数学概念的学习

数学概念是数学知识的重要组成部分，是数学学习的主要内容。

一、数学概念的定义

能够识别一类刺激的共性，并对此作出相同的反映，这一过程称为概念学习。概念学习的特点是抽取一类对象的共同特征，而辨别学习的特点则是识别一类对象的不同特征，这是两者的区别。但是，在概念学习中，共性的抽象总需要有一定的区分能力，因此，辨别学习又是概念学习的前提。

数学研究的对象是现实世界的空间形式和数量关系。数学概念是反映这些数学对象的本质属性和特征的思维形式。如平行四边形的概念在人的思维中反映出：这样的对象是四边形形状的而且两组对边是分别平行的。这就是四边形的本质属性。例如，人们从现实的圆形物体的形象得到了圆的感性认识。在实践活动中，为了创造圆形工具或器皿需要画圆，从而逐步认识圆的本质属性：“圆是平面内到一个定点的距离等于定长的点集（或封闭曲线）。”这样就形成了圆的概念。

数学概念的语词表达的一般形式是“（概念的本质属性）……叫做……（概念的名词）”。

二、数学概念的特征

（一）数学概念具有抽象和具体的双重性

数学概念是反映一类事物在数量关系和空间形式上的本质属性的思维形式，它排除了对象具体的物质内容，抽象出内在的、本质的属性。这种抽象可以脱离具体的物质内容，在已有的数学概念基础上进行多级的抽象，形成一种具有层次性的体系。譬如，函数→连续函数→可微函数。这就是一个函数概念体系的抽象体系。显然，随着概念的多级抽象，所得到的概念的抽象程度就会越来越高。

（二）数学概念具有逻辑连续性

在一个特定的数学体系中，数学概念之间往往存在着某种关系，如相容关系、不相容关系等，而这些关系实质是逻辑关系。在一个体系中，孤立的数学概念是不存在的，因为这种概念没有太大的意义和研究价值。反过来，数学概念的逻辑化又使得数学概念系统化，公理化系统就是数学概念系统化的最高表现形式。

三、数学概念学习的形式

数学概念的学习过程，包括概念的理解与概念的应用两个阶段，其中，概念的理解又分为感知、分化、概括和巩固四个阶段。

数学概念的学习有两种基本方式，一是概念形成，二是概念同化——以定义的形式给出。

（一）概念形成

1.概念形成的心理过程

概念的形成是一种通过对概念所反映的事物的不同例子，让学生积极主动地去发现其本质属性，从而形成新概念的方式。概念形成的心理过程为：

①辨别同类事物的不同例子，根据事物的外部特征，在直观水平上进行辨认；

②提出它们的共同本质属性的各种假设并加以检验，从而抽象出各例子的共同属性；

③把概括出来的本质属性与认知结构中的适当观念联系起来，扩大或改组原有的数学认知结构；

④将本质属性推广到同类事物中去，明确新概念的外延。

例如，对于初中阶段“函数”内容的学习，如果教学方案按如下过程设计，就是一种典型的概念形成方式。

第一，让学生分别指出下面各题中的变量及变量之间的关系。

①以每小时50千米的速度匀速行驶的汽车，所驶过的路程和时间。

②用表格所给出的某水库的存水量与水深。

③由某一天气温变化的曲线所揭示的气温和时间。

④任何整数的平方运算中，底数与它的二次幂。

第二，找出上述各题中两个变量之间关系的一些共同属性。

第三，进一步考察各题，确认本质属性。在④中，底数取—2和2,其二次幂都是4,没有发生变化，可见一个量变化，另一个量跟着变化不是它们的本质属性；而一个变量每取一个确定的值，相应地另一个量也唯一地确定一个值，这才是它们的本质属性。同时，前一个变量的取值有一定的范围或限制也是其本质属性。

