生，故分法种数为N4=C16C25C33p33=360（种）。
师：他分析得很透彻！我们应当认识到：例1中是否指明甲、乙、丙是有区别的。若不加区别，就会产生“重复”、“遗漏”的错误。这是解排列组合题必须引起高度重视的问题。现在我将例1（2）一般化：n人均匀分成m组（n=mk,k∈N），问分法种数如何？
生：分法种数为CknCmn—k…Ckk/pmm种。
师：对，如果10人分成3组，一组4人，另两组都是3人，如何计算分法种数？有均匀（两组都是3人），又有不均匀（一组4人），怎么办？先考虑均匀，还是先考虑不均匀？
生：分法种数为N=C410·（C36C33/p22）。
师：很好！你们已理解了不均匀分组的计算，先考虑不均匀，剩下的就均匀了。这样，分组问题已经彻底解决了。现在看下面的例题：
例37数集A＝{1,2,3,4,5},B={6,7,8},问：
（1）A到B的不同映射有几个？
（2）B的每个元素都是象的不同映射有几个？
师：做好第（1）小题的请举手！
生：映射个数是N1=3×3×3×3×3=35=243（个）。
师：对！
师：（启发）6、7、8都是象，五个原象与三个象的对应关系如何？
生：只能是
○○○→□
○→□
○→□或○○→□
○○→□
○→□
师：（继续发问）怎样计算每一类映射的个数？它与上题的分组有关系吗？
生：可以将本题转化为一个熟悉的分组问题。因为是映射，象6、7、8可变化顺序，要再排，还需利用转化法，便得到B的每个元素都是象的映射个数为N2=N′+N″=C35（C12C11/p22）p33+C15（C24C22/p22）p33=60+90＝150（个）
师：现在请看下一例。
例38求不同坐法的种数：
（1）6男2女坐成一排，2女不得相邻；
（2）4男4女坐成一排，男女均不得相邻；
师：请同学说出第（1）小题答案。
生：坐法种数为N=p88—p77p22（种）。
师：完全正确！她是用黏合法结合排除法来解的，其解题思路为“先紧密排列，2女黏成一组，与6男共成七组，组内排列为列，组外排列为p22种，得2女相邻的坐法为p77p22种，再从总体p88种中排除，便得到2女不得相邻的坐法种数”。
师：例38（1）有没有更简单的方法？2女不得相邻，也就是必须分开，这意味着什么？
生：坐法种数N1=p66p27（种）。
师：显然两种解法的思路不同，但殊途同归，答案一样（p88—p77p22=6p77=p66p27），都是正确的。现在请一位同学总结解题方法。
生：解决分离排列的问题可以用黏合法结合排除法，也可直接用间隔法。
师：大家认为这一小结对不对？
生：（大多数）对！
师：例38（1）改为“5男3女坐成一排，3女都不得相邻”，问：“两种答案：p88—p66p33与p55p36都对吗？”
生：这两答案分别为36000、14400,可肯定其中一个是错的。但到底哪一个错，搞不清！
师：（继续启发）请注意条件：“3女都不得相邻”的含义。
生：（恍然大悟）前一答案用排除法，排除了都相邻，得到的是“3女不都相邻”的坐法种数，其中自然包含有2女相邻的情形，因此把题意理解错了，把不符合条件的种数也算进去了，导致失误；而间隔法在6个空位中排3女，保证了3女都不相邻，题意理解正确，答案显然也对。解决分离排列的问题用间隔法，既直接又不易出错。
师：请说出例38（2）的答案。
生：坐法种数N2=p44p45（种）。
师：他知道用间隔法，应肯定；但这一结果正确吗？先坐男的，空位坐女，对吗？
生：不对！这样排法，女的不相邻了，男的就不一定不相邻。
师：那么先坐女的，空位坐男，对吗？
生：同样错！（都笑了）
生：（在笑中领悟到了）男不得相邻，女也不得相邻；必须男女都坐好，即男坐奇数位，女坐偶数位，或者对调。正确的坐法种数应为2p44p44=1152（种）。
