多因素有交互作用设计

一、析因设计

1.概念　析因设计(factorial design)是一种多因素的交叉分组试验。它不仅可检验每个因素各水平的差异,而且可检验各因素间的交互作用。两个或多个因素间如存在交互作用,表示各因素不是各自独立的,而是一个因素的水平有改变时,另一个或几个因素的效应也相应有所改变;反之,如不存在交互作用,表示各因素具有独立性,一个因素的水平有所改变时不影响其他因素的效应。下面介绍最简单的两因素析因试验(以“2×2”为例)。

2.2×2析因设计　2×2表示有两个因素,每个因素各有两个水平,共有4个组合。如以A1表示A因素1水平,A2表示A因素2水平,B1表示B因素1水平,B2表示B因素2水平,各因素的水平之间逐个组合,即成2×2设计,其模型如下:

然后用随机方法将受试者分配到4个处理组。

2×2析因分析时,首先应对4个组合的试验结果做方差齐性检验,如已满足齐性要求,即可进行方差分析。

例9-14　用新法和旧法分别提取某食物中的甲化合物和乙化合物,观察其回收率,拟比较新旧法间及甲乙化合物间的回收率有无差别?方法与化合物间作用有无交互作用?试作析因实验设计。

设计:本例有两个因素,各有2个水平。

A因素:方法——新、旧(A1,A2)。

B因素:化合物——甲、乙(B1,B2)。

交互作用:A×B,即方法×化合物,共有4种组合,对每一组合的样本均按照随机化原则重复测定数次,结果列于表中。

析因设计较易理解,当涉及多因素,多水平时,注意因素与水平间的合理组合即可。

析因设计中可能会出现部分组合缺乏,称部分重复设计,也有称部分平衡不完全随机设计(partially balanced incomplete block),一般不提倡这种设计。

3.资料分析　观察指标多用计量方法收集,用析因设计的方差分析。

二、分割实验设计

分割实验(the seymentntim expeninent)又称裂区实验设计,是一种把几个完全随机设计、随机区组设计或拉丁方实验单位结合起来的实验设计,其基本原理是先将受试对象作为一级单位,按某种因素分为二级单位,分别给予不同的处理。设计步骤如下。

1.先将选定的受试者作为一级单位,再按一级处理因素的水平数随机分为几个亚组,每个亚组决定其接受一级处理的水平数。

2.在每个亚组(一级单位)中根据待分析的二级处理因素数(或水平数)作随机区组设计或拉丁方设计。

设计中应将主要分析的因素、实验操作难度大、变异大的因素作为一级处理因素。

例9-15　观察A1、A2、A3的3种药物对某病治疗的长期效果和B1、B2、B3的3种药物对该病的近期治疗效果。现有12名受试者,做出设计。

根据分析目的,将12名受试者作为一级单位,3种A药作为一级处理因素,故先将12名受试者随机分为3组,分列为接受A1组,A2组和A3组处理。然后再随机决定每名受试者接受3种B药的顺序,可得到如右侧所示的设计模式。

如上设计可以看作是3个随机区组设计的组合。第一方接受A1药(第一处理),第2、3方分别接受A2、A3处理。每一方中每个受试者随机确定接受B的顺序。

例9-16　这是一个来自关于上呼吸道感染患病情况的调查资料。分析变量是一定期间内肺炎球菌阳性数,观察18个家庭,每个家庭由父、母、3个孩子组成,最小的孩子均是学龄前儿童。每个家庭居住拥挤状况不同。因此需要考虑不同拥挤状况、不同家庭、不同特点人口的细菌感染的差别。

这一问题的设计是先将18个家庭按居住条件分为:非常拥挤,较拥挤,不拥挤3类。每类6个家庭,依次按父、母、较大的孩子、次大的孩子和最小的孩子计数细菌数,具体资料形式如下。

(续　表)

在这一设计中,拥挤情况作为一级处理因素,而家庭成员状况则作为区组的因素。

三、正交实验设计

在医学科学研究中,经常要分析多个因素对某个指标的影响。如果观察的指标是计量的,且可能的影响因素具有几个水平,那就可以考虑用正交实验设计(orthogonal experimental design)及其方差分析。正交实验设计及其方差分析的优点有设计简单,计算简便,因节省实验单元而统计效率高。

