数学测验题的编制

如何编制一份优秀的测验题以更好地辅助我们教学？这是每一位数学教师都很关心的话题，尤其对职前教师以及工作不久的新教师更是如此。在不少的地方教育行政部门已经出现了组织教师参与“命题比赛”的现象，说明教育部门对教师的要求也在逐步提高，数学命题也纳入了管理者对教师评价的视野中。我们认为，数学测验题的编制应该遵循这样的几个基本原则：一是目的性原则，二是激励性原则，三是协调性原则，四是科学性原则。在遵循以上原则的基础上，如何编制数学测验题也是有一定技巧的。例如，一道数学问题该编为选择题、填空题还是解答题形式？如何控制数学测试问题的难度？这些问题都很值得探究。

一、数学测验题的编制原则

（一）目的性原则

任何数学测验都是有目的的，一般说来，平时单元教学的数学测验应该具备这样的几个目的：一是单元数学知识及相关能力的系统化回顾及训练；二是单元数学知识及相关能力的查漏补缺；三是单元数学知识及相关能力的系统运用及提高。但是，每个教师都需要根据自己学生的具体情况有侧重地进行命题。例如，在高中函数单元的教学中，学生出现了对函数概念理解困难现象，教师可以编制有助于学生理解函数概念的测验题，而不是把重点放在函数应用上，更不是放于函数的解题技巧上。有教师编拟了以下两道选择题：

例9.1一个函数的图像可以是（）

（A）一个圆（B）一个三角形（C）抛物线（D）两平行直线

例9.2等式y=x—2+1—x可以理解为（）

（A）一个定义域为［1,2］的函数（B）一个定义域为［2,1］的函数

（C）一个定义域为Φ的函数（D）不可以表示一个函数

这些就是针对学生对函数概念理解所命的题。

教师为了更有效地编拟数学测验题，往往在编题之前建立“数学命题细目表”，以更好地体现命题的意图。

所谓的双向细目表（twoway checklist），是一个测量内容材料维度和行为技能所构成的表格，它能帮助成就测量工具的编制者决定应该选择哪些方面的题目以及各类型题目应占的比例。

考试命题双向细目表是一种考查目标（能力）和考查内容之间关系的关联表。

双向细目表的制作应该同课程大纲及考试大纲的相关规定具有一致性。考核知识内容的选择，要依照教学大纲（考试大纲）的要求，试题范围应覆盖课程的全部内容，既要注意覆盖面，又要选择重点内容，时间以中等学生120分钟能答完为限。

制作双向细目表时，试卷中拟对学生进行考核的“考核知识点”须按章次进行编排；双向细目表中考核知识点的个数须与试卷中涉及的知识点个数相一致。数学命题双向细目表

双向细目表中的能力层次采用“识记”、“理解”、“应用”、“综合”等作为目标分类，体现了学生从最简单的、基本的到复杂的、高级的认知能力的考核。每前一目标都是后续目标的基础，即没有识记，就不能有理解；没有识记与理解，就难以应用。所以一个考核知识点在同一试卷中对应一种题型，原则上只能对应一种能力层次。

按照《考试规范》要求，识记、理解类试题须控制在60%以内，并应尽量避免单纯考核记忆水平的题目。

试题的题目类型应根据考试课程的特点和考试目标合理选择，例如填空题、选择题、判断题、名词解释、辨析题、简答题、证明题、计算题、案例分析等。一份试卷中主观性试题和客观性试题的搭配应合理，且题型种类数应适中。

在双向细目表中不同“能力层次”和不同“题型”下面对应的各列中，应填写各考核知识点在试卷中所占的分值。不能简单地画“√”，也不能填写题号和题目个数。

自从20世纪80年代布鲁姆的目标教学理论在我国盛行以来，这种“庖丁解牛”式的命题方式似乎得到了广大数学教育工作者的认可，实践表明，在很多场合下也的确起着一定的积极作用，它弥补了我们以往数学命题“跟着感觉走”的致命缺陷。但是，我们认为，教师在平时的教学过程中，应该同时警惕这种“八股化”的命题方式的某些局限性，在制作这种表格的过程中，我们应该根据自己对学生的了解，有目的、有侧重点地命题，有效地通过命题引导学生的学习。

