数学研究性学习

目前，对“研究性学习”的概念有不同的理解，或指一种学习方式，或指一种教学策略，或指一门专设的课程。作为一种学习方式，“研究性学习”是指学生在教师指导下，以类似科学研究的方式去获取知识和应用知识的学习方式。作为一种教学策略，“研究性学习”是指教师通过印发、促进、支持、指导学生的研究性学习活动，来完成学科教学任务的一种教学思想、教学模式和教学方法。而研究性学习课程是通过知识与经验并重的主体性探究来实现学生的发展，培养他们创新精神的生成性课程。事实上，教师的研究性教学策略与学生的研究性学习活动是相互依存的关系，教师实施研究性教学策略的目的在于使学生开展研究性学习活动，进入运用研究性学习方式进行学习的状态，研究性教学策略的实施主体是教师，研究性学习方式的实施主体是学生。在教师成功实施研究性教学策略的情境中，学生既是研究性学习活动的主动者，又是教师研究性教学策略的被动者。

“研究性学习”尽管有学习方式、教学策略和课程类型等诸多定义方式，但其核心点是学习方式，而教学策略和课程类型实际上是学习方式对课程、教学提出的必然要求。

作为学习方式的研究性学习可以有广义和狭义两种理解。从广义上理解，它泛指学生探究问题的学习，是一种学习方式、一种教育理念或策略，显然它可以贯穿于各科、各类学习活动中；从狭义理解，它是一种专题研究活动，是指学生在教师指导下，从自然现象、社会现象和自我生活中选择和确定研究专题，并在研究过程中主动地获取知识、应用知识、解决问题的学习活动。

目前中小学大力提倡的研究性学习，主要是针对我国中小学教育中出现的若干弊端，为实施以创新精神和实践能力为重点的素质教育而提出的，它的根本目的是让学生通过对研究过程的亲历，获得对客观世界的体验和正确认识，通过自由、自主的探究过程，综合性地提高整体素质和能力。因此，研究性学习的重点在“学习”而不是“研究”，研究只是手段、途径，而不是目的。

一、基本特征

研究性学习的基本特征包括以下几方面：

（一）重过程

研究性学习重在学习过程中思维方法的学习和思维水平的提高。它的学习“成果”不一定是“具体”而“有形”的制成品。在研究性学习过程中，学习者是否掌握某项具体的知识或技能并不重要，关键是能否对所学知识有所选择、判断、解释和运用。也就是说，研究性学习的过程本身就是它所追求的结果。

（二）重应用

学以致用是研究性学习的又一基本特征。研究性学习重在知识技能的应用，而不在于掌握知识的量。研究性学习的目的是发展运用科学知识解决实际问题的能力，这是它与一般的知识、技能学习的根本区别。在学习形式上，研究性学习也具有发现、探究的特点，但在学习内容上，其侧重点在于问题解决，所要解决的问题一般是具体的、有社会意义的。从应用性的基本特点出发，研究性学习还带有综合性的特点。即学习者面临的问题往往是复杂的、综合性的，需要综合运用多方面的知识才能予以解决；学习过程中涉及的知识面比较广，学习内容可能是跨学科的。与一般的掌握知识、运用知识、解答问题（习题）的学习活动相比较，研究性学习更接近于人们的生活实际和社会实践，因而更有利于培养学习者的实践能力。

（三）重体验

研究性学习不仅重视学习过程中的理性认识，如方法的掌握、能力的提高等，还十分重视感性认识，即学习的体验。一个人的创造性思维离不开一定的知识基础，而这个基础应该是间接经验与直接经验的结合。间接经验是前人直接经验的总结和提炼。直接经验则是学习者通过亲身实践获得的感悟和体验。间接经验只有通过直接经验才能更好地被学习者所掌握，并内化为个人经验体系的一部分。研究性学习之所以强调学习体验的重要地位，主要是因为学习体验可以弥补知识转化为能力的缺口。更为重要的是，“创造”不仅仅是一种行为、能力、方法，而且是一种意识、态度和观念，有创造的意识，才会有创造的实践。因此，只让学生懂得什么是创新意识、创新精神是不够的，重要的是让学生亲身参与创造的实践活动，在体验、内化的基础上，逐步形成自觉指导创造行为的个人观念体系。

