数学学习的思维形式

学习是在思维活动过程中进行的，离开思维就谈不上数学学习。从数学学习的角度来看，思维的作用是，在人的意识中分离出被反映的对象某一侧面和性质，并且将它们同其他对象置于相应的联系之中，以获得新的知识。因此，思维在人的意识中反映客观世界是一个积极的过程。个别思想及其特殊组合的结构称为思维形式。[1]

数学学习的思维形式分为以下四种。

一、概念

客观事物的属性可以在形状、色彩、气味、重量、用途、价值等方面表现出来。一种事物往往具备很多属性，但本质属性却是一定的。本质属性就是能决定该事物之所以是该事物的属性，即一事物能区别于其他事物的属性。反映客观事物本质属性的思维形式，叫作概念。

每一个概念都包括内涵与外延两个方面。内涵是指概念的质，外延是指概念的量。所谓“内涵”指的是概念所反映的客观事物的本质特征，“外延”则是指概念的范围。概念的范围大小由概念的含义决定，一个概念的内涵越多，外延就越小；反之也成立。[2]

（一）概念的定义

定义是建立概念的逻辑方法，即揭示概念所反映的一类对象所共有的一切本质属性的逻辑活动。用定义来建立概念的过程在于列举概念的本质属性，并且把它们总结成一个连贯的句子（语句或者用符号表示的句子），就得到（一个数学对象）概念的定义。定义应当揭示概念的内涵。它不应当有多余的词，也不允许有遗漏，即定义中的每个属性对于确定这个概念来说，都应当是必要的，而所有属性合到一起又应当是充分的。

在数学中，第一次应用某一术语（数学名词）时，就必须给这一术语下定义，用以建立这个术语的科学含意和保证对于相应术语有个正确的认识。数学中还要求对于原始概念以外的一切概念都必须借助已经定义的概念来给未知概念下定义。数学概念的定义一般都有相对固定的模式与结构。

数学概念的定义结构一般包括被定义项、定义项和定义联项（如“是”）。数学概念的定义模式一般包括构造性定义模式和描述性定义模式。所谓构造性定义是指不仅运用对象所具有的性质来揭示概念的本质属性，而且同时指出概念的形成构造方法的定义方式。所谓描述性定义是指被定义概念的本质属性是用公理形式给出的。一般来说，一个数学概念的定义，既可以给出构造性定义，又可以给出描述性定义，并且这两种定义是等价的。

（二）概念的名称

概念是人们进行理论思维的产物，是思维的最高形式。在数学中广泛使用着概念这种思维形式来揭示各种数学对象的本质特征，给予数学对象的“明确性”“精确性”和“严密性”，从而易于展开思维活动并构成思想，使人类凭借数学概念，从数与量的角度来全面地认识客观现象，深入地了解事物的内部联系。因此，数学概念有非常重要的意义。把它运用于思维活动既明确严密又经济省事，简捷地表达丰富的思想，并使这些思想构成一门严密精确的科学。

概念本身是思想，人类要彼此交流思想就必须使用语言，语言伴随着概念产生，概念要用词来表达，它表示概念的名称。表示数学科学领域中一个严格确定的概念的词，称为数学名词（或术语）。学习概念时，必须清晰地记住已学过的名词、符号，并使之成为第二信号系统的信号，而且使这些信号能引起大脑的联想与反映。

名称的一个作用是有助于分类，如果一个概念有不同名称就可能有不同分类，例如正方形可以称为等边矩形或直角菱形，因此它既可并入矩形一类，又可以并入菱形一类。由此可以知道正方形是矩形和菱形集合的交集，它的不同名称说明它有多种属性。

概念不仅有名称还有符号，用符号来表示名称，也就可以用式子来表示语言。符号在数学中起着表示概念、记载知识、传递知识信息等多方面的作用。数学就是研究用名称、符号来表示“事物”间存在关系以及这些事物所具有的性质的，并把它们应用于各种对象。在这个过程中，由于使用了言简意赅的名词、符号，就在种种意义上为处理问题提供了方便和经济性。使用名称、符号来表达思想以及思想活动的过程，比起不用名称、符号只用语言来做讨论记述，远为方便、明确，并在思想上、时间上或者记述的篇幅上，都远为经济。