（二）激励性原则

数学命题应该有效地鼓励学生对数学的学习兴趣，要让学生看到自己在数学学习方面的成绩。有些老师往往认为让学生考试分数太高，会让学生产生骄傲自满的情绪而不利于后续的学习，这种想法可能对某些学生而言有些道理，但我们认为，产生骄傲自满情绪的学生毕竟是少数，对大多数学生来说应该以激励为主。有些教师不喜欢“直通通”的数学问题，总喜欢“拐个弯”或“抹个角”，殊不知，这种“拐弯抹角”的做法，很可能会让学生茫然不知所措：到底是课本知识没有掌握还是能力、技巧不够？

例9.3粉碎机漏斗是个正四棱台形（见图91），已知制造棱台的铁皮面积为10000,斜高为50,高为40,求棱台上底面边长。

此题一些学生算得辛辛苦苦，有关正四棱台的相关计算都一清二楚，但最后，一些学生把“棱台上底面边长”与“粉碎机漏斗上底面边长”的概念搞混淆，导致最后答案失误。如果这是一道选择题或填空题，那么，这些学生将“颗粒无收”。他们往往不能正确归因而产生很强的挫折感，不利于后续的学习。因此，我们认为，在平时的数学测验中，尽管我们需要学生要细心审题，但是，一些具有“小陷阱”的数学问题还是需要慎重对待，一份试卷不能老是设立“陷进”，一些“小陷阱”只能偶尔为之，作为考试的“花絮”未尝不可。否则，把“陷阱”当作平时测验的“家常便饭”是不利于学生对数学学习积极性提高的。

激励性原则也不是对所有的学生都是无限的“迁就”，应该根据学生的不同特点，有区别地对待，对成绩比较差的学生，应该以鼓励为主，命题的时候需要照顾这些学生的心理感受，让他们拿到一些基本的分数。而针对一些优秀的学生，除了必要的表扬及鼓励外，要适度结合“挫折教育”，在他们心理承受许可下，适当地让他们遇到一些“易粗心”、“深思考”的数学测验题（分值可能占不多，否则会对差生有负面影响），以帮助他们提高认识。

（三）协调性原则

我们这里所提的协调性原则是指数学测验题不仅要注意各单元（包括总体考核）之间要建立彼此呼应的协调关系，还要与其他学科测验建立协调关系。

在处理各单元的测验题过程中，有几个问题是需要探究的：一是后一个单元是否需要适度让前几个单元的内容参与进来？参与的比例如何？难度之间的关系如何处理？二是期末或学年测验，与以往的单元测验题如何“处理好关系”？三是单元测验的划分如何处理？是否每个单元都需要测试一次？还是一些单元适当合并后出测试题？四是同年段的学生是否每次都使用同一份试卷？教师自己是否可以根据自己班级学生的特点“开个小灶”——另出一份试卷？这些都需要教师认真思考。由于需要考虑的情况很复杂，我们有这么几点建议：一是要考虑学生的学习情况，如果一些内容较难，学生学习有困难，可以适度放慢进度，测试的范围要小一些。当然，如果单元相对简单，可以把几个单元的内容合并出测试题。这些做法一定要根据总的教学大纲或课程标准酌情而定。二是根据教材的安排和进度适度规划测试单元，具体内容还要考虑学生的遗忘情况以及重大考试的综合要求情况。三是要考虑同学段老师的教学情况，适度协调考试内容。

当然，在考虑本学科测验安排的同时，还需要考虑整个学校的教学安排，尤其是同年段不同学科的教学安排。例如，物理学科需要数学工具，数学教师就得考虑物理的需要，适度控制教学进度和测试题。在制定学期（学年）单元测验的计划或内容时，最好各个学科教师能事先沟通，以免学科之间相互“打架”。