师：答得实在好！现在看最后一例。
例39直线与圆相离，直线上六点且A1、A2、A3、A4、A5、A6,圆上四点B1、B2、B3、B4,任两点连成直线，问所得直线最多几条？最少几条？
生：所得直线可分为两类：已知直线上与圆上各取一点或圆上取两点，得到直线最多条数N1=C16C14+C24。
师：有没有遗漏？
生：漏掉了一条已知直线。直线最多条数应为N1=C16C14+C24+1。
师：（启发）在直线条数最少时，重合的直线最多，需要用排除法减去重合的直线条数。因此时由已知直线上与圆上各取一点连成的直线已经有重复，而重复多的直线即是由圆上取两点连成的直线，排除重复，便得直线最少条数为（C16C14—C24+1）条。
（二）案例分析
针对上述案例作如下说明：
1.相关问题的思考
①上述数学教学的实际课例采用了什么样的数学教学模式？
②其教学设计采用的数学教学模式具有什么特点，其基本结构是什么？
③通过上述的案例分析，你认为这一数学教学模式的运用需要注意一些什么问题？
2.对前面的问题的初步分析
（1）本教学课例采用的数学教学模式为“整体与范例”教学模式。
“整体”教学主要是针对数学教学比较偏重于形式的记忆、演算，以及技巧的运用，对数学概念的背景及其形成过程比较轻视的现象而提出的。
“范例”教学思想早在古希腊人文主义的“完满教育”和西塞罗的“人性研究”中已见端倪，在夸美纽斯、沃尔夫、康德、胡塞尔等人的教育学与哲学著作中也有所反映。但范例教学法作为一种教学理论流派的出现，始于20世纪50年代的联邦德国。
把这两种教学思想方法加以巧妙的融合，既体现数学理论内在的规律性，又体现了学生主动学习和把握数学思想实质的现代数学教学的目标要求。
（2）其教学设计采用的数学教学模式具有什么特点，其基本结构是什么？
“整体与范例”教学模式注重教材内在的系统性和关联性，特别强调知识结构的协调性和整体性，使学习者对知识内容有个基本的、全貌性的把握，以此来理解数学理论的本质。
同时精心选取那些在日常生活素材中隐含着本质因素、根本因素、基础因素的典型事例，即范例。通过基本性、基础性和范例性知识教学，培养学生具有独立的判断能力和创造能力。
对照上述具体数学教学案例，“整体与范例”教学模式的基本结构由如下的几个环节组成：
①阐明课时教学内容的基本目标和基本结构，解释本课题与前后章节内容的联系特点和关联程度，使学生能够从整体宏观上对本课题的目标、特点和结构有一个大致印象，以提高学生数学思维的整体性和广阔性。
②以个别事实、对象为例，通过具体、形象的事例进行类比、启示，来说明数学概念、数学事实的本质特征。在教学中，教师首先以一个或几个特殊情形为例，对它进行充分、彻底的探讨，使学生透彻地认识这个特例，真正地把握它的特性，从而使学生对一般情形有个整体的认识。
③对个别事例进行类比、归纳，对一些在本质特征上相一致的个别数学例子加以总结，进行抽绎，获得数学知识的本质特征，上升到“类”的高度，形成一定的数学思想。
④在上述阶段的基础上，如何把握数学理论内在的规律性将成为重要的一环。通过具体、直观的“个别”，上升为一般化、相对抽象的“类”，再发掘出“类”里边的规律性的内容。
只有把握了数学内在的规律性，才能体会到数学的精神，才能认识数学理论的价值所在。
⑤通过上述教学的层层递进，最终使学生认识到数学与现实世界的密切关联性，解决数学问题也即解决现实生活问题，这样学生不再把数学仅仅看做公式加计算，而是更加深刻地体会到数学的现实性和应用性，达到形成和提高使用数学、应用数学能力的目的。
（3）通过上述的案例分析，你认为这一数学教学模式的运用需要注意一些什么问题？