（四）重全员参与

研究性学习主张全体学生的积极参与，它有别于培养天才儿童的超常教育。研究性学习重过程而非重结果，因此从理论上说，每一个智力正常的中小学生都可以通过学习提高自己的创造意识和能力。在研究性学习的过程中，学习者可以根据自己的学习基础和个性特点，制订恰当的研究计划，实现个人的研究目标。

全员参与的另一层含义是共同参与。研究性学习的组织形式是独立学习与合作学习的结合，其中合作学习占有重要的地位。由于研究性学习是问题解决的学习，学习者面临着复杂的综合性问题，因此就需要依靠学习伙伴的集体智慧和分工协作。在这里，合作既是学习的手段，也是学习的目的。通过合作学习和研究，学习者可以取长补短，取得高质量的成果。与此同时，在共同参与的过程中，学习者还需要了解不同人的个性，学会相互交流与合作。这种合作包括合作的精神与合作的能力，例如彼此尊重、理解以及容忍的态度，表达、倾听与说服他人的方式方法，制定并执行合作研究方案的能力等。现代社会与科学技术的发展使得人类面临的问题越来越复杂，而社会分工的细化则又限制了个人解决问题的能力和范围。因此，培养中小学生的合作意识与能力，也体现了时代和社会的要求。

研究性学习的目的与一般的学科教育目的相比，它更强调学生对所学知识技能的实际应用，而不仅仅是对学科知识的理解和掌握，它更强调通过亲身体验来加深学生对学习价值的认识，它更强调学生在思想意识、情感意志、精神境界等方面得到升华。具体而言，以下目标是我们所强调的：

①让学生经历科学研究的过程，获得亲身参与研究和探索的体验。研究性学习的过程，是情感活动的过程。强调通过让学生主动参与类似科学研究的学习活动，获得亲身体验，逐步形成一种在日常学习与生活中喜爱质疑、乐于探究、努力求知的心理倾向，激发探索和创新的积极欲望。

②了解科学研究的方法，提高发现问题和解决问题的能力。研究性学习的过程通常围绕一个需要解决的实际问题展开，以解决问题和表达、交流为终点。这一过程需要培养学生发现和提出问题的能力，提出解决问题的设想的能力，收集资料的能力，分析资料和得出结论的能力，以及表达思想和交流成果的能力，并要掌握基本的科学方法，学会利用多种有效手段，通过多种途径获取信息。

③学会与他人沟通和合作，学会分享。合作的意识和能力，是现代人所应具备的基本素质，而研究性学习提供了一个有利于人际沟通与合作的良好空间。为了完成研究任务，学习者需要与课题小组以及教师、社会力量、专家进行沟通合作。在这个过程中，要发展学生乐于合作的团队精神，使学生学会交流和分享研究的信息。

④增强探究和创新意识，培养科学态度、科学精神和科学道德。在研究性学习的过程中，学生不可避免地会遇到一系列的问题和困难，学生必须学会从实际出发，通过认真踏实的探究，实事求是地得出结论，并且养成尊重他人的想法和成果的正确态度，同时具备不断追求的进取精神、严谨的科学态度、克服困难的意志品质等。

⑤培养学生对社会的责任心和使命感。联系社会实际展开研究活动，为学生的社会责任心和使命感的发展创造了有利条件。通过社会实践，学生要了解科学对于自然、社会与人的意义和价值，要学会关心国家和社会的进步，学会思考人类与社会的和谐发展，形成积极的人生态度。

