数学思维和思维过程

一、思维的特征及其类型

（一）思维概述

思维是多种学科的研究对象。从心理学的角度分析，“思维是人脑对客观现实概括的、间接的反映，是客观事物的本质和规律的反映”。思维是在人的实践活动中，通过感性知识，特别是在表象的基础上，借助于词、语言等工具，以知识经验为中介实现的。思维是人类所特有的一种高级的心理活动，它是人类大脑反映客观事物的一般特性以及客观事物间相互关系的一种过程，它是比感性认识更完善的认识形式。

（二）思维的特征

数学思维除具有一般思维的共性外，还受到数学学科理论和数学活动特点的制约，表现出自身的特征。数学思维的特征主要是概括性、间接性、目的性、问题性和复合性。

1概括性

思维能揭示事物的本质及其内在规律性，主要来自抽象和概括的结果，即思维是概括的反映，所以思维最显著的特点是概括性。概括是思维活动的速度、灵活迁移程度、广度和深度等智力品质的基础。

在数学学习中，学生的许多知识都是通过概括认识而获得的。例如方程的概念，便是从整式方程、分式方程、无理方程、对数方程、三角方程，包括高次的、多元的各种方程中，不管其指数、项数、元数、表达形式等有何不同，只抓住其共同的本质特征——“等式”、“含有未知数”而得出的。由此可见，没有抽象概括，也就没有思维。概括水平是衡量思维水平的重要标志。

2间接性

思维是凭借知识经验对客观事物进行的间接的反映。间接性表现在能对没有直接作用于感觉器官的事物及其属性或联系加以反省，能对根本不能直接感知的事物及其属性或联系进行反映，能在对现实事物认识的基础上假设、想象等。我们常说，举一反三、闻一知十、由此及彼、由近及远等，这些都是指间接性的认识。

概括性和间接性是思维的两个基本特征，它们之间是密切相关的。正是由于概括性和间接性的结合使用，才使人们的思维不断地变化。

3目的性

思维具有目的性，是指思维具有解决问题或获得结果的能动性。人只有在客观实践活动中面临了新的问题、新的活动要求和新的情况下，才可能进行思维。

思维的特性还包括广阔性、层次性、逻辑性、产生性等。

（三）思维的分类

根据实践活动的目的性差异，思维有不同形式的分类。

1.根据思维的抽象程度

按思维的抽象程度不同进行划分，思维可分为直观行动思维、直观形象思维和抽象逻辑思维。直观行动思维也称动作思维，是直接与物质活动相联系，依赖实际动作为支柱的思维。其特点是：思维伴随动作，动作停止，思维也就终止。直观形象思维是以具体的表象为材料的思维，即对表象材料进行分析、综合、抽象、概括的过程。其特点是：以表象或形象为思维的材料，借助于语言作为思维的物质外壳，含有联想、想象的心理成分；抽象逻辑思维是以抽象概念为形式的思维，它也依赖于动作和表象，但主要是以概念、判断和推理的形式表现出来。显然，按抽象性程度分类，思维是作为一个发展的过程去进行研究的。

2.根据思维的目的性

按思维的目的性分类，思维分为上升性思维、求解性思维和决策性思维三类。上升性思维是依靠比较、分析、抽象等方法，从对事物的个性向共性的认识过程；求解性思维指解决具体问题的思维；决策性思维则是以规范未来的实验过程和预测其效果为中心内容的思维活动。三种思维相互联系、彼此渗透，同时又是一个不断深化和发展的过程。

3.根据思维的智力品质

按思维的智力品质分类，思维可分为再现性思维和创造性思维。再现性思维是一般的思维活动，它是指对已有知识的再现，或将已有知识按照通常的思维形式去解决问题的过程。创造性思维指独立思考出有社会价值的、具有一定新颖成分的思维，它是人类思维的高级阶段。