①要注意问题解决与系统学习的相互统一。教学中既要强调培养学生的问题意识，针对学生存在的或提出的问题组织教学，同时也要充分注意到课题的系统性。事实上，虽然学生的学习材料是个别的、特殊的、典型的内容，但却是一个完整的知识系统。因为每个课题都是学科系统中的一个有机组成部分，它们之间是有内在的逻辑联系，而不是各自孤立和支离破碎的。
②要实现掌握知识和发展能力的相互统一。教学中不仅要向学生传授知识的精华和重点，同时还要教给学生科学方法、学习方法，有意识地增减学生的多种能力，使学生在掌握知识的同时，其智力也能获得发展。从而使培养出来的学生能够较好地适应时代发展的需要。
③要实现主体与客体的相互统一。教学中不仅要了解、把握学生这个主体，同时还要深入研究教材这个客体，并把这两个主要因素结合起来，做到主体和客体的统一。为此，教师既要了解和熟悉教材，又要了解和熟悉学生的身心发育特点与个性品质，从而使教师传授的教学内容与学生的身心发展实际、认识能力发展水平以及兴趣、爱好、需要相适应，最大限度地调动学生学习的主动性和积极性。
五、课题八：等比数列
（一）教学目标
①掌握等比数列的定义；
②归纳出等比数列的通项公式；
③会解决有关通项公式的简单问题；
④进行史志教育，激发学生学习数学的兴趣；
⑤渗透数学中的类比、归纳、猜测等合情推理方法。
（二）教学过程
1.复习
①等差数列的定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用d来表示。
②等差数列的通项公式：an=a1+（n—1）d。
③an=am+（m—n）d（n>m）。
④若m+n=p+q,则am+an=ap+aq。
（详细板书，为展开新课作准备）
2.引入
早在春秋战国时代，我国名家公孙龙子就有个著名的论断：“一尺之棰，日取其半，万世不竭。”若设该棰的长度为单位1,那么，每天所得的长度就构成一个数列：12,14,18,116…在此引入数学史料，进行数学史志教育。
传说印度国王为了嘉奖国际象棋的发明者，将他召到王宫，并让他尽管提条件，这个发明者说：请国王在国际象棋棋盘的第1个格子里放上1粒麦子，在第2个格子里放上2粒麦子，在第3个格子里放上4粒麦子在第4个格子里放上8粒麦子，以此类推，直到最后一个格子。国王听后哈哈大笑，说他的条件太少了，便吩咐人去办，可经办人一算，吓了一跳，发现全印度的麦子给了他还远远不够。在这里，每格的麦子数构成了这样一个数列：1,2,4,8…由此激发学生学习的兴趣。
3.定义
在认真考察以上两个数列，寻求它们的共同点，并对照等差数列的定义后，绝大部分同学都非常轻松地自己给出等比数列的定义。（在等差数列定义的基础上，用彩色粉笔改动几个关键词即可。）
（1）定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的比等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列，这个常数就叫做等比数列的公比，通常用q来表示。
（2）思考：①常数数列是不是等比数列（常数数列是等差数列，但不一定是等比数列，只有非零常数数列才是等比数列，同时强调等比数列的各项都不能为零，在此注意培养学生思维的严谨性）。②q的取值范围（q≠0）。
4.探索发现通项公式并巩固练习
先请同学们写出上述两个实例的通项公式。对于一般情况，公比为q的等比数列{an}怎样求它的通项公式呢？由于学生有求等差数列的通项公式的经验，他们非常自然地会想到用归纳推理：
a2=a1q
a3=a2q=（a1q）q=a1q2
a4=a3q=（a1q2）q=a1q3
…
由此学生一定会大胆地提出猜想：等比数列{an}的通项公式是an=a1qn—1。