⑥促进学生学习，掌握和运用一种现代学习方式。研究性学习着眼于改变学生单纯的接受式的学习方式，促进学生形成一种对知识主动探求，重视实际问题解决的积极的学习方式。

⑦激活各科学习中的知识储备，尝试相关知识的综合运用。学生所学的课程大多是分科设置的，而研究性学习的开展可以促进知识的综合运用。

⑧促进教师教学观念和教学行为的变化，提升教师的综合素质，帮助教师找到培养学生创新精神和实践能力的途径，进而在学科教学中更自觉地推进素质教育。

二、实施阶段

研究性学习的实施一般可分为三个阶段：进入问题阶段、探索求解阶段和表达内化阶段。在学习进行的过程中，这三个阶段并不是截然分开的，而是相互交叉、交互推进的。

（一）进入问题阶段

进入问题阶段，主要是针对特定情景，提出核心问题，确定研究范围或研究题目；搜集相关资料，了解有关研究题目的知识水平、该题目中隐含的争议性问题，从多个角度认识、分析问题；在此基础上，确定具体的研究方案，包括合适的研究方法、可行的研究进度、预期的研究结果以及可能发生的问题和对策。在这个过程中，要反思所确定的研究问题是否适合，是否需要改变等问题。

（二）探索求解阶段

探索求解阶段，主要包括以下步骤：

1.搜集和分析信息资料

通过访谈、上课、查阅书刊杂志、编制问题卷等有效形式搜集和获取所需要的信息资料，判断其真伪、优劣、价值，有条理、有逻辑地进行整理与归纳，发现它们之间的关联和趋势，最后综合整理信息进行判断，得出相应的结论。同时还要反思所得的结论是否充分地回答了所要研究的问题，是否有必要采取其他方法获取证据以支持所得出的结论。

2.调查研究

根据研究方案，按照确定的研究方法，选择合适的地方进行调查，获取调查结果。在这一过程中，应如实记录调查中所获得的基本信息，形成记录实践过程的文字、音像等多种形式的作品，同时要从各种调研结果、实验、信息资料中归纳出解决问题的重要思路或观点，并反思是否获得了足以支持研究结论的证据，是否还存在其他结论的可能。

3.初步交流内化阶段

主要包括：将取得的进展进行归纳整理、总结提炼，形成书面材料和口头报告材料；进行交流和研讨，通过答辩和鉴定；将最终成果通过同化和顺应，使其成为自己认知结构的有机构成部分。在这一阶段，要与别人分享成果，要欣赏和发现他人的优点，学会理解和宽容，学会客观地分析和辩证地思考，也要敢于和善于申辩。

接受性学习主要是以获得系统的学科知识为主，其根本目的在于增加个体的知识储备，扩展学生的知识视野，为个体成为真正的认识主体提供素材。而研究性学习是重过程，而非结果；更注视学生从过程中学习或领悟到了什么，而非最终研究结果对社会的贡献。这两者是相对的概念。在人的具体活动中，两者常常是相辅相成、结伴而行的。“研究性学习”重在学生学习态度和学习方式的改变，强调培养学生研究问题的意识和研究问题的方法，重视的是学习活动的过程而不是最终结果，因此在积累直接经验、培养学生的创新精神和实践能力方面有其独到之处；而接受性学习在积累间接经验、传递系统的学科知识方面，其效率之高是其他方法无法比拟的。因此就人的发展而言，“研究性学习”与“接受性学习”都是必要的。在我国新的基础教育课程体系中，特别强调“研究性学习”并不是因为“接受性学习”不好，而是因为我们过去过多地倚重于“接受性学习”，而“研究性学习”则被完全忽略或退居边缘。强调“研究性学习”的重要性是为了促进学生学习方式的转变，从而使以培养学生的创新精神和实践能力为核心的素质教育落到实处。

事实上，创新精神的培养和发展，离不开扎实的知识基础。没有基础就没有创新，一定的学科知识基础是科研活动和创新活动的根本，创造不是凭空从人们头脑中产生的想法，而是经过长期的知识积累，不断地向“未知世界”提出问题，不断钻研的结果。中小学阶段是学生打基础的重要时期，我们必须坚持基础知识，尤其是其中更基本的理论知识的传授，为创造性的学习、思维的飞跃打下坚实的基础。所以，教师应该根据不同的教学任务，灵活地、综合地应用各种学习方式，促使学生更好更快地发展。

例11.1a°角模板的设计问题。

有一道小学的智力竞赛问题：

现有一个19°的模板，请你设计一种办法，只用这个模板和铅笔在纸上画出1°的角来。这个问题不少学生都会抓住19°×19=361°比360°多1°的特点，机智地给出解答。