4.根据思维的形式

按思维的形式不同分类，思维可分为辐合思维和发散思维。辐合思维又叫收敛思维，是调动各种信息，朝着一个目标深入发展去解决问题或生成新信息的思维方法。辐合思维常表现为定向思维，即习惯沿着固定方向，采用一定的模式或方法对问题进行分析和探讨。发散思维是对已知信息进行多方向、多角度的思考，从而提出新问题、探索新方法的思维方式，它的特点是思路广阔、寻求变异，在思维方向上表现为逆向性、横向性和多向性。按思维的形式不同，思维还可分为分析思维和直觉思维。分析思维即逻辑思维；直觉思维指能够迅速地、直接地洞察或领悟对象性质的思维方式。

二、数学思维的特点

数学思维从属于一般思维，它是人脑对数学对象理性的认识过程，是对数学学科的本质属性与数学对象间关系的反映。数学思维既是一般思维的共性，又具有自身的特性。数学知识，实质上是数学思维活动的结果，因此，所谓数学学习，实质上就是学生在教师的指导下，通过数学思维活动学习数学，并发展数学思维的过程。学生学习数学、解决数学问题所运用的是数学思维。数学思维不仅包含了一般思维的本质和特征，还具有数学学科本身的特殊性。“数学思维是人脑和数学对象（空间形式、数量关系、结构关系）交互作用并按照一般规律认识数学内容的内在理性活动。”这就是说，数学思维是以认识数学对象为任务，以数和形为思维对象，以数学语言和符号为思维载体，并以认识和发现数学规律（本质属性）为目的的一种思维。

数学思维主要具有概括性、整体性、相似性和问题性等特点。

（一）概括性

数学思维的概括性是指将某种事物已分出来的一般、共同的属性或特征结合起来，再把研究对象的本质特性推广为范围更广的包含这个对象的同类事物的本质特征。一方面，数学思维的概括性比一般思维的概括性更强，这是由于数学思维揭示的是事物之间内在的形式结构和数量关系及其规律，能够把握一类事物共有的数学属性。数学思维的概括性与数学知识的抽象性是互为表里、互为因果的。数学思维方法、思维模式的形式是数学思维概括水平的重要表现，概括的水平能够反映思维活动的速度、广度、深度和灵活程度以及创造程度。因此，提高主体的数学概括水平是发展数学思维能力的重要标志。

（二）整体性

数学思维的整体性主要表现在它的统一性和对数学对象基本属性的准确把握。数学科学本身是具有统一性的，人们总是谋求新的概念、理论，把以往看来互不相关的东西统一在同一的理论体系中。数学思维的统一性，是就思维的宏观发展方向而言的，它总是越来越多地抛弃对象的具体属性，用统一的理论概括零散的事实。这样既便于简化研究，又能洞察到对象的本质。数学思维中对事物基本属性的把握，本质上源于数学中的公理化方法。这种整体性的思维方式对人们思考问题具有深远的影响。

（三）相似性

数学思维的相似性是思维相似规律在数学思维活动中的反映。数学思维的相似性普遍存在，在创造性思维活动中发挥着重要作用。数学思维中到处渗透着异中求同、同中辨异的比较、分析过程。数学中的相似表现有几何相似与关系相似、结构相似与实质相似、静态相似与动态相似等。数学思维中的联想、类比、归纳和猜想等都是运用相似性探求数学规律、发现数学结论的主导方法。对相似因素和相似关系的认识能加深理解数学对象的内部联系和规律性，提高思维的深刻性，发展思维的创造性。因此，相似性是数学思维的一个重要特征。

（四）问题性

数学思维的问题性是与数学科学的问题性相关联的。问题是数学的心脏，数学科学的起源与发展都是由问题引起的。由于数学思维是解决数学问题的心智活动，它总是指向问题的变换，表现为不断地提出问题、分析问题和解决问题，使数学思维的结果形成问题的系统和定理的序列，达到掌握问题对象的数学特征和关系结构的目的。因此，问题性是数学思维目的性的体现，解决问题的活动是数学思维活动的中心。这一特点在数学思维方面的表现比任何思维都要突出。因此，20世纪80年代世界数学教育将“问题解决”作为其主要任务是有道理的。

