初探高中数学基本活动体验的路径

胡明亮^[1]

[摘 要]　 高中数学教学要求明确指出，让学生经历操作、观察、思考等过程，形成基本的数学活动经验。那么，在高中数学教学中，应该从哪些方面去实施数学基本活动体验呢？数学活动是实践性、探索性和应用性较强的一类学习活动，引导学生投入其中，积累丰富的数学活动经验，笔者结合高中数学教学具体内容进行了一些思考和尝试，提供一些这方面的思路和案例。

[关键词] 活动；经验；数学教学；数学价值

高中数学新课程标准，在传统教学大纲“掌握基本知识、形成基本技能”的基础上，新增加了“获得基本思想方法、积累基本数学活动经验”等要求。通过广大教师长期研究和实践，对前“三基”有了丰富的理论及实践成果，但有关“数学基本活动体验”的研究还处在初级阶段。在长期的高中数学教学实践中，我总结了一些让学生积累基本数学活动经验的经验。

路径一：感知数学知识形成的过程性和发展必要性

受应试教育的影响，传统数学教学往往只讲是什么，怎么做，很少讲为什么，更缺少前因后果来龙去脉的探究，丢弃了数学知识产生的背景和过程，丢掉了数学知识的应用和发展，这就是掐头去尾的数学教学。

新课改教材有了很大改进，每章开篇都有章序，主要介绍本章要学习的内容，这些知识产生的背景，它们的前后历史与发展，以及在生产、生活中的联系与应用。如果老师用心去挖拓其中的教育价值，数学教学的教育功能会提升一大步。我在每一章的导入以及章末的拓展教学时，都会让学生花上一些时间和心思去学习、去感悟。

如学习“圆锥曲线与方程”时，我让学生先阅读序言，再思考：问题1. 用一平行于底面的平面去截一圆锥，所得截面是什么图形？如果截面不与底面平行其截面又是什么图形？配合多媒体技术，让学生试一试，画一画。问题2. 你所了解的有关椭圆、双曲线、抛物线的知识有哪些？联系生活，联系前后知识，顺便介绍其广泛运用。问题3. 解析几何是谁发明的？在哪个年代？简单介绍笛卡尔与坐标方法、解析思想。通过以上处理，学生明白了什么是圆锥曲线，为什么要学圆锥曲线，怎样去学好圆锥曲线。在教高一数学，引入“集合”时，我先总结：小学学习了具体的数，初中学习了用字母表示的常数和变数，但它们都是单一对象，今天我们要学习的内容是把具有某种属性的一伙对象当成一个整体加以研究，这就是“集合”。学完“函数”，我有过这样的小结，我们学习了常量、代数式、变量的函数式，但这些变量间的关系是确定的，以后我们还将学习两变量间相关但不确定的关系，也就是随机关系。这些做法令高一学生对数学充满了好奇和兴趣。高中数学教学，从引言开始，到思考延伸，要让学生明白，为什么学，该学什么，怎么学，学到何种程度。

数学的策略性知识更需要过程体验。在进行解题方法教学时，我会自觉地介绍我遇到问题的最原始想法，分析产生这些想法的原因，带领学生经历数学的发现和创造的过程。数学课堂中，虽然不能让学生完全地去重复人类所经历过的发现过程，但合理地、有选择性地让他们参与知识发现和探索的过程，了解某些数学知识产生的原因，不但有利于学生掌握和理解知识，而且有利于激发他们学习的创造性。

在一些重要环节，要精心设置问题情景，良好的情景有利于对接学生思维的最近发展区，适度的前后联系有利于知识体系的完整构建，必要地介绍知识的发展前景会激发学生进取的积极性，同时，可以培养学生的大局观、整体意识和思维的有序性。

路径二：感受数学知识的工具性和应用的广泛性

学习数学不是为了解几道数学难题，也不是为了应付升学考试，学数学是为了用数学。数学是生产、生活、学习、研究的工具，是其他学科的基础。

数学知识本身具有广泛的应用价值。从体积、面积、三角形稳定性、垂线段最短、直线距离最近，到排列、组合、概率、统计等，人们获得了最直接的生活理论工具，从数字到符号，人们获得了信息的畅通与交流。数学知识的应用价值主要表现为应用数学工具性的一面，它给人们带来方便。

