数理逻辑思想及其发展

一、数理逻辑思想的相关认识

人们在交往活动中，尽管自然语言是一种非常好的交流思想的工具，但它不适合用来进行严格的推理，因为自然语言在叙述时往往不够确切，易产生二义性。因此，就需要制定一种符号语言（也称为客观语言、形式语言、目标语言）。在这种符号语言中，为了避免二义性，需要引进一些符号，并对这些符号给出明确的定义。

逻辑是探索、阐述和确立有效推理原则的学科，最早是由古希腊学者亚里士多德创建的。数理逻辑是用数学方法即建立一套符号体系的方法来研究推理的形式结构和规律的一门学科，包括逻辑演算、集合论、证明论、模型论、递归论等内容。由于在逻辑学中使用了符号，故数理逻辑也称为符号逻辑。数理逻辑研究的主要问题是推理。所谓推理是指研究前提和结论之间的关系与思维规律。数理逻辑的特点是讲言叙述简单明了，通俗流畅，逻辑性强。[1]

（一）数学与逻辑[2]

一般认为，数学是研究空间形式和数量关系的一门科学，逻辑是研究思维形式及其规律和方法的一门科学，但它们都完全撇开其内容，仅仅从形式方面加以研究，因而均具有高度的抽象性，所以在分类上它们同属于形式科学。同时，数学和逻辑的应用都十分广泛，往往成为研究其他科学的工具，因此又常常同被人们称为工具性科学。

数学与逻辑的研究对象虽各不相同，但它们的性质、特点却有很多共同和类似的地方，正因为如此，它们关系十分密切，在内容和方法上可以互相运用和相互渗透。

认识数学和逻辑的关系，应着重把握二者的辩证关系——一致性、差异性和相互作用性。

（1）数学和逻辑具有一致性的关系。这是因为：

其一，数学和逻辑都是一门形式科学，数学是研究空间形式和数量关系结构的，逻辑是研究思维的形式结构的，二者的研究对象都是高度抽象的结构，它们的定义、定理、原理、法则等都撇开了研究对象的具体事物的内容，而仅仅保留其形式和关系，是一种形式化的思想材料。

其二，数学和逻辑都具有严谨性，数学的科学性是靠推理论证的严密性和结论的确定性来得证的，逻辑也只有当它的推理论证严格而形成严谨的公理化系统时才形成科学。

其三，数学和逻辑的规则都是普遍有效的，因而二者都具有广泛的应用性。数学的应用自不待言，对逻辑而言，可以肯定地说哪里有思维哪里就有逻辑，一切科学都在应用逻辑。

（2）数学与逻辑也具有差异性。一方面，数学和逻辑的研究对象不同，数学的研究对象是客观事物的空间形式与数量关系，而逻辑学的研究对象是思维的形式及规律；另一方面，数学和逻辑的任务和目标不相同，数学的主要目标和任务是揭示客观事物的空间形式与数量关系的特征，探索其规律性，而逻辑的主要目标和任务却是为了解决思维推理形式的有效性或真实性问题。

（3）数学和逻辑又具有很强的相互作用性关系。一方面数学的发展得益于逻辑。首先，数学是一门具有高度抽象性和严谨性的科学，它的公式、定理、法则、原则等的正确性不可能由具体实验和经验实践来证明，只能从逻辑上加以严格演绎论证才被确认。如果没有逻辑，数学的大厦就无法建造，至少可以说不能建构系统的公理化的演绎的数学科学，即现今意义上的数学是根本不可能存在的。再从数学或其某一分支的产生和发展来看，数学发展有其自身的规律，但它的发展阶段也是伴随着逻辑的发展而前进的，集中体现出人类思维和智慧的成果。数学理论的形成，需要有一个有关经验材料的积累过程，然后进入提炼整理阶段，再经过组织和演绎，最后才形成一个系统。无疑，在整个过程中都需要运用逻辑（开始阶段运用归纳逻辑多一些，在整理阶段则应用演绎逻辑多一些）。

另一方面，逻辑的发展也要依靠数学的推动。数学理论的突破和数学方法的创新是推动逻辑发展的重要力量。从古典逻辑学到近现代逻辑学的产生和发展，中西方数学都做出了各自的独特贡献。数学方法与逻辑方法的融合，借用数学的方法来研究逻辑关系和问题，也使得两种学科的关系更加紧密。数理逻辑的诞生和发展便是明证。数理逻辑就是用数学方法即用人工语言研究概念、命题以及命题之间的关系，构成十分严密的符号系统，因此有人把数理逻辑叫作符号逻辑。逻辑发展史表明，逻辑是离不开数学方法应用的，当今逻辑学的发展更是需要站在相当的数学基础之上，离开了数学方法，当今逻辑学的最先发展就不可能实现。如果说传统形式逻辑向数理逻辑发展依靠的是数学方法的应用的话，那么当今或今后逻辑学的发展与进步也必须以广泛的数学方法应用为基础。