（四）科学性原则

数学测验题维护科学性原则应该是最基本的，同时也是最为重要的，尽管如此，我们在一些重大考试中还是有一些失误，其后果也是可想而知的。

例9.4（江苏省2003年高考题）如果函数y=ax2+bx+a的图像与x轴有两个交点，则点（a,b）在aOb平面上的区域（不包括边界）为（）

这确实是一个非常优秀的数学变式题。题目的条件只是将y=ax2+bx+c中的字母“c”变成“a”，在结论部分提出系数（a,b）所在的位置，用到许多基本知识，考察比较全面。此题在实际使用时，只是在制定4个选择支的时候，有一点小毛病，可以说“白璧微瑕”，应当充分利用。但这点“微瑕”也让一部分学生“够呛”，他们在考试中受该题的影响而大失水准。

例95（2005年福建省高考试卷理科12题）f（x）是定义在R上的以3为周期的奇函数，且f（2）=0,则方程f（x）=0在区间（0,6）内的解的个数的最小值是（）

A.2B.3C.4D.5

备选答案最多只提供5个解，但实际上应该有7个解，此题具体这样解答：

∵f（x）是奇函数，∴f（0）＝0.∵f（x）是以3为周期，∴f（3）＝f（0＋3）＝f（0）＝0。

∵f（x）是以3为周期，∴f（5）＝f（2＋3）＝f（2）＝0；

∵f（－1）＝f（2－3）＝f（2）＝0；f（x）是奇函数，f（－1）＝－f（1）＝0.∴f（1）＝0

f（4）＝f（1＋3）＝f（1）＝0

∵f（x）是以3为周期，∴f（1.5）＝f（1.5－3）＝f（－1.5）＝－f（1.5）

也就是f（15）－f（15），即2f（1.5）＝0,f（1.5）＝0。

f（4.5）＝f（1.5＋3）＝0。

由此可见，f（x）＝0在区间（0,6）内的解有7个，分别是：1、2、3、4、5、15、45，4个选项中都没有正确答案。

这道错题并不像前道题那么明显，绝大部分学生也就稀里糊涂地做下去，没有发现其中的问题，只是“害了个别的优秀学生”。

在平时单元测验中，测试题主要有三个来源：一是“转载”，直接从现成数学测试题中摘录到试卷中；二是“改编”，把陈题进行适度的变化，如修改数据、条件、结论等；三是“原创”，教师根据自己的需求，有了一个命题的立意，然后自己编拟数学问题。为了保证数学测试题的科学性，我们建议：一是慎重“转载”，如果是教师自己还没有做过的数学测试题，一定要做过，这样自己才能心中有数，尽量避免科学性错误；二是精心“修改”，先考虑是“改”还是“不改”，然后再考虑“怎么改”，对“改”了以后有什么“后果”有一个预设；三是小心“原创”，尽管“原创”的数学测试题具有创新层面的东西，但是，由于这些数学测试题都没有经过“考验”，所以在科学性方面务必更需要注意。当然，即使在命题中偶尔出现了错误，也大可不必慌张，因为某些错题从某种程度上讲还是具有一定的“教育价值的”。当教师发现某道数学问题是错题但学生已经进入考试中，教师应该根据错题的性状灵活处理。其实，退一步说，让学生发现某个数学问题是错题也是一种考验。

二、数学测验题的类型探究

数学测验题按照数学问题的特点可以划分为不同的类型。如果按照数学问题解答的外在形式可以分为选择题、填空题、解答题等；也可以根据问题的答案的封闭性分为封闭题、开放题等；当然，也可以根据数学测验题的内容要求分为诸如计算题、作图题、证明题等等。限于篇幅，我们仅就以下两种分类方法进行简单讨论。