学习数学不仅要学习实用的知识，而且要学习用数学去看待世界、去认识世界的方法。城市的大街小巷到处都有各式各样的交通符号和市政标记，那不是数学符号化方法的应用吗？股市行情用数学的图表方式表现，让人一目了然，各家各户的电话通过不同的数字不就区分了吗？数学给我们的生活带来方便，有必要让学生感悟其中的思想方法。类比、观察、比较、归纳是数学学习中最常用的方法，同样这也是人的思维活动通用的方法。从分类讨论到逻辑划分，有了化整为零，分散解决，各个击破的战术；从等价转化，获得多侧面看问题，多渠道解决问题的方法；从微分积分，到宏观、微观把握问题，正确处理局部与整体的关系；从直觉判断与严格论证，到对真理的勇敢探索，对未知世界的猜想，对别人意见的接受与批判；从综合、分析，到如何从已知到未知寻求沟通，如何变理想为现实。

有意义的数学活动体验让人受益匪浅。代数中字母取代具体的数，使我们明白了认知的对象可以符号化；数学解的确定性，让混沌的世界可以被感知。函数学习中模式化意识、范围化意识，提醒我们尊重规则，尊重规则的时效性、地域性，进一步形成了定性、定量相结合，符号简化意识。交换律让我们学会调整程序，知道应该先干什么、后干什么，什么事可交换进行，什么事又只能依序进行。结合律使我们明白资源和行动的优化配置。

学生体会到这些，会更主动更喜欢学习数学，会让我们的数学课堂变得更加生动。

路径三：感悟数学知识的直观性与抽象性

数学是一门逻辑严谨且比较抽象的学科，中学生学习数学，需要有一定的直观教具作为辅助。

高中建立的函数性质，无一例外都是依靠几何直观得到的。讲轨迹，借助计算机动态演示，可以帮助学生形象、直观地认识所研究的曲线。讲圆锥曲线时，通过生活实例或利用多媒体演示，让学生经历从具体情境中抽象出圆锥曲线的过程，通过操作、观察、探究揭示圆锥曲线的几何特征。通过具体而适量的实际例子，引导学生体会坐标法的基本思想，归纳总结求曲线方程的基本步骤，感受坐标法在研究几何问题中的作用，可以很好地突破圆锥曲线认知中的难点。

教立体几何，开始要结合几何模型，画长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等几何体及其简单组合体的三视图，在此基础上，能识别和还原上述三视图所表示的立体模型。引导学生制作模型，通过不同的方式得到有关多面体的展开图，进而理解表面积的概念，体会把空间图形转化为平面图形解决问题的思想。教学中可以让学生初步感受通过分割将柱体转化为锥体，通过组合将锥体转化为柱体的思维过程，这样做对学生解决空间几何体的示意图帮助很大。

借助直观得出抽象结论，借助抽象完成对直观的升华，在高中数学教学中比比皆是，有必要选取一些让学生去感知。

路径四：享受数学方法的多样性与统一性

解决一道数学问题或一个实际的生活问题，往往方法众多，但这些方法又多具有统一性，一题多解、多题一解就是方法的多样性和统一性的表现。

高中数学在研究平面几何问题时用到了坐标解析方法，用到了平面向量方法，用到了复数几何意义，这些方法分属不同领域，但又本质相通。

讲三角变换时，引导学生用对比、联系、化归的观点去分析、处理问题。要“活”用公式，加强逆用及变用公式的训练。引导学生在解题中不断总结规律，归纳三角恒等变形中常用的变换方法，如函数名的变换、角的变换、升降次的变换、“1”的代换等，学生能自主归纳出一些方法，远胜过老师直接灌输。