（五）复合性

数学思维的复合性是指数学思维活动中表现出的逻辑性和非逻辑性相结合的特征。一方面，数学是一门高度严谨的学科，所有的理论都必须经过严格的逻辑论证得到，作为数学活动结果即数学结论是十分严谨的。逻辑论证的过程属于数学思维活动，因而数学思维具有逻辑性的鲜明特征。另一方面，数学思维活动又不只是单一的逻辑论证过程，它还包括探索和发现数学结论、寻求逻辑论证途径的过程。在发现和探索数学结论的过程中，包含着直觉、顿悟、形象思维以及似真推理等思维活动。而在寻求逻辑论证的途径时，又包含着制定策略、发散探索、试误等思维活动。在这两种过程中，数学思维活动都表现出了一定的“非严谨性”，含有非逻辑的思维活动，因此数学思维又表现出非逻辑的特征。数学思维的整个活动过程，都是在逻辑和非逻辑的交替过程中进行的，利用“非逻辑”、“非严谨”去探求和发现问题，再利用逻辑论证去论证问题。

三、数学思维的类型

确定数学思维类型，就是要选用一定的方式对数学思维进行分类，为此，应考虑如下两个问题。

首先，数学思维既要体现一般思维的规律，又要结合数学学科的特点，反映出数学思维特有的规律。数学是研究事物的空间形式和数量关系的学科，其特征是具有高度的抽象性、体系的严谨性和应用的广泛性。一方面，数学概念的产生源于客观世界，最初的概念是在具体的实物模型上抽象出来的，因而数学概念的产生要借助于形象思维。另一方面，随着研究的深入，数学对象脱离了实体模型，概念经过多级抽象，使概念符号化、形式化。新概念的产生要借助逻辑思维，以概念、判断和推理的形式表现出来，从而使数学理论形成一个严谨的体系。因此，数学思维应包含着形象思维和抽象逻辑思维成分。

其次，数学思维应是指数学活动过程中的思维，这种活动包括研究数学和学习数学的活动。不论是研究数学还是学习数学，数学思维都贯穿在发现问题和解决问题之中。解决数学问题是以逻辑思维的形式为主要思维方式，而在发现问题的过程中，除了逻辑思维形式外，直觉思维占有相当的比重。

由上面分析，数学思维的成分主要包括形象思维、抽象逻辑思维和直觉思维。

（一）形象思维

数学形象思维是指借助数学形象或表象，反映数学对象的本质和规律的一种思维。在数学形象思维中，表象与想象是两种主要形式，其中数学表象又是数学形象思维的基本元素。

1.数学表象

数学表象是以往感知过的观念形象的重现。数学表象常常以反映事物本质联系的特定模式——结构来表现。例如，数学中“球”的形象，已是脱离了具体的足球、篮球、排球、乒乓球等形象，而是指到定点距离相等的空间内点的集合，显示了集合内的点（球面上的点）与定点（球心）之间的本质联系：距离相等。

客观实物的原型和模型以及各种几何图形、代数表达式、数学符号、图像、图表等这些形象在人脑中复现就形成了数学表象。数学形象思维也可看做以数学表象为主要思维材料的一种形象思维。因此，数学教学中发展学生的表象思维有利于形象思维能力的培养。发展学生的表象思维就是要使学生在几何学习中对基本的图形形成正确的表象，抓住图形的形象特征与几何结构，辨识不同关系的各种表象；在代数、三角、分析等内容的学习中，重视各种表达式和数学语句符号等所蕴含的构造表象。