（一）分类一：选择题、填空题、解答题

1.选择题

选择题源自20世纪80年代，1983年的高考，我国的高考试卷中首次出现了选择题（5个，每道题2分），当时的选择题是这样要求的：“（本题满分10分）本题共有5小题，每小题都给出代号为A,B,C,D的四个结论，其中只有一个结论是正确的，把正确结论的代号写在题后的圆括号内。每一个小题：选对的得2分；不选、选错或者选出的代号超过一个的（不论是否都写在圆括号内），一律得0分。”这就为数学考试选择题定了个调：单选题。在其他学科中经常出现多选题，而在数学学科中，我们一直采取单选题，数学学科的特点可能是一个主要考虑因素。我们罗列了自选择题出现以来我国高考全国理科试卷中选择题的个数及所占的分值供大家分析和参考。我国历年高考理科试卷中选择题的分布情况

从中可以看出，选择题个数最多的是1992年（18个），占的分值比例也比较高（45%），选择题占的分值最高的是1993年（4533%），近十年的选择题逐渐趋于稳定，均为12道题，其分值占整个分数的40%。为什么选择题的分值会占如此高的比例？主要可能基于这么几个原因：一是选择题批改速度快，在我国如此众多的考生（例如，2010年有946万考生），批改试卷是一大难题，利用选择题可以使用机器批改，大大提高了批改的效率；二是选择题本身也具有一定的考核功能，比如，考查思维的灵活性、直觉的敏锐性等。这些考核功能往往是填空题和解答题在考核的时候所不能够完全具备的。但有些数学教育工作者却对选择题有不同的看法，例如，有学者认为选择题不能完全考核学生对数学的掌握情况，也造成了一些学生的投机心理（例如，有些选择题可以采取排除法，即使学生对选择题的解答一无所知，他仍然有25%做对的概率），加大了考试管理的难度。近年来，一些省份的高考卷就出现了没有选择题的现象。例如，2008年、2009年、2010年的江苏省高考题就没有出现选择题。一些省份的选择题数量在减少。

2填空题

填空题是一种直接填写答案的数学问题，它不要求填解答过程，是一种不求过程，以“结论定胜负”的完成方式。在历年我国高考中，以“填空题”字眼出现的是1989年的全国高考试题中。之前的1984年至1988年都是以“直接要求写出结果”的方式出现，属于填空题的“过渡时期”。其中，1982年出现了“填表题”。不过，1952年曾经出过“填空题”的原始雏形：“第一部分共20道题，均答在题纸上，每题的中间印着一道横线，将正确的答案填写在横线上。”该卷还给出了“例题”：“若2x—1=x+3,则x=4。本题的正确答案是4,所以在横线上填写4。”1952年竟然有20道这样的数学题，可能当时教师或社会对这样的题有意见，以后30年的高考题中都没有出现过“填空题”。后来出现的填空题基本上稳定在5个左右。但近年各省份的新高考有些变化，例如，2008年、2009年、2010年的江苏省就有14道填空题，竟然占了70分！该省用填空题完全取代了选择题。

填空题命题的优点是改卷速度迅速，要求学生解决问题要考虑周到且要求细心、数学表达规范。但是，由于“只重结论，不问过程”，也显示了一些弊端，例如，不能对学生思维的合理成分进行恰当评价，有些学生思路完全正确甚至答案也是正确的，但是，由于书写不规范，也出现了“功亏一篑”的现象。当然，也有学生在解决填空题中出现了“负负得正”和“歪打正着”的不公平现象，即学生的思路是错误的，但答案是正确的。尽管这样的概率很小，但命题的时候也必须小心，尽量避免这样的现象产生。

例9.6填空题：函数y=xx2+x+1的值域是。

一个学生是这样解的：

解：函数化为yx2+（y—1）x+y=0……（*）

∴Δ=（y—1）2—4y2≥0……（**）

即：—3y2—2y+1≥0

解得：—1≤y≤13

所以函数y=xx2+x+1的值域是［—1,13］

显然，这位学生的答案是正确的，但是过程是有瑕疵的：对（*）没有考虑y是否为0的情况。如果该题编拟成填空题，是无法看出学生的思维缺陷的，当然，对（**）可以直接采取平方差公式也是无法看出学生的思维灵活性问题。因此，在条件许可的平时教学过程中，应少用填空题，除非有某种训练的意图。