1.基本概念

(1)因素(因子)和水平:因素即前面所述的处理因素,指人为施加的或专门进行观察的对实验结果或观察指标的影响因素,简称为因素,而各因素的不同状态就称为水平。

(2)主效应和交互作用:每个因素对观察指标的影响称为主效应,一项研究工作有几个影响因素就有几个主效应。在实际工作中,常遇到这样的情况,因素A处在不同水平时,因素B的作用明显不同。这就是说存在交互作用。在医学中两种药物同时使用时出现的协同作用和拮抗作用就是交互作用。两种因素间的交互作用称一级交互作用,3种因素间的交互作用称二级交互作用。

(3)正交实验符号说明:在正交实验中常用符号来说明设计的类型。如L　4(23)、L　8(27)等。符号L代表正交表(orthogonal layout),L的下标代表试验次数,括号内的底数是因素的水平数,指数是因素个数(即列数或最多能安排的因素个数)。因此L　4(23)是指最多可安排3个两水平的因素要作4次试验的正交表,L　8(27)是指最多可安排7个两水平的因素要作8次试验的正交表。

(4)正交表:是做正交试验设计的主要工具,见表9-1。它是利用一套规格化的表格使实验的每个因素及水平得以合理的安排,通过对实验结果的分析,获得有用信息。

在这张L4(23)正交表中有3列,意即最多可对3因素做实验。表中的1、2表示实验因素的水平,实验号中最大为4,意即要做4次实验,在1号实验中,第1、2、3列所安排的因素均取1水平;在第2号实验中,第1列所安排的因素取1水平,第2、3列的因素均取2水平;在第3号实验中,第1、3列取2水平,第2列取1水平;在第4号实验中,第1、2列取2水平,第3列取1水平。

表9-1　L4(23)正交表

正交表有两个明显的特点:每一列中出现数字1和2的次数相等;对任意两列,同一横行的数字呈有序的数对。在两水平正交表中数对共有4种:(1,1),(1,2),(2,1),(2,2)。每种数对出现的次数相等。

(5)交互作用表。对应于每一张正交表都有一张交互作用表,如L4(23)的交互作用表见表9-2。

从该交互作用表可知,第1、2列的交互作用在第3列,第1、3列的交互作用在第2列,第2,3列的交互作用是第1列,也就是说在L　4(23)正交表中,任意两列(所安排的两个因素)的交互作用就表现在其余的一列上。因此,如果在L4(23)正交表中,第1列安排A因素,第2列安排B因素,若A因素和B因素存在交互作用的话,那就表现在第3列上。所以在这种情况下就不能在第3列安排第3个因素了,如果在第3列上安排了因素C,那么第3列既是因素C的主效应,又是因素A和B的交互作用,必然产生效应的混杂(confounding),致使既无法分析因素C的主效应,又无法分析因素A和B的交互作用。而如果A因素和B因素间不存在交互作用,那么第3列就可考虑安排因素C,当然第3列也可“空着”,分析中可作为误差的计算来源。

表9-2　L4(23)交互作用表

2.表头设计　根据分析的要求,选用合适的正交表,把各个因素安排在正交表的各列的过程就称为表头设计。例如要研究因素A和因素B(都是两水平)的作用,同时要研究它们之间的交互作用,如果选用L4(23)正交表,把因素A安排在第1列,因素B安排在第2列,第3列便是因素A和B的交互作用(用A×B表示)。表示方式如下。

这样的表头设计,虽然把因素A和B的主效应及它们的交互作用A×B都安排好了,但在作方差分析时会遇到困难。因为在无重复的正交实验设计中,只能从空列中获得误差均方的估计,也就是说在作表头设计中必须留出一列或多列,以求得误差均方。本例中3列已安排满了,没有空列,因此要重新设计,改用更大的正交表L8(27),或仍用L4(23)正交表但增作重复实验——每一号实验都做2次或3次。

又如要研究A、B、C的3个因素的主效应和交互作用A×B及A×C,如果这3个因素都是两水平的话,就可选用正交表L8(27),首先把因素A和B安排在第1、2列,再看L8(27)交互作用表(表9-3)。

表9-3　L8(27)交互作用表

从表9-3可知第1、2列的交互作用表现于第3列,第3列可用于分析交互作用A×B,不能安排因素C。如果把因素C安排在第4列,那么交互作用A×C(第1、4列的交互作用)在第5列,和前面的因素安排不会产生效应的混杂,因此得表头设计为如下。