2.数学想象

数学想象是数学形象思维的一种重要形式，通常可分为再造性想象和创造性想象两种类型。

（1）再造性想象

再造性想象是根据数学语言、符号、数学表达式或图形、图表、图解等提示，经加工改造而形成新的数学形象的思维过程。再造性想象有两个特征：一个是生成的新想象虽未感知过，但并非完全由自己创造或创新，而是根据别人描述或者示意再造出来的；另一个新形象是头脑中原有表象经过加工改造而成的，其中包含着个人知识与理解能力的作用，因此又有创造的成分。

进行再造性想象必须具备两个条件：①必须正确理解所给数学语言、符号、表达式、图表、图解的确切意义，以保证新形象的准确与真实；②必须以丰富的表象储备为基础，头脑中的形象表象越丰富、越鲜明，再造性想象就越灵活、越清晰，从而再造想象的结果就越准确、越精密。

学生在数学学习中的想象，大多属于再造性想象。这是因为，虽然这种想象对学生来说具有创造的成分，但形成的新表象只是原有表象的再现或加工改造，并没有超出已有知识经验和数学表象的范围，与独立地以至创造性的想象活动有着很大的不同。

（2）创造性想象

创造性想象是一种不依靠现成的数学语言和数学符号的描述，也不依据现成的数学表达式和数学图形的提示，只依据思维的目的和任务在头脑中独立地创造出新的形象的思维过程。思维结果的新颖、独特是创造性想象的主要特征。

创造性想象与再造性想象的区别在于：①再造性想象可以依据给定的数学语言、符号、数学表达式和图形的提示而展开，思维有所遵循，而创造性想象是根据思维的目的和任务进行的形象改造；②再造性想象的思维成果是已有的形象，而创造性想象的思维成果则是经过改造的数学形象的综合。例如，在数学科学发展史上，罗巴切夫斯基发现非欧几何的过程就是创造性想象。法国大数学家笛卡儿把长期分道扬镳的代数和几何联系起来而创立了解析几何，他借助于曲线上“点的运动”这一想象，创造出变量和坐标系的新的形象，把抽象的方程展示为直观的平面和空间图形，这也是一种创造性想象。

进行创造性想象必须具备以下三个条件：①必须对所研究的问题本身进行深入细致的观察，形成丰富的表象储备；②必须对所研究的问题情境进行发散式思考，掌握有关知识和经验的丰富材料，具备高水平的表象重构能力；③必须抓住契机引发想象，突破思维的障碍，想象出问题结果并做出逻辑上的检验。

例71设x2+y2+2x0,求证：x2+y2+6x+8>0。

证明：设

A={（x,y）x2+y2+2x0}

={（x,y）（x+1）2+y21}

B={（x,y）x2+y2+6x+8>0}

={（x,y）（x+3）2+y2>1}

则集合A是以（—1,0）为圆心，以1为半径的圆的内部（不含边界），集合B是以（—3,0）为圆心，以1为半径的圆的外部（不含边界）。

因为两圆相切于（—2,0）点，所以AB,即若（x,y）∈A,则（x,y）∈B,所以当x2+y2+2x0,必有x2+y2+6x+8>0。

在例1中，根据解题目标的需要创造出了不同于已知形象的新的形象，从而使问题得到了解决。

想象在数学研究和数学学习中有着重要的作用。它是创造性思维的重要成分，数学中的直觉和灵感，如果没有想象的展开是不可能实现的。正如爱因斯坦所言：“想象力比知识更重要，想象力是科学研究中的实在因素，是知识进化的源泉。”中学的基本能力实际上是想象能力中的一种。数学中的空间想象能力即是对于数学图形的形状、大小、结构和位置关系的想象能力。就像运算能力实质上是逻辑思维能力的一部分，它是逻辑思维能力与运算技能的结合。空间想象能力实质上是形象思维能力的一部分，它是形象思维能力与空间形式构思的结合。因此，培养形象思维能力包含了对空间想象能力的培养。