在直线与圆锥曲线关系中，帮助学生体会应用方程组的知识解决曲线的交点、直线与圆锥曲线的位置关系等问题，在解决与交点有关的问题时，引导学生发现整体思想，让学生体会借助一元二次方程根与系数的关系，能简化步骤，避免繁杂运算，提高效率。利用数学方法的多样性与统一性，很顺利地引出圆锥曲线的第二定义。进一步对椭圆、双曲线、抛物线统一研究，与焦点相关的弦长问题都可以用第二定义去转化，这是何等的奇妙。

路径五：体会数学知识的连贯性与数学技能的递进性

数学知识前后关联性强，从了解数学知识之间的内在联系，到让学生掌握一些数学的方法，再到拥有一些数学的技能，最后综合运用数学知识解决实际问题，这是一个连贯和螺旋递进的过程，不同阶段各有侧重，不可以急功近利。

运算能力的提高离不开平时的练习，就像婴儿学爬一样，这是不可或缺的过程体验。但是，总是不停地原地踏步，却又永远不能进步，数学学习正是这样，既要技能连贯又要螺旋递进。

函数知识的学习是一步一个台阶，先学一次、二次，正比、反比，再有三角函数，再到指数、对数函数、幂函数……先是常系数的，后是含参数的函数，往后还有多变量、分段和复合函数，不同学段有不同要求。又如学习集合知识，作为一种语言和工具，集合的学习是一个循序渐进的过程， 开始只要求简单的交、并、补运算，高一教学不宜拓展加深， 应该在以后相关章节的教学中不断巩固和深化。

在高中讲“解三角形”时，鉴于初中已经学习了三角形相关知识，通过对任意三角形边角关系的探究，从特殊到一般，引导学生探索并发现正弦定理，可以采用探究教学模式组织教学。

体会数学技能的连贯性，可以让学生体会到凡事都得循序渐进，一步一个脚印，打牢基础很重要，水到渠成自然会有能力的递进，切勿拔苗助长，急功近利。体验能力的螺旋上升，可以让学生明白学无止境，追求的道路是曲折的，前途是光明的，不一样的付出达到的高度也是不一样的。

路径六：品味数学直觉发现中的经验与理性

数学成果的发现很多来源于实践，有些甚至出乎意外，但其中包涵了很多理性必然。新的教材重视直觉思维的应用，重视已有经验的转化。尤其是在一些较难的概念、定理的理解上，教学更要处理好直觉与理性的关系。

现行导数概念是在没有全面学习极限理论的情况下进行的，教学中，可以通过研究曲线的切线、增长率、膨胀率、效率、密度、速度、加速度等能直接反映导数思想及本质的、学生熟悉的实例，引导学生经历由平均变化率到瞬时变化率的过程，认识并理解导数的概念，知道瞬时变化率就是导数，增强导数几何意义的认识和理解，让学生领会导数思想的核心在于瞬时变化率的刻画。

立体几何三个公理教学中，通过实际问题，引入平面概念，并注意与直线的概念进行比较。我尝试了通过“直观感知、操作确认”理解三个公理。立体几何其他定理教学也强化了“直观感知、操作确认”的过程，这样做使合情推理得到加强，使学生在立体几何学习中的认识过程完整化，这对培养学生的几何直观能力和空间想象力，发展他们的空间观念有好处。这与传统教学方式注重严格逻辑证明是完全不同的，实践证明，学生对新的处理方式更容易接受。

路径七：体验数学探索创造的曲折性与和谐性

让学生体验数学探索的曲折性，发现数学探索的和谐性，能培养学生的人文精神。如通过教材中的阅读材料，了解对数的发现历史以及对简化运算的作用，通过数学发展的三次危机到三次飞跃等事例，认识数学知识的每一次进步是何等的艰辛，但又是何等的和谐。

其实，在讲解试卷或习题时，试错就是一次十分有益的数学活动体验。失败是成功之母，在一次次失败中总结经验，探索进取，直到正确，远胜过跟着老师不偏不移地得到结果的教育价值。提出的问题，如果永远是别人给你探究的方法，探究的技巧，甚至探究的程式，而你没有亲自去探究一些问题，那么你永远感悟不到探究是什么滋味，永远无法完成真正意义的创造。