在平面上取一点O,过O点画一条直线A0OB0,以O为顶点，从OB0起始沿逆时针方向依次用模板画射线OB1,OB2,,OB3，…，OB18,OB19,使得∠BiOBi+1=19°，（i=0,1,2…，18。）这时，∠B0OB19=19°×19—2×180°=1°，这样，我们就用19°的模板画出了1°的角。

我们可以引导学生去思索：

（1）有一个17°的模板和铅笔，你能否在纸上画出一个1°的角来？

（2）用一个21°的模板和铅笔，你能否在纸上画出一个1°的角来？

对（1）、（2）两问，如果能，请你简述画法步骤，如果不能，请你说明理由。对于用17°角的模板能画出1°的角，师生一起讨论发现，关键就在于要找到17°角的一个倍数与180°的某个倍数恰好相差1°，也就是能否找到整数m,n,使得17°×m－180°×n=1°，大家动手试一试不难发现，m=53,n=5即可，这样就不难设计画法了。

根据上问的结论，若用21°的模板能画出1°的角，表明存在整数m、n,使得21×m—180°×n=1。但是我们发现，321,3180,推出31,矛盾。因此用21°的模板不能画出1°的角。

通过上面的思索，学生可以小结，具有怎样整数度数的模板可以画出1°的角，哪些整数度数的模板不能画出1°的角。

问题解决完毕，人们会问，直接做个1°的角的模板去画1°岂不更省事？其实不然，1°的模板很“细”，难以制作与使用。一般可采用15°~60°之间的一个整数度数的角来制作画1°角的模板。于是问题的一般形式是：

请你设计一个“a°角模板”（a°取15°~60°范围的整数度数），用这个模板可以画出1°的角来。

上面例题启发我们，关键在于连续使用“a°角模板”若干次，恰能与180°的某个倍数相差1°（有可能是大1°，也可能是小1°）。用数学语言表述为：

是否存在整数x,y,使得

ax—180y=1……①

也就是ax—180y=1是否存在整数解（x,y）？

这样，我们将“a°角模板”的设计问题，抽象成为①是否存在整数解的问题，就可以在纯数学范围内研究讨论，加以解决了。类比例题的解法，如果（a,180）≠1,那么①就不存在整数解。从而只需讨论（a,180）=1的情况即可。进一步一般化可得到：

不定方程ax+by=c,（其中a,b为正整数）有整数解的充分必要条件是dc,d=（a,b）

例11.2拼图与勾股定理。

几何学里一个非常重要的定理，在我国叫“勾股定理”或“商高定理”，在国外叫“毕达哥拉斯定理”或叫“百牛定理”，即“直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方：c2=a2+b2”。本课题为学生提供了现实、有趣、富有挑战性的学习素材，为学生创造了能充分进行探索、交流的时间和空间；创造了一个能激发学生积极思维、解决问题的学习氛围，极大地激发了学生的学习热情与求知欲望，增强了学生的自信心，使学生学习变得趣味盎然；课堂教学中，学生积极主动参与、主动探究并且相互交流，气氛热烈、活而有序，增强了学生的合作意识与合作精神，培养了学生口头表达能力与动手操作的实践能力、创新意识与创新能力；整个课堂教学体现了研究性学习的针对性、活动性、开放性、选择性、合作性、生成性。本课题中，设计了丰富的拼图活动，学生经过自己的操作和思考，相互交流、讨论，一方面经历了验证勾股定理的过程，感受解决同一问题的不同方法，积累了数学活动经验；另一方面通过对中外多种方法的了解，开阔了视野，感受到了古代人民的聪明才智。

图11.3青朱出入

图11.4中国古代数学家刘徽（魏晋时期）的证明

图11.5古希腊欧几里德的证明

图11.6赵爽“勾股圆方图”

刘徽在他的《九章算术》中给出了注解，大意是：三角形ABC为直角三角形，以勾为边的正方形为朱方，以股为边的正方形为青方；以盈补虚，将朱、青二方并成弦方，依面积关系有a2+b2=c2,由于朱方、青方各有一部分在弦方内，那一部分就不动了。