3解答题

解答题是一种比较“完善”的数学问题，既能够看出学生的数学思维过程，又可以以最后的结果作为评判学生数学问题解答的重要依据。遗憾的是，要看学生的思维过程，就必须得花很多的时间，这样，在批改任务繁重的情况下，全部采取解答题的形式是不很现实的。

（二）分类二：封闭题和开放题

自20世纪70年代日本出现开放题以来，引起了一些学者的关注。在我国，以戴再平老师为首的中国学者对开放题做了全面的研究，也取得了很多的成果。

1开放题

所谓的开放题，是相对传统的封闭题而言的，我国学者做了这么一些研究：“凡是具有完备的条件和固定的答案的习题，我们称为封闭题，而答案不固定或者条件不完备的习题，我们称为开放题。”（戴再平，1996）另：“数学开放题是指那些答案不唯一，并在设问方式上要求学生进行多方面、多角度、多层次探索的数学问题。”（戴再平等，2002）这是从解答结果与题干的呈现方式以及学生解答过程的思维特点上来进行描述的。开放性问题是“无终结标准答案，培养发散思维的数学问题”（张奠宙，1998）。这个定义是从解答结果与目的纬度做出的判断。对问题指向只有原则性要求的一题多解式问题称为开放性问题。类似地，对数学问题指向只有原则性要求的一题多解式数学问题为开放性数学问题（Uncertain Mathematical problem）。对问题指向只有原则性要求和一题多解是数学开放性问题的本质特征，前者为后者提供了可能，后者是前者的体现（张远增等，2000）。这是从题目要求与解答途径纬度作出的界定。“具有多种不同的解法，或者有多种可能的解答”称之为“开放性”问题（郑毓信，1999），这个定义关注的是问题解法与答案数目。综上，对于开放题概念的不同解读之根源，在于对“开放”这个核心词的理解不同。可以看出，尽管各个定义均不相同，但其中的某些核心词语在内涵上是有着一致性的——尽管它们的确切含义有着或多或少的差异，如对问题答案的多元性、解答方法的多样性等方面，学者们对此大都是认同的。

例9.7（桂林中考题），已知任意直线L把平行四边形ABCD分成两部分，要使这两部分的面积相等，直线L所在位置需满足的条件是。（只需填上一个你认为合适的条件）

该题由于可以引导学生从特殊的情况出发探究满足问题的条件，例如：连接对角线AC、BD即可知道直线L应该“通过对角线AC、BD的交点”，这种问题属于解决方法的“开放性”，而解答的结论似乎有“绝对的评判标准”，但是，假如一个学生是这样回答的：“直线L把平行四边形ABCD分成全等的两部分图形。”或者干脆：“L把平行四边形ABCD分成面积相等的两部分。”让我们数学老师给满分估计有点“心里不甘”。

我们这里不多举例，读者在相关的资料中应该可以找到大量的开放性数学试题。我国具有千年的考试文化传统，我们的想法是：一旦什么都往考试上套，或者说，考试思维下的教育研究，很可能会让我们的数学教育陷入死胡同。

2.封闭题

封闭题是在开放题名词出现后，我们给传统数学问题的一种冠名。戴再平老师给传统数学问题的“科学性”下这样的几个标准：“①问题的结论是明确的；②为获得此结论的条件不能少也不能多；③条件之间不能产生矛盾。”目前，我们在数学教学过程中仍然以传统的封闭题为主。

其实，我们认为，无论是开放题还是封闭题，关键在于“我们的脑子要开放”。很多传统数学问题也具有开放的一面：一是封闭题的选题背景及适用场合具有开放性；二是封闭题的条件、结论的整合具有开放性；三是封闭题的表述形式具有开放性；四是封闭题的解答及评价具有开放性；五是封闭题的教育功能实现具有开放性。