训练人们能自如地运用名称、符号进行数学思维活动，这对学好数学、发展数学以至人类的发展前进都是非常重要的。这样才有可能指望人类文明的高度发展，科学技术的发明发现，才能理解高度抽象发展了的数学科学。所以不能只是把数学中的名称符号仅仅看成是为使用方便而简化了的工具，而更重要的是运用它们来训练人们的思维。

概念纯粹是智力的对象，无声无形，看不见摸不着，同时又没有办法使别人感觉到自己的思想，也没有办法观测别人的思想，要想交流思想，传递知识，记载知识，就要借助于语言和符号。概念的名称和符号在学习中的重要性，要求在数学学习中，必须注意正确使用概念的名称和符号。[3]

二、判断

在数学上，当概念形成之后，我们就可以利用已经形成的概念，对思维对象是否具有某种属性来加以肯定或否定。判断是肯定或否定思维对象具有或不具有某种属性的一种思维形式。

任何判断都具有两个基本特征：一定要有所判断和判断有真假之分。判断可真可假，如果一个判断符合客观实际，那么它是真的，否则便是假的。按性质划分，判断可分为肯定判断和否定判断。

判断一般采取“主词——系词——宾词”的结构，主词（S）是思维的对象，即需要作出判断的事物或现象，宾词（P）是用来表达对象具有或不具有某种属性。系词是用来连接主词和宾词的通常用“是”或“不是”来表示肯定或否定。

判断按其性质来分有肯定判断和否定判断，按判断中的主词外延是宾词外延的全部或是部分来分有全称判断和特称判断，如果将两种分类结合起来就可以组成下面四种判断：①全称肯定判断（A）。其逻辑形式是“所有S都是P”，简记为SAP；②全称否定判断（E）。其逻辑形式是“所有S都不是P”，简记为SEP；③特称肯定判断（I）。其逻辑形式是“有些S是P”，简记为SIP；④特称否定判断（O）。其逻辑形式是“有些S不是P”，简记为SOP。

三、推理

推理是指从具体事物归纳出一般规律，或者根据一般原理推出新的结论的思维活动。也可以认为，推理是从一个或几个已知的判断出发推出另一个新判断的思维形式。

在推理中，我们把由其出发进行推理的已知判断叫作前提或规律和原理，把由已知判断所推出的判断叫做结论。要保证推出的结论正确，推理必须具备两个条件：一是前提要真实，即前提应是正确反映客观事实的真实判断；二是推理形式要符合逻辑规则，亦即推理的前提和结论间的关系应有一定的必然联系，而不应是偶然的巧合。推理包括演绎推理、归纳推理和类比推理。[4]

演绎推理是从一般性知识的前提到特殊性知识的结论的推理，其前提反映的是一般性知识、蕴涵着结论的知识，因而其结论所断定的知识范围不会超出前提所断定的知识范围，具有必然性。

归纳推理则是从特殊性知识的前提到一般性知识的结论的推理，其结论一般超出了前提所断定的范围，其前提和结论之间的联系有必然性。如直角三角形内角和是180°，锐角三角形内角和是180°，钝角三角形内角和是180°。直角三角形、锐角三角形和钝角三角形组成了全部的三角形，所以一切三角形的内角和都是180°。这个归纳推理考察了某类事物所有对象的本质特征，是一个完全的归纳推理。

类比推理是根据两个或两类对象在某些属性上相同，推断出它们在另外的属性（这一属性已为类比的一个对象所具有，另一个类比的对象那里尚未发现）上也相同的一种推理。

任何一种推理，都包含有三个要素：[5]