说明：①归纳所得结论不一定可靠，这个通项公式的正确性学习了数学归纳法后再证明。②在通项公式中涉及四个量：a1,an,q,n。只需已知其中三个量，便可求出第四个量。
例310培育水稻新品种，如果第1代得到120粒种子，并且从第1代起，以后各代的每一粒种子都可以得到下一代的120粒种子，到第5代大约可以得到这种新品种的种子多少粒（保留两个有效数字）？
解逐代的种子数组成等比数列，记为{an},其中a1=120,q=120,因此，a5=1205—1≈251010。
答：到第5代可以得到种子25×1010粒。
（密切联系生活，培养应用意识）
例3.1一个等比数列的第3项与第4项分别是12与18,求它的第1项与第2项。
解设首项为a1,公比为q,则
a1q2=12,……①
a1q3=18,……②
解①②所组成的方程组，得q=32,a1=163,
∴a2=a1q=16332=8,答：这个数列的第一项与第二项分别是163与8。
例312在等比数列{an}中a1+a2=30,a3+a4=120,求a5+a6。
分析绝大部分同学会仿照例2的解法，分别求出a1与q,从而求得a5+a6（问题是有无新发现，或者是否有更简便的解法）。
5.在再观察、再探索发现中加以巩固
（1）{an}是等比数列，请同学们考察以下的新数列：
①a1+a2,a2+a3,a3+a4,…
②a1+a2,a3+a4,a5+a6,…
问：你有什么新发现？
不难发现①、②两个新数列也成等比数列，它们的公比分别是q和q2,你能发现例3新的解法吗？例3的新解法如下：
∵a1+a2=30,a3+a4=120,∴a5+a6=120·12030=480
（2）等差数列中有公式an=am+（m—n）d（n>m）。
若m+n=p+q,则am+an=ap+aq。同学们能否在等比数列中得出类似的结论呢？绝大部分同学都能归纳出结论：
①an=amqn—m（n>m）；
②若m+n=p+q,则am·an=ap·aq。
再要求同学在课堂上进行证明，两个学生在黑板上板演。对于公式①，可指出它与通项公式的“一般与特殊”的关系。
（3）补充练习：等比数列{an}中，各项都是正数，且a6·a10+a3·a5=41,a4·a8=4,求a4+a8。（解决本题，要有较强的整体意识）
解在等比数列{an}中，由a6·a10+a3·a5=41得
a24+a28=41,……①
又a4·a8=4,……②
①+2×②得a24+2a4·a8+a28=49,即（a4+a8）2=49
（这里根据等比数列的性质，运用等积变形和整体换元的思想，十分简洁地得出了结果）
6.小结
等差数列与等比数列是两类基本也是最重要的数列。这堂课我们把等比数列与等差数列的有关概念和性质进行类比与对比，既十分自然地得出了等比数列的定义及类似的性质，又非常清楚地揭示了等比数列的本质。
7.作业
本课遵循“教学、研究、发现”同步协调的原则和“既教（学）证明，又教（学）猜想”的原则，恰当地引进数学史料，从激发学生的学习兴趣入手，进行数学中的合情推理、逻辑推理和一般解题方法的教学，较圆满地完成了“等比数列”第一课时的教学任务。
（三）案例说明
针对上述案例作如下说明：
1.相关问题的思考
①上述数学教学的实际课例采用了什么样的数学教学模式？
②其教学设计采用的数学教学模式具有什么特点，其基本结构是什么？
③通过上述的案例分析，你认为这一数学教学模式的运用需要注意一些什么问题？
2.对前面的问题的分析
（1）本教学课例采用的数学教学模式为“MM”教学模式，即数学方法论（mathematical methodology）教育方式。
（2）其教学设计采用的数学教学模式具有什么特点，其基本结构是什么？