第四，让学生辨别若干正、反例，强化概念。

第五，在以上基础上，抽象和概括出函数定义。

在学习函数的概念之前，由于学生主要学习的是式的恒等变形、方程的同解变形等，形成的是一种着眼于“运算”的认知结构，与函数是着眼于“关系”的知识结构之间存在不相适应的状况，因此，应通过概念形成的过程去对学生原有的认知结构进行调节和改组，建立新的数学认知结构。

2.教师在教学活动中应注意的问题

在学生通过概念形成去学习数学概念的过程中，教师必须按照学生的心理发展规律组织教学活动，在教学活动中应注意以下几点：

①所呈现给学生的观察材料应该是正例，否则会造成负干扰，使学生难以观察和分析出事物的共同属性，而且呈现的例子应是学生能够分辨和理解的。

②在比较和分化的基础上，找出共同属性进而确认本质属性，这一阶段可运用反例或变式去突出其本质属性。

③新概念的形成必须对原认知结构进行扩充和改组，使新旧概念得到精确分化，形成新的认知结构，这样才能使新概念得以巩固。

（二）概念同化

概念的同化是一种由学生主动地与自己认知结构中原有的有关概念相互联系、相互作用以领会它的意义，从而获得新概念的方式。从本质上说，概念同化是利用已经掌握的概念去学习新概念，或者修改、改造使之适应新的学习需要的过程。

概念同化学习必须具备两个前提条件：①新学的概念本身必须具备逻辑意义；②学生原有的认知结构中要具备同化新概念所需要的知识经验。

概念同化的心理过程包括以下几个方面。

一是辨认。辨认定义中的新观念，哪些是已有概念？新旧观念之间存在着什么关系？这一过程包含了回忆与知识的重显。例如，学习矩形的概念，在给出矩形定义之后，学生必须对“四边形”、“平行四边形”、“相邻两边的夹角”等已有概念进行回忆和辨认。

二是同化。建立新概念与原有概念之间的联系，把新概念纳入原认知结构中，使新概念被赋予一定的意义。例如，上述关于矩形概念的学习，学生将矩形与平行四边形比较，发现新概念是已有的旧概念的组合，于是通过建立新旧概念的联系去获得矩形概念。同时，获得新概念后又扩大和改组了原有的数学认知结构。

三是强化。通过将新概念与某些反例相联系，使新概念与原有概念进一步精确分化。

概念同化的本质是利用已经掌握的概念去获取新概念，因此概念同化的学习方式必须具备一定的条件。从客观上说，学习的材料必须具有逻辑意义，所学的新概念应与学生已有的有关概念建立“非人为”联系和“实质性”的联系。这里的“非人为”联系，指知识与知识之间继承和发展的关系，是知识间内在的联系，而不是人为强加上去的。如果学生把新知识与原认知结构中已有的不适当、不相关的知识生拉硬扯地强行联系起来，那么就会使新旧知识之间建立“人为的”联系。

例如，有的学生会出现类似lg（x+y）=lgx+lgy,sin（x+y）=sinx+siny等的错误，就是把lg（x+y）、sin（x+y）与原认知结构中已有的“多项式乘法对加法的分配律”知识强行联系起来，使知识间产生了“人为的”联系。

从主观上讲，学生原有的认知结构中要具备同化新概念所需要的知识经验，还要有积极学习的心向，让个人的认知活动积极参与，才能使新概念与他们认知结构中有关的旧知识发生相互作用，或者改造旧知识形成新概念，或者使新概念与原有的认知结构中的有关知识进一步分化和融会贯通，实现概念同化。

（三）概念理解的两种形式的比较

概念形成是以学生的直接经验为基础，用归纳的方式抽取出一类事物的共同属性，从而达到对概念的理解。因此，在教学方法上表现为布鲁纳倡导的“发现法”，其适合于低年级的学生学习数学概念，也适合于“原始概念”的学习，因为原始概念多是建立在对具体事物的性质的概括上，依靠的是学生的直接认识与直接经验。