三、数学测验题的难度控制

数学测验的目的决定了数学测验题的难度，由于数学测验题是数学教学的重要辅助手段，因此，要根据教学的需要进行必要的难度控制。在重大的诸如中考、高考的考试中，命题一般是专家集体命题，这些命题成员往往由中学数学教师、中学数学教研员、高校数学教师组成，由于这两种考试具有选拔功能，所以在命题的时候需要考虑区分度，把学习优秀的学生区分开来，同时，又要考虑一般学生看到自己的学习成果，也需要命一般的基本数学测试题，因此，重大考试的命题难度很大，往往需要选择个别地区进行秘密前测，以估计试卷的难度值。另外，近年来很多地区中考命题附带有毕业考和升学选拔功能的双重性质，命题的压力自然不小。我们认为，无论是教师平时教学的单元测验还是重大的选拔性、通过性考试，在控制难度值方面，以下的几个因素是需要考虑的。

（一）测验题的性质意图

除了终端命题具有很明确的意图（通过性考试和选拔性考试）外，一般教学过程中数学测验题应该具备这样的几个意图：一是促成系统回顾，即通过测验，让学生达到复习巩固的目的；二是查漏补缺，即通过测验，让学生知道自己学习所存在的漏洞；三是综合提高，即通过测验，让学生综合运用所学知识解决问题，达到提高学生的综合能力的目的。如果考虑第一种因素居多，那么，命题的难度就要相对低一些。而考虑后两种意图，命题的难度就会高一些。需要指出的是，在命题中，我们再次强调，那一类被人们称之为“陷阱题”的测验题，这种题的命题意图其实不是十分明确，或许只是想“告诉学生考虑问题要周到”。又如：16的算数平方根是。此类测验题即使对符号“”的含义及“算数平方根”的概念一清二楚的学生（平时没有遇到类似的训练），也有很大几率会“掉进陷阱”。一张试卷，如果此类问题有几个，学生考完后，往往“感觉良好”，但是校对答案后，他们往往“毛骨悚然”，也搞不清楚自己学习的真正毛病在哪里，自信心很受打击。因此，“陷阱题”只能“偶尔为之”，只适合作为命题的“花絮”去教训一下那些“学习上有傲气的学生”而已。

总之，测验题既是对师生教与学效果的检测，也是用来引导教师的教和学生的学的“风向标”，要“以鼓励为主”，有效地促进教师的教和学生的学。

（二）测验题的分值分配

从理论上说，测验题的分值分配应该与其难度相“匹配”：难度越高的测验题，其所占的分值也应越大。但是，如果命题教师的意图只是想让成绩优秀的学生在测验的时候多一个“挑战”，那么往往最难的数学问题所设的分值就不高，只是看学生在解决此类难题时的表现，或者说，高难度的测试题往往只是教师“设了个卡”，意图是“不轻易让学生得到满分”。其实，无论是教师平时的测验题还是意义重大的高考题，测验题的分值与其难度不相“匹配”的现象普遍存在。就拿选择题而言，一些高考试卷的十几道题都是标上同一个分值，但它们的难度值是各不相同的，学生在解决问题的时候往往是“同酬不同工”，于是，一些教学“经验丰富”的教师在指导学生解答试题的时候，需要考虑问题解决的“性价比”问题，这在采取以绝对分数选拔学生的考试制度下，绝对是“一个值得研究的问题”。