（事实上，学生还拼出了多种多样的“青朱出入图”，是其中的一个。）

刘徽的这种证法虽比赵爽晚几年，却更巧妙：已用不着进行代数运算了。

①在一张长方形的纸板上画两个边长分别为a、b的正方形，并连接BC、EF。

图117勾股定理的证法之一

②沿ABCDEFA剪下，得到两个大小相同的纸板Ⅰ、Ⅱ。

③将纸板Ⅱ翻转后与Ⅰ拼成如（c）所示的图形。

④比较（a）、（c）中两个多边形ABCDEF和A′B′C′D′E′F′的面积，学生相互交流、讨论、合作，利用面积关系可得到

SABCDEF=SA′B′C′D′E′F′

即

a2+2×12ab+b2=c2+2×12ab

a2+ab+b2=c2+ab

故

a2+b2=c2

伽菲尔德关于

勾股定理的证明方法

迄今为止，关于勾股定理的证明方法已有400余种。其中，美国第二十任总统伽菲尔德的证法在数学史上被传为佳话，他的证法：

师语：利用本节所学习的知识，你能想象出总统是如何验证勾股定理的吗？

（让学生先独立思考、仔细研究揣摩，再相互交流、讨论）

因为

S梯形ABCD=12a+b2=12a2+2ab+b2

又因为

S梯形ABCD=S△ABE+S△ADE+S△DEC

=12ab+12c2+12ab=12c2+2ab

所以

a2+2ab+b2=c2+2ab

故

a2+b2=c2

注：1876年4月1日，伽菲尔德在《新英格兰教育日志》上发表了对勾股定理的这一证法，1881年，伽菲尔德就任美国第二十任总统，后来，人们为了纪念他对勾股定理直观、简捷、易懂、明了的证明，就把这一证法称为“总统”证法。

研究1：数形结合，由所拼图形面积关系，通过代数恒等变形验证勾股定理。

研究2：通过实际操作、试验来研究学习中国古代数学家利用出入相补原理证明勾股定理的方法。

研究3：介绍和学习古代西方欧几里得的证明方法并与中国传统方法相比较，体会数学不同的文化价值。

研究4：研究学习体会意大利著名画家达·芬奇对勾股定理的新颖、独特验证，开阔学生视野，丰富学生的想象，体会数学的美学价值。

研究5：研究学习体会美国第二十任总统伽菲尔德的直观、简捷、明了的证法，进一步激发学生的学习兴趣。

例11.3某城市一年中的气温变化规律。

该课题小组每天在报上（或收音机）看（听）天气预报并做好记录，利用课余时间或专门时间，走访气象部门，以了解一些气温方面的知识及相关数据的统计方法等。在收集数据、查阅文献资料等基础上，运用统计的方法，将各种数据制成表格或扇形统计图、条形统计图或折线统计图。经过这一实践活动的磨炼，学生不仅了解到一年气温变化与二十四节气的关系，气温变化与流行病的发作、预防以及气温变化对日常生活的影响等，而且对各种统计图加深了感性认识，为进一步理性的思考打下了基础。当然，该课题的研究需要一定的主、客观条件，学生的研究成果很可能不尽如人意，但研究性学习“重过程、重参与、重应用、重体验”，而且在实施过程中，学生挖掘出了许多很有价值的素材，学到了一些书本上学不到的东西，如人际交往、社情教育、服务意识、科学的态度和科研的艰辛等，这又极大地鼓励了他们进一步去探索研究。

例11.4某城市一周内的汽车尾气排放及控制。

该课题与当今社会生活息息相关。

2002年高考数学（理科）试卷中有这样一道题：

某城市2001年末汽车保有量为30万辆，预计此后每年报废上一年末汽车保有量的6%,并且每年新增汽车数量相同。为保护城市环境，要求该城市汽车保有量不超过60万辆，那么每年新增汽车数量不应超过多少辆？

本题选取了“环保”话题中一个日趋为大众所重视的问题：汽车与环保。随着我国正式加入WTO,汽车也逐渐驶入寻常百姓家。这在给人民生活带来便捷的同时也给环境带来严峻的考验：汽车尾气的排放、交通的拥挤等。解决问题的重要方法之一便是有效地控制汽车增长的数量。这道高考题就是从这个角度提出问题，让学生运用所学的数学知识，给予解答。