总之，数学与逻辑的发展是密切相关的，它们相互影响，互相推进，数学发展影响和推进了逻辑的前进，反过来逻辑发展又影响和推动了数学的进步。

（二）数理逻辑的结构[3]

1.语言

逻辑语言是一种形式化语言，它与自然语言的不同之处在于它是人工定义的语言。逻辑语言通常包括符号表和语法，其中符号表规定了逻辑语言中所使用的符号，由符号表和相关语法可生成项和公式。直观上说，逻辑语言中的符号、项、公式分别类似于自然语言中的字、词、句。逻辑语言中的公式并不是符号的任意组合，而是由符号表中的符号按照给定的语法规则构造的表达式，通常将这种表达式称为良构公式（well-formed formulas）或合式公式，简称公式。

2.语义

逻辑语言中的语句是由抽象符号构成的公式，它本身并没有具体的含义，要使其有意义，必须给出相应的解释，通过解释而得到的意义称为语义。如将逻辑语言中的语句解释为关于一定对象的描述，可反映对象的属性或对象之间的关系。这些对象可以是数学对象，如群、图、自然数等，也可以是日常生活中的对象，如汽车、计算机、员工等。类似于自然语言中很多句子有正确与否之分，逻辑语言中的语句有真假之分，这种真假取值简称真值。通过语义的定义可以确定一个逻辑语句的真值。

3.推演系统

推演系统由一组公理或推理规则组成。其中，公理是一些公式，表示可不加证明而被接受的断言。推理规则是由公式（组）产生公式的生成规则，它本质上是一种符号串的重写规则。通常，公理或推理规则是以模式（schema）的形式给出的。模式是对具体公理或推理规则的抽象概括，每一条公理或推理规则模式都代表无穷多个公理或推理规则实例。

（三）数理逻辑的主要分支

数理逻辑的主要分支包括逻辑演算（包括命题演算和谓词演算）、模型论、证明论、递归论和公理化集合论等。下面主要对逻辑运算中最基本也是最重要的逻辑演算进行介绍。[4]

1.命题演算

命题演算即Ls，是研究关于命题如何通过一些逻辑连接词构成更复杂的命理以及逻辑推理的方法。命题逻辑是数理逻辑的基本组成部分，是谓词逻辑的基础。

所谓命题，是指具有非真必假，能判断真假的陈述句。命题仅有两种可能的值：真和假，二者只能取其一，真用1或T表示，假用0或F表示。命题的真假具有客观性质，而不由人的主观决定。由于命题只有两种可能的值，故称命题逻辑为二值逻辑。例如，6是偶数；我是学生；1+6=10等。

简单命题（或称为原子命题）：不能再分解为更简单命题的命题。原子命题是命题逻辑的基本单位。

复合命题：由若干个简单命题和如“或者”“并且”“非”“如果……则……”“当且仅当”等命题连接词、标点符号或圆括号构成的命题。

2.谓词演算

命题逻辑中，形式化的对象及命题演算的对象都是语句。但是，在数学乃至一般推理过程中，许多常见的逻辑推理并不能建立在命题演算的基础上。例如，张三的每位朋友都是李四的朋友，王五不是李四的朋友，所以王五不是张三的朋友。这类推理无法用命题逻辑中的运算操作得到。因此，我们必须深入到语句的内部，也就是要把语句分解为主语和谓语。

谓词演算也叫命题涵项演算。在谓词演算里，把命题的内部结构分解成具有主词和谓词的逻辑形式，由命题涵项、逻辑连接词和量词构成命题，然后研究这样的命题之间的逻辑推理关系。谓词逻辑是命题逻辑的延伸。

二、数理逻辑思想的形成与发展

恩格斯曾经指出，关于思维的科学，是一种历史的科学，是关于人的思维的历史发展的科学[5]。因此，了解一下数理逻辑思想的发展简史是很有必要的。

（一）数理逻辑思想的形成

早在两千多年以前，伴随着生产实践、自然科学和思想论战的发展，以思维和论辩的方法为研究对象的逻辑学就在中国、印度、希腊逐步产生了。不过，当时它还不是一门独立存在的科学，而是在哲学的怀抱里孕育成长的，它经历了一个漫长的过程才从哲学中分化出来，并逐渐走向成熟。