概念同化则以学生的间接经验为基础，以数学语言为工具，依靠新、旧概念的相互作用去理解概念，因而在教学方法上多是直接呈现定义，与奥苏贝尔的“有意义地接受学习”方式基本一致。由于数学概念具有多级抽象的特征，学生学习新概念在很大程度上依赖于旧概念以及原有的认知结构，所以概念同化的学习方式在数学概念学习中是经常和普遍使用的，特别是对高年级的学生学习数学概念更加适合。

最后还要指出两点，一是概念形成与概念同化不是相互独立和互不相关的。事实上，从上述分析两种学习形式的心理过程可知，概念形成也包含着同化的因素，是用具体的、直接的感性材料去同化新概念。二是无论低年级还是高年级学生，在数学概念教学中都不宜单纯地运用某一种方式。概念形成的教学方式比较耗费时间，但有利于培养学生观察、发现的能力；概念同化的教学形式可以节约教学时间，有利于培养学生抽象及逻辑思维能力。因此在数学概念教学中，应当把两种形式结合起来综合使用，使之扬长避短、互为补充。

四、影响掌握概念的因素

（一）经验与抽象概括的能力

概念的获得依赖于与学生有关的感性材料、经验和抽象概括能力。例如抽象概括能力差，就不能抓住事物的本质属性，不能明确概念的内涵和外延。如出现以下的错误：a=a,直角三角形的直角边上没有高等。

（二）概念的本质属性和非本质属性

概念的本质属性越明显，学习时就越容易掌握。

（三）学生已有的数学认知结构

在数学概念的学习中，学生原有的认知结构的状况极其重要。这一方面是由于各种方式的概念学习都是在原有认知结构的基础上进行的，而且概念学习得以顺利展开的根本动力也是学生原有的认知结构与新概念之间的矛盾。当学生原有的认知结构与新的数学概念不相适应而产生矛盾时，就会引起解决这种矛盾的心向，思维活动的积极性和主动性也随之产生。

（四）感性材料和知识经验

概念形成主要依赖于对感性材料的抽象概括，而概念同化主要依赖的是知识经验的概括。因此，感性材料和知识经验是影响概念学习的重要因素。

（五）变式

要理解一类事物的共同本质属性，往往可以通过列举具有该本质属性的事物（概念的肯定例证）或不具有该本质属性的事物（概念的否定例证）的分析来获得。如对曲线的切线这一概念，可以通过“抛物线的对称轴与这个抛物线只有一个焦点，但它不是切线”，来说明“只有一个公共点”不是曲线切线的本质属性。

五、概念的应用

概念的获取，还不能离开概念的应用，只有达到概念的应用水平，才能认为是掌握和巩固了概念。心理学将概念的应用分为两个层次，即知觉水平上的应用和思维水平上的应用。

所谓知觉水平上应用，是指学生获得同类事物的概念以后，当遇到这类事物的特例时，就能立即把它看做这类事物中的具体例子，将其归入一定的知觉类型。例如，在学习了用代入法和加减法解二元一次方程组的内容后，当学生要去解一道具体的二元一次方程组，如果他能将其归入所学过的两种方法之一去解决，那么他就达到了知觉水平上的应用。

概念在思维水平上应用，是指学生学习的新概念种类属于包摄水平较高的原有概念，因而新概念的应用必须对原有概念进行重新组织和加工，以满足解当前问题的需要。例如，在讲授对数函数的性质时，要证明y=logax当a>1时是增函数，就必须要用到一般函数y=f（x）的增减性的概念，利用一般函数增减性的判定方法去解决当前问题，即对x1x2∈Dx,若x1>x2,则f（x1）>f（x2），则f（x）在Dx上是增函数。用于当前问题时需要重新组织，即须证当a>1时，logax1>logax2。这种概念的应用过程就是一种思维水平上的应用。

概念的知觉水平应用与思维水平应用是概念应用的两个阶段，在教学中应精心设计例题和习题，根据具体情况采用不同的方式，达到使学生能将概念在两种不同水平上的应用。