（三）测验题的难度估计

教师在编拟测验题的时候，往往需要对测验题的难度值有一个估计，这个估计往往是建立在教师的经验和必要的技术手段之上的。其实，真正要控制试卷的难度值在于对学生有一个充分的了解。年轻教师由于教学经验不足，往往控制不住试卷的难度。他们以自己解决测试题的能力去理解和估计测验题的难度，经常使得试卷出现“偏难”现象。也有一些年轻教师出现了“试卷偏易”显得命题教师没水平的心理，生怕“难不倒学生”，经常将试卷“出得很难”，导致测验对教学不能起着很好的“辅助作用”。其实，在估计试卷难度方面，除了教师的经验方面，还有“技术问题”。例如，同样的一道数学问题，编成选择题、填空题、解答题等不同形式，其难度值是有差异的。即使是同一种类型的同一个数学测验题，其在试卷中的“位置不同”也会出现难度值不一致的现象。例如，在一些重大考试中，人们传统的观念是“同一类题型的测验题按照难度值单调递增”，往往采取“依序答题”的策略，但却经常发现“最后一道题不是整卷最难的”，但“自己已经没有时间去解决了”。因此，我们认为，在测验题的难度估计上，不仅要考虑每道题本身“作为一个单独问题”的难度，还要考虑问题的形式及在整卷中的“地理位置”。除了考虑这些因素外，在重大考试中，为谨慎起见，还得考虑进行“预测”工作（例如：请一些经验丰富的教师解答并给出评价和难度估计或者选择一些地区进行“秘密测试”）。由此可见，要真正估计一份试卷的难度值是很不容易的。

（四）测验题的题型选择

就我国的数学教学评价而言，数学测验题的题型往往具有“一个传统习惯和调整问题”。1952年的高考试卷的24个测试题中，填空题竟然有20题，而解答题只有4个。但1953年的高考试卷中，竟然有15道解答题，一个填空题也没有！1954年到1963年的高考试卷均为10道解答题。自1983年出现选择题以来，选择题似乎成了“必考题”，但是，新高考以后，一些省市出现了“拒绝选择题”的现象（例如，江苏省的新高考数学试卷）。其实，对于在重大考试中采取何种题型这个问题，我国数学教育工作者也一直在探索中，估计很难有一个“固定的模式”。在这里只是请教师要注意在平时教学测验中，测验题的题型选择要特别关注这些测验题的“教育功能”。

例98已知tan（α—β）=12,tanβ=—17,α，β∈（0,π），求2α—β。

错解：

tanα=tan［（α—β）+β］=13,

∴tan（2α—β）=tan［（α—β）+α］=1

∵α，β∈（0,π），∴2α—β∈（—π，2π）。

∴2α—β=—34π，π4,54π。

有的学生注意到tanα>0,tanβ0,从而由α∈0,π2,β∈π2,π得出2α—β∈—π，π2,于是2α—β=—34π，π4。事实上，由tanα=13及tanβ=—17,得α∈0,π6,β∈5π6,π得2α—β∈—π，—π2,∴2α—β=—34π。

这是一道易错题，若教师不注意，编成一道选择题，其四个选支分别为（）

（A）—34π（B）π4（C）—34π，π4（D）—34π，π4,54π

由于选择题只注重答案不易发现学生的思维过程，本题的选支具有“暗示”的作用，在学生选（C）或（D）的时候，错失了彻底暴露学生的思维状态的良机。其实，本题若编成选择题，一些学生根本不需要求出tan（2α—β），而直接估计2α—β的范围即可。因此，该题编成填空题或解答题，学生的“错误率”将“大大增加”。

四、数学测验题的命题方法

数学测验题的命题方法是一个“大话题”，我们这里只是简单做一点讨论。按照数学测验题的命题工作时间分类，我们可以分为前期工作、中期工作和后期工作。

（一）前期工作

数学测验题命题的前期工作主要包括数学测验的意图与目标的确定、数学命题的人员组织和策划、数学命题的计划表制订等等。

（二）中期工作

数学测验题命题的中期工作主要包括数学测验题的收集与筛选、数学测验题的原创、数学测验题的改编与整合、数学测验题的难度估计、数学测验题的调整（与试验）等。

（三）后期工作

数学测验题命题的后期工作主要包括测试后对命题的评价和总结，提出今后需要改进的方向等。值得指出的是，这个环节或许有的学者认为不属于数学命题的工作范畴，似乎一旦数学测验题进入考试阶段，整个数学命题工作即“宣告结束”。而我们认为，在真正测试后，数学命题的评价应该是命题工作的一个很重要的环节。因为它直接关系到后续测验题的命题工作，故这个环节千万不可忽视。