我们不仅要教给学生知识，还要引导学生利用这些知识解决实践中的问题，积累运用数学解决问题的经验。包括从哪找到问题？和数学有没有关系？能不能用数学的知识去解决这些问题？有了问题，还要设计解决问题的策略，或者过程，或者程序，最后得到结果，要跟别人分享讨论结果的价值和意义。这样一个完整的过程对于一个学数学的人来说是非常重要的。过去我们仅仅停留在解决习题上，通过条件去证明问题，解答问题。如今，我们要发现问题、思考问题、研究问题，在这一过程中不断地积累解决问题的经验，这和数学家研究数学没有本质的差别，长期坚持有利于培养创新型人才。

路径八：品尝数学过程与结果中的数学美和哲学思想

数学超越现实三维空间，建立起了四维、五维空间。数学的内容和形式都是很美的，如果我们能感受数学的这些美，从而对数学产生浓厚的兴趣，无疑，这种教学将是极大的成功。数学是冷而严肃的，这是相对于数学的真理性而言的；然而，数学中有艺术，有美，数学的创造过程中有数学家的情感，那情感是热烈的、令人激动的。在数学教学中，要结合学生的心理和生理特点，引导并构建学生的审美理想，充分展示数学美的基本特征。在数学活动中呈现出其不意的美，会加深学生对数学美的感悟和理解，受到美的熏陶，受到美的启迪，这对进一步完善学生人格品质是有益的。

中学数学中有相当多的美学素材，如简洁美、对称美、内容美等，同样地数学也包含了众多哲学思想和方法。

数学对象最初都是以现实世界的大量素材为依据，然后人脑才有目的、有意识地加工制作而成，这就是数学的唯物性。在数学教学过程中增强学生唯物主义认识，不仅可以使学生自然而然地把生活与数学紧密联系，更深入地认识数学，提高数学学习的积极性，还可以更好地把数学引入现实生活，用数学知识来认识世界。

对问题的认识不求统一、对问题的答案不求唯一。让学生能从各个角度去分析问题，运用各种方法去解决问题，用动态的发展的眼光看待数学，这是联系的发展的观点。哲学上讲矛盾无时不有，无处不在，其实数学亦如此，集合论悖论就是如此。又如负数与正数、无理数与有理数、匀速与变速、均匀与不均匀、直与曲、离散与连续、有穷与无穷等既是对立的又是统一的，这些矛盾渗透到众多概念之中。一题多解、多题同解，是对立统一的思想，是和谐自然规律的萌芽。在数学学习中，学生能体验到对立统一的哲学思想，与此同时，只有站在唯物辩证法的高度，才能更好、更深刻地认识和理解数学。

数学活动体验是实践性、探索性和应用性较强的一类学习活动，引导学生投入到观察、实验、操作、推理、交流等学习活动之中，鼓励学生发现问题、提出问题，努力去寻找解决问题的新方法，而不能套用老办法，靠简单的模仿去解决问题。要防止学生的体验流于形式，要周密考虑学生在体验过程中可能碰到的困难和可能出现的问题，精心预设，使体验活动具有可操作性和可控性。相信通过广大师生的努力，数学活动体验会越来越有效。

参考文献

[ 1 ] 教育部．普通高中数学课程标准（实验）[S]．北京：人民教育出版社，2003．

[ 2 ] 张大均等．教育心理学[M]．北京：人民教育出版社，2005．

[ 3 ] 郑毓信．数学教育哲学[M]．四川：四川教育出版社，2001．

☆ 本文系四川省中小学教学名师专项课题“在高中数学教学中落实‘四基’的案例研究”（川教函〔2012〕901号）成果之一。于2014年6月获“中国教育学”全国优秀教育论文大赛一等奖，2014年8月获成都市教科院年度优秀论文一等奖。

【注释】

[1]【作者简介】胡明亮，男，1966年生于四川渠县，现就职于成都市新津县华润高级中学，从事中学数学教育教学研究工作。