在数理逻辑发展的早期，主要分为东方的古典逻辑和西方的形式逻辑。

东方的古典逻辑以中国和印度为代表。在我国，有关逻辑学方面的研究，主要表现在墨子与墨家学派、惠施、公孙龙、荀况等人的著作和言论中。其中，以《墨经》对逻辑学的贡献最为卓著。《墨经》六篇是墨家后学多次的集体论撰而成的，它是一部重经验、重实践、发展墨子思想，并总结百家名辩的体系著作，内容不仅包括几何学、力学、光学等自然科学方面，还涉及概念、判断、推理、证明以及思维规律等方面，特别是其中的《大取》《小取》二篇以讨论逻辑学见长，其成就远远高于先秦其他各家的名辩思想。

西方最早运用了数学方法研究逻辑的系统。以德谟克里特、苏格拉底和柏拉图为代表的早期古希腊的学者对形式逻辑进行了初步研究，内容涉及归纳、演绎、类比、定义、划分以及判断等方面的问题。[6]将逻辑学作为一门独立的科学进行研究的是亚里士多德，他以严格的逻辑求证为原则，对所有现存事物加以分门别类的整理和考察，最早从形式结构来论述演绎推理，从而第一次全面、系统地研究了逻辑学的各种主要问题，由他开始了形式逻辑的古典阶段。亚里士多德开创的形式逻辑的古典阶段，包括几种常见的演绎推理和最简单的量词理论，也使用一些特有符号。按照亚里士多德划分的次序，逻辑学的要素分别是概念、范畴、判断、推论、论证和归纳法。因此，有人称亚里士多德为“逻辑之父”。古希腊斯多葛学派在亚里士多德成就的基础上对逻辑学做了进一步的发展，他们将逻辑学划分为修辞学和辩证法，将亚里士多德的10个范畴缩减成了4个，还研究了复合判断的问题，把复合判断区分为假言判断、选言判断和联言判断等。

（二）数理逻辑思想的发展

17世纪，随着实验自然科学的兴起和发展，在意大利、法国和德国，文艺复兴时期的伟大思想家和自然科学研究者们正在为近代科学和哲学奠定基础。英国哲学家弗兰西斯·培根（1561—1626年）开拓了新的逻辑科学领域，研究了科学归纳法问题，奠定了归纳逻辑的基础。他有意识地针对亚里士多德的《工具论》，对科学方法作了阐释，完成了主要著作《新工具》，对科学做了分类，与神学划清了界限。

真正开始数理逻辑的近代研究的是17世纪末，德国哲学家莱布尼茨（1646—1716年）。符号语言和思维的演算是莱布尼茨提出的重要思想，也是数理逻辑的重要特征。他成功地将命题形式表达为符号公式，提出了命题演算的原则和公理，建立了科学史上最早的逻辑演算，从而奠定了数理逻辑的基础，使他成为公认的数理逻辑发展史上的奠基人。

到了19世纪，英国哲学家穆勒继续发展了培根的归纳学说，他在《逻辑体系》中，明确而系统地阐述了科学归纳的五种逻辑方法，即契合法、差异法、契合差异并用法、共变法和剩余法，充实了归纳逻辑的内容。英国数学家布尔首先提出了布尔代数（1854年），给出了逻辑的符号化问题及初步的做法，成为数理逻辑的早期形式。其后，皮亚诺（Giuseppe Peano，1858—1932年）引进了“包含于”“存在”“属于”等符号，为初步自足的逻辑演算做了不少具体的工作。

20世纪30年代后期至今为数理逻辑发展的新阶段，数理逻辑经过多人的不断努力，已经发展成为一门内容丰富的学科，产生了以五大中心内容为对象的分支学科研究：证明论、递归论、模型论、公理集合论和各种逻辑系统的研究，并衍生出直觉主义逻辑、多值逻辑、组合逻辑、代数逻辑、模态逻辑、概率逻辑、模糊逻辑、非标准分析等许多分支。它们对数学、计算机科学、人工智能、语言学、控制论、自动化、心理学、量子力学等都有深远的影响。

[1] 王昆仑主编，《计算机专业导论》，清华大学出版社，2013，144。

[2] 傅海伦，贾冠军著，《数学思想方法发展概论》，山东教育出版社，2009，154～155。

[3] 雷新锋，薛锐著，《密码协议分析的逻辑方法》，科学出版社，2013，3～4。

[4] 王昆仑主编，《计算机专业导论》，清华大学出版社，2013，144～145。

[5] 马克思，恩格斯著，《马克思恩格斯选集》第3卷，人民出版社，1995，465。

[6] 傅海伦，贾冠军著，《数学思想方法发展概论》，山东教育出版社，2009，150。