①作为推理根据的出发的知识，或原有的知识，或已知的判断，称为推理的前提；

②关于由前提推出结论的逻辑规律，称为推理规则；

③关于由前提按照推理规则推出的知识，称为推理的结论。

由此可见，任何一种推理的结构都是由推理前提、推理规则和推理结论构成的。

推理的逻辑基础是充足理由律。推理在数学研究中以至数学学习中有着巨大的作用，它可以使我们获得新的知识，也可以帮助我们论证或反驳某个论题。在发现数学科学规律的过程中，在数学证明中，在构成数学的假说中，逻辑推理都被广泛使用着。

四、问题解决

问题解决被看作是思维活动最为普遍的形式，它突出体现了思考者的意志力和创造性。所谓问题解决，就是根据问题的起始状态，为了找到问题的目标状态而不断地进行思维活动的过程。从信息加工心理学的观点看，问题解决实际上是对问题空间的搜索，问题空间就是问题解决者对一个问题所达到的全部认识状态。[6]

问题解决是从初始状态，经过一步一步地中间状态，最后达到目标状态。问题解决的过程一般包括：①认识问题和提出问题；②分析问题，这个阶段主要是搜集与问题相关的材料，要解决的问题进行分析和整理；③提出假设，假设的提出依靠解决问题者的已有知识经验，并且和前一阶段问题是否已经明确和正确理解相联系；④检验假设，通过实践，证明假设成立与否。假设会证真或证伪。如果经过证明假设是错误的，就需要寻找新的解决问题的方案，重新提出假设，而新假设的提出有赖于对证伪过程的总结和概括，这对以后提出能够被证真的假设有很大的帮助。

影响问题解决的因素很多，主要包括知识的表征方式、定势、功能固着、动机和情绪等。问题解决的策略包括以下几种。[7]

（1）算法。算法策略就是在问题空间中随机搜索所有可能的解决问题的方法，直至选择一种有效的方法解决问题。解决问题的算法策略就是尝试错误的过程。

（2）启发法。启发法也称为探试搜索法，是人根据一定的经验，在问题空间内进行较少的搜索，以达到解决问题的一种方法。目前应用较为广泛的启发法主要有手段——目的分析和逆向搜索。

①手段——目的分析。即人认识到问题解决的目标与自己当前的状态之间存在着差别，于是进行分析，想出某种活动来缩小这种差异，从而达到目标的方法。解决问题的手段——目的分析的关键是把大目标分解为下一级的子目标。这种分析有两种方式：一种方式是把当前状态转化为目标状态，另一种方式是找出消除差异的操作手段。手段——目的分析是人类解决问题的一种常用方法。

②逆向搜索。即从问题的目标状态开始搜索直至找到通往初始状态的通路或方法。反推法就是从目标出发向反方向推导。在求解数学证明题时，反推法可以成为特别有用的探索方法。

（3）爬山法。人在爬山时考察指定的起始点，然后选取与起始点邻接的未被访问的任一节点向目标方向运动，并且在爬山过程中对每一节点后面的可能路程进行排序，逐步逼近目标，这种方法称为爬山法。在经典的爬山法中，总是由上一个节点来看最佳路径向前移动的。这是局部性的最佳节点。最佳优选法是从全局的最佳节点出发，而不管它所处位置如何。其工作方式就像一群在山区中寻找最高峰的协同工作的登山队，他们之间保持无线电联系，在每一次都移动至最高点的一个分队，并且在每个分岔口把分队分成一些更小的分队。这样探索的效率就会大为提高。

[1] 周学海著，《数学教育学概论》，东北师范大学出版社，1996，185。

[2] 罗永忠主编，《心理学基础》，高等教育出版社，2012，126。

[3] 周学海著，《数学教育学概论》，东北师范大学出版社，1996，186～188。

[4] 罗永忠主编，《心理学基础》，高等教育出版社，2012，127～128。

[5] 周学海著，《数学教育学概论》，东北师范大学出版社，1996，202。

[6] 罗永忠主编，《心理学基础》，高等教育出版社，2012，128。

[7] 罗永忠主编，《心理学基础》，高等教育出版社，2012，130～135。