（二）逻辑思维

逻辑思维包括形式逻辑思维和辩证逻辑思维。形式逻辑思维就是依据形式逻辑的规则来反映数学对象、结构及其关系，达到对其本质特性和内在联系的认识过程。辩证逻辑思维是逻辑思维发展的高级阶段，它是从运动过程及矛盾相互转化中去认识客体，遵循质量互变、对立统一及否定之否定等规律去认识事物本质的过程。

数学是一门逻辑性、系统性强，论证严谨的学科，数学中的公式、法则、定理和规律，都必须通过逻辑去进行推导、归纳和总结而获得，其概念、判断和推理是建立在逻辑基础上的，没有一定的逻辑思维能力，就不可能学好数学。因此，逻辑思维能力是数学能力结构中一个主要的、重要的能力要素。

（三）直觉思维

数学直觉思维是以一定的知识经验为基础，通过对数学对象作总体观察，在一瞬间顿悟到对象的某方面的本质，从而迅速做出估计判断的一种思维。数学直觉思维是一种非逻辑思维活动，是一种下意识（潜意识）的活动参与，不受固定逻辑规则约束，是由思维主体自觉领悟事物本质的思维活动。因此，非逻辑性是数学直觉思维的基本特征，同时数学直觉思维还具有直接性、整体性、或然性、不可解释性等重要特征。

1.直接性

数学直觉思维是直接反映数学对象、结构以及关系的思维活动，这种思维活动表现为对认识对象的直接领悟或洞察，是数学直觉思维的本质特征。由于数学直觉思维的直接性，使它在时间上表现为快速性，即数学直觉思维有时是在一刹那时间内完成的；由于数学直觉思维的直接性，使它在过程上表现为跳跃性（或间断性），直觉思维并不按常规的逻辑规则前进，而是跳过若干中间步骤或放过个别细节而从整体上直接把握研究对象的本质和联系。

2.整体性

整体性是指数学直觉思维的结果是关于对象的整体性认识，尽管这并非是一幅毫无遗漏的“图画”，它的某些细节甚至可能是模糊的，但是却清楚地表明了事物的本质或问题的关键。

3.或然性

数学直觉思维是一种跳跃式的思维，是在逻辑依据不充分的前提下做出的结论，具有猜测性。正因为如此，任何通过直觉思维“俘获来的战利品”就需要经过严格的逻辑验证。采用直觉思维的目的在于迅速找到事物的本质或内在联系，提出猜想，而不在于论证这个猜想。

4.不可解释性

数学直觉思维在客观上往往给人以不可解释之感。由于直觉思维是在一刹那间完成的，略去了许多中间环节，思维者对其过程没有清晰的意识，所以要想对它的过程进行分析、研究和追忆，往往是十分困难的，这又使直觉思维给人一种“神秘感”。例如，高斯曾花几年的时间证明一个算术定理，最终获得了解决，对此他回忆说：“我突然证出来了，但这简直不是我自己努力的结果，而是由于上帝的恩赐——如同闪电那样突然出现在我脑海之中，疑团一下子被解开了，连我自己也无法说清在先前已经了解的东西与使我获得成功的东西之间是怎样联系起来的。”

数学直觉和数学灵感是数学直觉思维的两种形式，它们之间具有深刻的本质联系，即灵感是直觉的更高发展，是一种突发性的直觉。通常灵感的形成是从多次的直觉受阻或产生错误的情况下得到教益，而使一部分信息不自觉地转入潜意识加工，最终又在某种意境或偶发信息的启发下，由潜意识跃入显意识爆发顿悟的，因此数学思维灵感是从多个数学直觉中升华而形成的结晶。

形象思维、逻辑思维、直觉思维是数学思维的三种基本类型，形象思维是数学思维的先导，逻辑思维是数学思维的核心。在进行具体的数学思维活动时，往往是这两种思维交错应用的一个综合过程。直觉思维则是以上两种思维的结合，达到一定数量后所引起的一种质的飞跃。因此，如果形象思维和逻辑思维发展得好，就为发展直觉思维创造了条件。