“MM”教学模式的主要特点是在数学教学过程中，教师遵循数学本身的发现、发明与创新等发展规律，遵循学生的身心发展和认知规律，力求使他们同步协调，并应引导学生不断地自我增进一般科学素养、社会文化修养，形成和发展数学品质，全面提高学生素养。
“MM”教学模式是教师在数学教学全过程中，充分发挥数学教育的两个功能，自觉地遵循两条基本原则，瞄准三项具体目标，恰当地操作八个变量（运用八项教学措施），从而达到全面提高学生素质的目的。具体程序如下：
数学方法论的基本原理分解MM因子（8个）转化MM可控变量（8个）操作MM状态变量（8个）合成实验指标（即人的素质指标）综合抽象学生的素质
①其中八个MM因子为：数学的对象及性质研究，数学美学方法研究，数学发明心理学的研究，数学家成长规律的研究，数学史与数学教育史的研究、观察、实验、归纳、类比、联想、猜测等合情推理方法，数学模型法、公理化方法和抽象分析法等逻辑推理方法，一般解题方法研究。
②八个MM可控变量为：数学的返璞归真教育（密切联系生活，提倡问题解决）；数学教学中的美育（运用审美原则，引进美学机制）；数学发现法教育（揭示创造活动，再造心智过程）；数学家优秀品质教育（介绍生平事迹，分析成败缘由）；数学史志教育（巧用数学史料，编制轶事趣闻）；合情推理的教学（教（学）猜想，教（学）发现）；演绎推理的教学（教（学）证明，教（学）反驳）和一般解题方法的教学（教（学）规律、策略、算法、应变）；
③八个MM状态变量为：数学意识，应用能力；数学美感，审美能力；数学机智，创新能力；科学态度，竞技能力；唯物史观，洞察能力；合情推理能力，一般科学思维方式，形象思维的能力；逻辑推理能力，具体事物数学化的本领；运筹布算能力，数学智力活动结构，综合应用的能力。
（3）通过上述的案例分析，你认为这一数学教学模式的运用需要注意一些什么问题？
①要注意数学内容与数学方法的融合。教数学就是教方法，数学方法是活的东西，可以让学生终身受益。教数学固然不能离开内容谈方法，但只有数学内容的堆积，不讲究数学方法的发现、整理和掌握，学习数学的路是走不远的。
②要注意数学思想的渗透。教数学就是教思想，数学思想博大精深，要靠平时的教学点点滴滴地渗透，润物细无声。
③要注意数学人文精神的培养。数学知识、数学思想方法散落在各种数学人文素材之中的，数学学习的最终目的，是让学生获得数学人文的精神熏陶，发展“数学人格”，不能脱离数学人文的大环境，孤立地谈数学知识和思想方法。
复习思考题
1.找一个数学实际教学案例，分析此课例是如何围绕“现实背景”与“形式模型”这一矛盾，进行教学上的妥善处理的。并对此课例所涉及的一般教学原则加以评析。
2.找一个数学实际教学案例，分析此课例是如何围绕“策略智慧”与“逻辑刻板”这一矛盾，进行教学上的妥善处理的。并对此课例所涉及的一般教学原则加以评析。
3.找一个数学实际教学案例，分析此课例是如何围绕“符号语言”与“思维水平”这一矛盾，进行教学上的妥善处理的。并对此课例所涉及的一般教学原则加以评析。
4.取适当案例，分析“诱导—尝试—回授”教学模式在此案例中的运用，并谈谈你今后相关教学设计的设想。
5.取适当案例，分析“尝试法”教学模式在此案例中的运用，并谈谈你今后相关教学设计的设想。
6..适当案例，分析“质疑法”教学模式在此案例中的运用，并谈谈你今后相关教学设计的设想。
7.取适当案例，分析“整体与范例”教学模式在此案例中的运用，并谈谈你今后相关教学设计的设想。
8.取适当案例，分析“MM”教学模式在此案例中的运用，并谈谈你今后相关教学设计的设想。
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