第6、7列是空列,可用于估计抽样误差。

3.正交实验的基本步骤

(1)拟定影响观察指标的因素及水平。根据分析目的及相关专业知识确定。

(2)选择恰当的正交表。结合分析的因素、水平及实验次数而定。选择时要:先看水平数;根据实验要求决定实验次数,实验要求精度高时选实验次数多的正交表;分析交互作用的存在情况;考虑统计分析的需要。非重复的正交实验至少要空一列,以便估计误差。正交表的选择见附表2。

(3)根据要求分析的主效应和交互作用项目作表头设计。所用正交表及交互作用表见附表2。

(4)按设计要求进行实验,收集数据。

(5)作方差分析。采用正交设计的方差分析。

例9-17　某研究者以大白鼠做实验,观察指标是细胞色素B5(nmol/mg),主要想了解正氟醚的作用,同时要看一下用生理盐水和用戊巴比妥作为诱导药物对正氟醚的毒性作用有何影响,以及不同诱导剂对不同性别大白鼠作用有何不同,试做正交实验设计及分析。

根据题意,先拟定因素和水平。

因素A:1水平(A1):生理盐水　2水平(A2):戊巴比妥

因素B:1水平(B1):不用正氟醚　2水平(B2):用正氟醚

因素C:1水平(C1):雄性大白鼠　2水平(C2):雌性大白鼠

根据要求,除了要分析因素A、B、C的主效应外,还要分析交互作用A×B和A×C。

本例是一个两水平的实验,分析的交互作用有两个,主效应有3个,显然L　4(23)正交表是不够用的,可选用L8(27)正交表,作表头设计如下。

虽然,由L8(27)交互作用表可查出第6列可安排交互作用B×C,第7列为交互作用A×B×C,但因实验无重复,如都安排完了就不能再计算误差。因考虑到B、C间和A、B、C间无交互作用或交互作用不重要,可作为空列,所得离均差平方和可当作误差作方差分析。故第6、7两列都作为误差估计列。整个实验按下表(表9-4)安排进行。

表9-4　正氟醚及诱导药物对细胞色素B5影响的设计

在正交实验中,每一次实验都必须严格按照设计方案进行。如上例的8次实验中,第一次实验应取A、B、C因素的1水平,即A1、B1和C1;第二次实验应取A1、B1、C2;第三次实验应取A1实B2和C1……。所得数据列于表的右侧,用以方差分析。

四、重复测量设计

1.概念　当把一个因素A(常为处理因素,水平数为k)的各水平安排于数据表的上方,把另一个因素B(常为时间因素,水平数为r)的各水平置于数据表的左侧,同时把n个实验对象随机等分到A因素的各个水平组中,每组g个(k×g=n)实验对象(表9-5),并在B因素的各个水平(不同时间)进行重复测量,共得到g×k×r=N个数据。称此种设计为重复测量设计(repeated measurement design)。

表9-5　重复测量设计

此设计形式上看似随机区组设计,但与其不同的是实验结果按时间顺序排列,不像随机区组设计的处理那样经过随机排列,所以表9-6各行数据之间存在不同程度的相关性,不是独立的。这种设计不但能分析A,B两因素各水平均数间是否有差异,而且能分析A、B两因素有无交互作用。

2.设计步骤

(1)确定处理因素(A)与时间因素(B)及其水平数。

(2)将受试对象随机分配到处理因素各水平。每个水平的受试对象可以相同,也可不同,但每个水平的受试对象相同时更便于统计分析。

(3)按时间因素各水平要求顺序进行实验。

下面以时间为B因素、不同的处理为A因素举例说明,观察不同的处理结果在不同时间上是否有差异。因为结果值与时间之间存在相关性,同时需要分析处理因素A与时间因素B之间存在的交互作用,需要采用重复测量设计及数据分析。进行重复测量设计的数据方差分析时,总变异分为以下5种:处理因素(A)、测量时间(B)、A与B的交互作用、实验对象误差、重复测量误差。

例9-18　在教育心理学研究中,为比较受试者对3种视觉刺激(处理,A因素)的反应时间,将12个受试者随机分到3个不同程度的刺激组中,给每个受试者一个编号,并对每个受试者在3个不同的时间点各测量1次,共测得36个数据,记录见表9-6。表中Bi为各实验对象的小计,Ri为各处理组中各测量时间的小计,Hi为各处理组小计,Mi为各测量时间小计。

表9-6　重复测量的原始数据表

3.资料分析　采用重复测量设计的方差分析。

【附】　常用拉丁方